高等数学习题集（含答案）一
一、函数极限和连续
(一)选择题
1、已知四个命题：
（1）若在点连续，则在点必有极限
（2）若在点有极限，则在点必连续
（3）若在点无极限，则在点一定不连续
（4）若在点不连续，则在点一定无极限。
其中正确的命题个数是（ B ）
A、1
B、2
C、3
D、4
2、若，则下列说法正确的是（ C ）
A、在处有意义
B、
C、在处可以无意义
D、可以只从一侧无限趋近于
3、下列命题错误的是（ D ）
A、函数在点处连续的充要条件是在点左、右连续
B、函数在点处连续，则
C、初等函数在其定义区间上是连续的
D、对于函数有
4、已知，则的值是（ C ）
A、 B、 C、 D、
5、下列式子中，正确的是（ B ）
A、 B、 C、 D、
6、，则的值分别为（ A ）
A、 B、 C、 D、
7、已知则的值是（ C ）
A、 B、0 C、8 D、不存在
8、（ D ）
A、0
B、1
C、
D、
(二)填空题
1、当定义 2 时，在处是连续的。
2、 12/11 。
3、。
4、 2/3 。
5、 1/2 。
6、。
7、设
(1)求时，的左极限和右极限都为 1 ；
(2)求在的函数值，它在这点连续吗？不连续
(3)求出的连续区间 （0，1）（1，2） 。
(三)利用两个重要极限求极限
1. 203cos 1lim
x x
x -→
解：原式=
61
)2(122sin 2lim 32sin 2lim
2
2
02
20
=⋅=→→x x
x x x x 。注：本题也可以用洛比达法则。
2. x
x x 2
)
sin 31(lim -→
解：原式=6
sin 6sin 31
sin 6sin 310
]
)
sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-⋅
-→=-=-e x x x
x x
x x
x
x x
3. n
n n n )12(lim +-∞→
解：原式=
31
331
1
331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-⋅
-+∞→=+-+=+-+e n n n n
n n n n
n n 。
(四)利用等价无穷小代换求极限
1.
)arctan()
31ln(lim
20
x x x x +→
解：)31ln(0x x +→时， ～x 3，)arctan(2x ～2x ，∴ 原式=33lim
2
=⋅→x x
x x 。
2. x x e e x
x x sin lim
sin 0--→
解：原式=1sin )sin (lim sin )1(lim sin 0sin sin 0=--=--→-→x x x x e x x e e x x x x x x 。
注：下面的解法是错误的：
原式=1sin sin lim sin )1()1(lim 0sin 0=--=----→→x x x x x x e e x x x x 。
正如下面例题解法错误一样： 0lim sin tan lim
3030
=-=-→→x x
x x x x x x 。
注：代数和不能直接用等价无穷小。
3. x x x x sin )
1
sin tan(lim
20→
解：等价
与是无穷小，时，当x x x x x x x 1
sin )1sin tan(1sin 0222∴→ ，
所以， 原式=0
1sin lim 1
sin
lim
020
==→→x x x x x x x （无穷小与有界函数积为无穷小）
4.
解：原式=lim
x→0
1
2xsinx x 2
=12lim
x→0
sinx x
=1
2
(五)利用洛比达法则求极限
1. 203cos 1lim
x x
x -→
解：原式=61
6sin lim 0=
→x x x 。（最后一步用到了重要极限）
2.
12cos
lim
1
-→x x
x π
解：原式=
212sin
2
lim
1
πππ
-=-
→x
x 。
3. 30
sin lim
x x
x x -→
)11
sin 1(lim 2
--+→x x e x x
