2021高考数学一轮总复习课件(北师大版)：第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形-3.ppt

上是增函数，在
2kπ](k∈Z)上是增函
单调性 _[_π2_＋__2_k_π_，__32π_＋__2_k_π_]_(k_∈__Z_)__ 数，在[2kπ，2kπ＋
上是减函数
π](k∈Z)上是减函数
在__(－__π_2_＋__k_π_，__π2_＋___ _k_π_)_(_k_∈__Z_)___上是增
3． y＝tan 2x 的定义域是________．
解析：由
2x≠kπ ＋
π 2
，k
∈
Z，
得
x≠
k2π ＋
π 4
，k
∈
Z，
所
以
y ＝ tan
2x
的定义域是
xx≠k2π＋π4，k∈Z.
答案：xx≠k2π＋π4，k∈Z
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin x 在第一、第四象限是增函数．
二、教材衍化 1．若函数 y＝2sin 2x－1 的最小正周期为 T，最大值为 A，则 T＝________，A＝________．
解析：最小正周期 T＝22π＝π，最大值 A＝2－1＝1. 答案：π 1
2．下列关于函数 y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是________(填序号)． ①在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数； ②在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2及π2，π上是减函数； ③在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数； ④在π2，π及－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数． 解析：函数 y＝4sin x 在－π，－π2和π2，π上是减少的，在－π2，π2上是增加的． 答案：②
在余弦函数 y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，(π2，0)，_(π__，__－__1_) _， (32π，0)，(2π，1)． 五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)．

余弦定理 正弦定理或余弦定理求 c. a，b，A)
可有两解，一解或无解
第四章 第六节
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[答案] 1.sianA＝sibnB＝sincC b2＋c2－2bccosA a2＋c2－
2accosB a2＋b2－2abcosC 2RsinA 2RsinB 2RsinC
第四章 第六节
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5．在△ABC 中，角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b， c.若 a＝2，B＝6π，c＝2 3，则 b＝________.
[答案] 2
第四章 第六节
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[解析] 本题考查了余弦定理的应用 由 b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－2×2×2 3× 23＝4， 可得 b＝2.
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6．△ABC 中，若 a＝3 2，cosC＝13，S△ABC＝4 3，则 b ＝________.
[答案] 2 3
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[解析] 由 cosC＝13，得 sinC＝232， ∴S△ABC＝12absinC＝12×3 2×b×232＝4 3. ∴b＝2 3.
接圆半径)
c2＝______________
第四章 第六节
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定理
正弦定理
余弦定理
①a＝_____，b＝____，
c＝______；
②
sinA
＝
a 2R
，
sinB
＝
cosA＝______________；

4.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像及三角函数模型的简单核心考点·精准研析考点一函数y=Asin(ωx+φ)的图像及图像变换1.若函数f(x)=cos,为了得到函数g(x)=sin2x的图像,则只需将f(x)的图像( )A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度2.若将函数y=2cosx(sinx+cosx)-1的图像向左平移φ个单位,得到的函数是偶函数,则φ的最小正值是( )A. B. C. D.3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若f(x)的图像向左平移个单位所得的图像与f(x)的图像向右平移个单位所得的图像重合,则ω的最小值为.4.已知函数f(x)=4cosx·sin+a的最大值为2.(1)求a的值及f(x)的最小正周期;(2)画出f(x)在[0,π]上的图像.【解析】1.选A.f(x)=cos=sin=sin=sin2,为了得到g(x)=sin2x的图像,则只需将f(x)的图像向右平移个单位长度即可.2.选A.化简函数:y=2cosx(sinx+cosx)-1=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=sin,向左平移φ个单位可得y=sin,因为y=sin是偶函数,所以2φ+=+kπ,k∈Z,φ=+,k∈Z,由k=0可得φ的最小正值是.3.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),把f(x)的图像向左平移个单位所得的图像为y=sin=sin,把f(x)的图像向右平移个单位所得的图像为y=sin=sin,根据题意可得y=sin和y=sin的图像重合,故+φ=2kπ-+φ,k∈Z,求得ω=4k,k∈Z,故ω的最小值为4.答案:44.(1)f(x)=4cosxsin+a=4cosx·+a=sin2x+2cos2x+a=sin2x+cos2x+1+a=2sin+1+a的最大值为2,所以a=-1,最小正周期T==π.(2)由(1)知f(x)=2sin,列表:x 0 π2x+π2πf(x)=2sin 1 2 0 -2 0 1画图如图所示:1.