高中数学 4.1.2《圆的一般方程》课件2 新人教A版必修2

圆的一般方程，其圆心为－D2 ，－E2，半径为
D2＋E2－4F
2
.
(2)当_D__2_＋__E_2－__4_F__＝__0__时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表
示点－D2 ，－E2. (3)当__D__2＋__E__2－__4_F__<_0___时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
不表示任何图形．
8
应用待定系数法求圆的方程 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心 的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待 定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆 的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
2．若不同四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)在同一 圆上，则实数a的值为________．
【答案】7
【解析】设经过 A，B，C 三点的圆的方程为 x2＋y2＋Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0(D2 ＋ E2 － 4F ＞ 0) ， 由 题 意 可 得
5－2＋152D－＋DF＋＝F0＝，0， －32＋32－3D＋3E＋F＝0.
D＝－4， 解得E＝－235，
F＝－5.
∴A，B，C
三点确定的圆的方程为 x2＋y2－4x－235y－5＝0.∵D(a,3)也在此 圆上，∴a2＋9－4a－25－5＝0，∴a＝7 或 a＝－3(舍去)．
圆的一般方程的求法
【例 2】 已知圆 C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线 x＋y－1＝0 上且圆心在第二象限，半径为 2，求圆的一般方程．
【解题探究】圆的一般方程中含有待定系数D，E，F，求 圆的一般方程即求这些待定系数的值．
【解析】圆心C－D2 ，－E2， 因为圆心在直线x＋y－1＝0上， 所以－D2 －E2－1＝0，即D＋E＝－2. ① 又r＝ D2＋2E2－12＝ 2，所以D2＋E2＝20. ② 由①②可得DE＝＝－2，4 或ED＝＝2－. 4， 又圆心在第二象限，所以－D2 <0，即D>0.所以ED＝＝－2，4. 所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.

182+18D+F=0 182 -18D+F=0 62+6E+F=0
D=0 故圆拱所在的方程 E=48 是x2+y2+48y-324=0
F=-324
将点P2的横坐标x=6代入上式，解得y 24 12 6 5.39 答：支柱A2P2的长约为5.39m.
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
(5 a)2 (1 b)2 r2 a 2 (7 a)2 (3 b)2 r2 b 3 (2 a)2 (8 b)2 r2 r 5
所求圆的方程为
(x 2)2 ( y 3)2 25
待定系数法
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
3、求经过点A(4,1)、B(－6,3)、C(3,0) 的圆的方程。
解：设所求的圆的方程为 x2 y 2 Dx Ey F 0
因为点A、B、C在所求的圆上，故有
4D+E+F+17=0
D=1
-6D+3E+F+45=0
E=-9
3D+F+9=0
F=-12
故所求圆的方程是 x 2+y2 +x - 9y -12=0
可化为(x+a)2+y2=a2+b2
所以此方程表示以（-a，0）为圆 心，以为 a2 b 2 半径的圆
2、求下列各圆的半径和圆心坐标。 (1)x2+y2-6x=0 即 (x－3)2+y2=9 圆心为(3，0) ，半径为 3 (2)x2+y2+2by=0 即x2+(y+b)2=b2

(2)将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x ＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径 r＝ 1－5m.
|方法总结| 判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的 特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一 是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的 常数.
解：设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心坐标为－D2 ，－E2. ∵圆与 x＋3y－26＝0 相切，∴86＋＋DE22 ·－13＝－1，即 E－3D －36＝0.①
∵(－2，－4)，(8,6)在圆上，∴2D＋4E－F－20＝0，② 8D＋6E＋F＋100＝0.③ 联立①②③，解得 D＝－11，E＝3，F＝－30，故所求圆的 方程为 x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y20＝9. ② 将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点 C 不能在 x 轴上， ∴y≠0. 综上，点 C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6 为半径的圆，去掉 (－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
堂内归纳提升
|方法总结| 求与圆有关的轨迹问题常用的方法
(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标， 并找出动点坐标所满足的关系式．
(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方 程．
(3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1 可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程.

思考问题:当D=0，E=0或F=0时，圆 别(fēnbié)有什么特点？
x2 y2 Dx Ey 的F位置0分
y
y
y
C
C
C
O
O
x
x
O
x
D=0
E=0
F=0
第十页，共22页。
练习: 判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径.
(1) x2+y2-2x+4y-4=0 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0
，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
y
回顾 (h方u法ígù一)：： 待定系数法
A(5,1)
O
设圆方程为 (x a)2 ( y b)2 r 2.
x
方法二：几何法
D
B(7,-3)
由两条弦的中垂线的交点得到圆心， 由圆心到圆上一点得到半径
C(2,-8)
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方法三：待定系数法
y
M(x,y)
OC
x
第五页，共22页。
圆的一般方程
1.圆的标准方程 ( x a )2 ( y b)2 r 2
展开(zhǎxn 2 y2 2ax 2by a2 b2 r 2 0
kāi)得
x2 y2 Dx Ey F 0
任何(rènhé)一个圆的方程都是二元二次方程
结论：任何一个圆方程可以写成下面(xiàmian)形式
：
x2 y2 Dx Ey F 0
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2.是不是任何一个形如 x2 y2 Dx Ey F 0
方程表示的曲线是圆呢？
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方(pèi( x 1)2 ( y 2)2 4 以fān（g)1得，-2）为圆心(yuánxīn)，以2为半径的圆