由函数y=sinx的图像通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.2.y=Asin(ωx+φ)的图像可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=ωx+φ计算五点坐标.【秒杀绝招】排除法解T1,变形f(x)=sin,观察发现ω=2,所以不能平移,排除B,D;代入A,C检验,可知选A.T4,可用伸缩法画f(x)的图像.考点二由图像求解析式【典例】1.已知函数y=f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则ω,φ的值分别是( )A.2,-B.2,-C.4,-D.4,2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示,则函数f(x)的解析式为.【解题导思】序号联想解题1 看到A,B两点的横坐标,想到了求周期,从而求ω.由A,B两点的位置想到了特殊点,从而求φ.2 由图像的最高点及最低点,想到了求A以及周期,从而确定ω,由特殊点的坐标想到了求φ.【解析】1.选A.由题图可知,T=+,即T=π,所以=π,即ω=2,由2×+φ=+2kπ(k∈Z)得φ=-+2kπ,k∈Z,又-<φ<,故φ=-.2.由题图知A=,=-=,所以T=π,ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),又对应五点法作图中的第三个点,所以2×+φ=π+2kπ(k∈Z),φ=+2kπ(k∈Z),又|φ|<π,所以φ=,所以f(x)=sin.答案:f(x)=sin【一题多解】由题图知A=,=-=,以为第二个零点,为最小值点,列方程组解得所以f(x)=sin.答案:f(x)=sin确定y=Asi n(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的步骤(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=.(3)求φ,常用方法有:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx+φ=;“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx+φ=;“第五点”(即图像上升时与x 轴的交点)为ωx+φ=2π.1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的解析式是( )A.f(x)=sinB.f(x)=sinC.f(x)=sinD.f(x)=sin【解析】选D.由图像可知=-=,所以T=π,所以ω==2,所以排除A、C;把x=代入检验知,选项D 符合题意.2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像的一部分如图所示,则f(x)图像的对称轴方程是.【解析】由图像知A=2,又1=2sin(ω×0+φ),即sinφ=,又|φ|<,所以φ=.又×ω+=2π,所以ω=2,所以f(x)=2sin,令2x+=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z).所以f(x)=2sin的对称轴方程为x=+(k∈Z).答案:x=+(k∈Z)考点三函数y=Asin(ωx+φ)图像与性质的综合应用命题精解读1.考什么:(1)三角函数模型的应用,方程根(函数零点)问题,图像与性质的综合应用等;(2)考查直观想象、数学运算等核心素养,以及数形结合的思想.2.怎么考:与三角函数图像与性质,方程根,零点问题,实际问题结合考查求解析式,性质,参数等.3.新趋势:以考查三角函数模型的应用为主.学霸好方法三角函数模型的应用策略(1)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题.(2)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.三角函数模型的应用【典例】(2020·滁州模拟)某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况:月份x 1 2 3 4收购价格y(元/斤) 6 7 6 5选用一个三角函数模型来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为. 【解析】设y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0),由题意得A=1,B=6,T=4,因为T=,所以ω=,所以y=sin+6.因为当x=1时,y=6,所以sin=0,故+φ=2kπ,k∈Z,可取φ=-,所以y=sin+6=-cos x+6.答案:y=-cos x+6(答案不唯一)方程根(函数零点)问题【典例】已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2sin2ωx-(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图像,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.【解析】(1)f(x)=2sinωxcosωx+(2sin2ωx-1)=sin2ωx-cos2ωx=2sin.由最小正周期为π,得ω=1,所以f(x)=2sin,由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),整理得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到y=2sin2x+1的图像;所以g(x)=2sin2x+1.令g(x)=0,得x=kπ+或x=kπ+(k∈Z),所以在[0,π]上恰好有两个零点,若y=g(x)在[0,b]上有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可.所以b的最小值为4π+=.方程的根与函数图像的交点有何关系?提示:方程根的个数可转化为两个函数图像的交点个数.综合应用问题【典例】(2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点,下述四个结论:①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点③f(x)在上单调递增④ω的取值范围是.其中所有正确结论的编号是( )A.①④B.②③C.①②③D.①③④【解析】选D.①若f(x)在[0,2π]上有5个零点,可画出大致图像,由图1可知,f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点,所以①正确.②由图1、图2可知,f(x)在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点,故②错误.③函数f(x)=sin的增区间为-+2kπ<ωx+<+2kπ(k∈Z),<x<.取k=0,当ω=时,单调递增区间为-π<x<π;当ω=时,单调递增区间为-π<x<π,综上可得f(x)在上单调递增.故③正确.④当f(x)=sin=0时,ωx+=kπ(k∈Z),所以x=,因为f(x)在[0,2π]上有5个零点.所以当k=5时,x=≤2π,当k=6时,x=>2π,解得≤ω<,故④正确.所以结论正确的编号有①③④.本题考查哪些知识?提示:三角函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质,制图用图能力,数形结合思想,数学运算的核心素养.1.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos(x=1,2,3, (12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28℃,12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的平均气温为℃.【解析】因为当x=6时,y=a+A=28;当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5,所以y=f(x)=23+5cos,所以当x=10时,f(10)=23+5cos=23-5×=20.5(℃).答案:20.52.(2020·临沂模拟)函数f(x)=sin的图像上相邻的两个最高点之间的距离为.【解析】由题意知,函数f(x)的图像上相邻的两个最高点之间的距离为函数f(x)的一个最小正周期,函数f(x)的最小正周期为=π.答案:π3.已知关于x的方程2sin2x-sin2x+m-1=0在上有两个不同的实数根,则m的取值范围是.【解析】方程2sin2x-sin2x+m-1=0可转化为m=1-2sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin,x∈.设2x+=t,则t∈,所以题目条件可转化为=sint,t∈有两个不同的实数根.所以y1=和y2=sint,t∈的图像有两个不同交点,如图:由图像知,的取值范围是,所以m的取值范围是(-2,-1).答案:(-2,-1)1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图像如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2022)的值等于( )A. B.2+2C.+2D.-2【解析】选A.由图像知A=2,φ=0,T=8,所以=8,即ω=,所以f(x)=2sin x.因为周期为8,且f(1)+f(2)+…+f(8)=0,所以f(1)+f(2)+…+f(2022)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6) =2sin+2sin+2sin+2sinπ+2sin+2sin=.2.(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:①f(x)是偶函数②f(x)在区间单调递增③f(x)在[-π,π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是( )A.①②④B.②④C.①④D.①③【解析】选C.因为f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确.当<x<π时,f(x)=2sinx,它在区间单调递减,故②错误.当0≤x≤π时,f(x)=2sinx,它有两个零点:0,π;当-π≤x<0时, f(x)=sin(-x)-sinx=-2sinx,它有一个零点:-π,故f(x)在[-π,π]有3个零点:-π,0,π,故③错误.当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N*)时,f(x)=2sinx;当x∈[2kπ+π,2kπ+2π](k∈N*)时,f(x)=sinx-sinx=0,又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确.综上所述,①④正确.秒杀绝招画出函数f(x)=sin|x|+|sin x|的图像,由图像可得①④正确.。

A．y＝sin2x
B．y＝sinx
C．y＝tan2x
D．y＝cos2x
解析 y＝sin2x 在区间π2，π上的单调性是先减后增；y＝sinx 的最小正 周期是 T＝2ωπ＝2π；y＝tan2x的最小正周期是 T＝ωπ ＝2π；y＝cos2x 满足条 件．故选 D.
解析 答案
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( ) A．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 3 B．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 4 C．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 3 D．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 4 解析 根据题意，有 f(x)＝32cos2x＋52，所以函数 f(x)的最小正周期为 T ＝22π＝π，且最大值为 f(x)max＝32＋52＝4.故选 B.
复习课件
2021高考数学一轮复习统考第4章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象与性质课件北师大版
2021/4/17
2021高考数学一轮复习统考第4章三角函数解三角形第3讲三角函 数的图象与性质课件北师大版
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第四章 三角函数、解三角形 第3讲 三角函数的图象与性质
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PART ONE
基础知识整合
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 在正弦函数 y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，π2，1， (π，0)，32π，－1，(2π，0)， 在余弦函数 y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，π2，0， (π，－1)，32π，0，(2π，1)．
在 11 __－__π2__＋__k_π_，_ __π2_＋__k_π_(_k_∈__Z_)___ 上递增
____(k_∈__Z__)_____上递减 上递减