一个离散可积族的可积耦合及其Hamilton结构

第３７卷第３期　２０１５年５月　泰山学院学报　

ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＴＡＩＳＨＡＮ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　Ｖ０１．３７　ＮＯ．３　

Ｍａｙ．　２０１５　

一个离散可积族的可积耦合　及其Ｈａｍｉｌｔｏｎ结构　

徐秀丽　（枣庄科技职业学院高级技工部，山东枣庄２７７５００）　［摘要］　由位移算子通过二次型恒等式直接得到离散可积族的耦合及其Ｈａｍｉｌｔｏｎ结构．这种方法具有　普遍性，可应用于其他离散方程族．　［关键词］　可积耦合；二次型恒等式；Ｈａｍｉｌｔｏｎ结构　［中图分类号］　Ｏ１７５．８　［文献标识码］　Ａ［文章编号］　１６７２—２５９０（２０１５）０３—００１１—０７　

１　引言　近年来，Ｌａｔｔｉｃｅ可积族成为可积系统理论研究的焦点，备受关注．许多非线性Ｌａｔｔｉｃｅ可积族　及　其哈密顿结构的离散路径已经建立　，同时很多离散可积族的可积耦合的建立方法已被提到　¨　．然　而，如何建立一些离散可积族的哈密顿结构仍是非常重要和有趣的课题．郭福奎教授和张玉峰教授提出　了二次型恒等式　，为建立连续可积耦合的Ｈａｍｉｌｔｏｎ结构提供了理论依据．由于不存在换位运算，　我们无法直接通过二次型恒等式直接得到离散可积耦合的Ｈａｍｉｌｔｏｎ结构¨　．基于以上问题，我们尽力　利用位移算子构建类似于连续可积族的换位运算，从而利用二次型恒等式得到离散可积族的Ｈａｍｉｌｔｏｎ　结构．　Ｇ是一个以｛ｅ　，ｅ　，…ｅ　｝，ｏ＝∑　：　ａｋｅ　，ｂ＝∑　：　ｂ　ｅ　∈Ｇ为基满足矩阵乘法封闭的ｓ一维Ｌｉｅ代数．相　应的的ｌｏｏｐ代数　的基为　（ｍ）＝ｅｋＡ　，１≤尼≤ｓ，ｅ　（ｍ）ｅｊ（凡）＝ｅｋｅｊＡ　，其向量形式为　Ｇ＝｛ａ＝（ａ１，ａ２，…，ａ８）　｝，ａ　＝＂２ａ　Ａ　，ａｂ＝ｃ＝（ｃ１，ｃ２，…，ｃ８）　（１）　由离散的零曲率方程　＝（Ｅｒ）Ｕ　一Ｕ　Ｆ　（２）　及其静态零曲率方程　（盯）　一　Ｆ＝０　（３）　若ｒ　和ｒ　（３）同阶解满足ｒ　＝　ｒ　，［口，ｂ］　＝口　Ｒ（ｂ），口，ｂ∈　，对称矩阵Ｆ＝（　）ｓ　ｓ，要求满足：　Ｆ＝Ｆ　，Ｒ（６）Ｆ＝一Ｒ（６）Ｆ　（４）　由二次型恒等式　｛　，　｝＝Ａ　蠹｛　，　｝，　＝１，２，…，ｐ，其中，Ｖ＝ｒ　（５）　

构造李代数　Ｇ＝ｓｐａｎ｛ｅ１，ｅ２，…，ｅ８｝，ａ＝∑　：１ａｋｅ　，ｂ＝∑　：１ｂｋｅ　∈Ｇ，　其中　

［收稿日期］２０１５—０３—２７　［作者简介］徐秀丽（１９８２一），女，山东枣庄人，枣庄科技职业学院高级技工部讲师　ｌ２　泰山学院学报　第３７卷　『，　。０。０。０］『，　。０吕］ｆ，　。０　ｅ　＝１　０　０　１　０　ｌ’ｅ２：１　０　０　０　１　Ｉ’ｅ３＝１　０　０　ｌｏ　０　０　０ｊ　０　０　０　０／　ｌ０　０　

０　０。０三］　

ｅ５＝ｌ　０　０　０　０　ｌ’ｅ６＝ｌ　０　０　０　０　ｌ，ｅ７＝１　０　０　０　０　０　０　Ｊ　ｌ０　０　０　０ｊ　ｌ０　０　

易证Ｇ满足矩阵乘法具有封闭性　．ａ＝（ａ　，ａ，，．．　０　０　Ｉ　１　０　１　０　０｝　０　０　ｅ４　ｌ　０　０　０　０　Ｉ，　１　０，Ｊ　０　０　０　１　ｊ　０　０］　ｆ，０　０　０　０、　０　。０　）ｅ８＝ｌ。０。０三０　ｆ＝Ｉ　ｏ　Ｉ，　０　０／　ｌ０　０　０　ｌ　Ｊ　・，ａ　）　，６＝（ｂ　，ｂ　，…，ｂ　）Ｔ．定义交换算子为　［。，ｂ］＝（ａ３ｂ２一ｂ３口２，ａ２ｂ１一ｂ２０ｌ＋ａ４ｂ２一ｂ４０２，ａ３ｂ４一ｂ３Ⅱ４＋ａ１ｂ３一ｂｌ０３，ａ２ｂ３～　６３０２，ａ７ｂ２—６７。２＋ａ３ｂ６—６６０３，ａ６ｂ３一ｂ６０３＋ａ２ｂ７一ｂ２　７，ａ６ｂ１一ｂ６ａ１＋ａ８ｂ２—　

６８０２＋ａ２ｂｓ一６２０５＋ａ４ｂ６，ａ５ｂ３一ｂ５　３＋ａ７ｂ４一ｂ７０４＋０ｌ　ｂ７一ｂｌｎ７＋ａ３ｂ８一ｂ３　８）Ｔ　

（６）　

本文通过构造新的ｌｏｏｐ代数，借助于二次型恒等式得到了离散可积族的可积耦合及其哈密顿结　构，这种方法非常新颖，可广泛应用于其他离散可积族．　

２　Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ结构　设计对等谱问题　ｒ　＝Ｕ　，Ａ　＝０　Ｊ　，　【　（“，Ａ）＝（０，一　１，ｒ，（Ａ＋ｓ），０，ｕｌ，　，ｕ３）　

由离散的静态零曲率方程（ＥＦ）Ｕ　一Ｕ　Ｆ：０　得递推关系　『，　”＋÷ｃｍ＝０，　

｛一÷（。　＋。　）＋　）＿０，　Ｉ　ｒ（。　＋ｎ　）＋ＳＣｍ＋Ｃｍ＋１＝。，　

Ｊ（蹦　＋ｌ＋　）＋ｒ６　＋　ｃ　＝０，　Ｉ　６　＋　＋　ｃ　）＿０，　ｆ　。　’＋ｕ　６　一÷ｅ（ｍＩ’＋　’＋　？　＋÷　＋“　ｎ　：０，　Ｉ一“　。　＋ｒｈ　（　）－－Ｆｅｒｎ－ｇｉｎ＊１一ｓｇｍ－ｕ２ａｍ－－Ｕ３￣ｍ：０　ｌ　ｕ　ｃ　’　。　一　’　ｈ　（ｊ）＋＾　一　一　６　＂４－ｕ３ａｍ：０，　

ｆ　ｎ。一÷，６。：ｃ。＝　＝　＝　。：。。＝　＝０，６　＝一　，　ｌ　ｃ　－ｒ　，。：：一　，…　

（７）　（８）　

（９）　第３期　徐秀丽：一个离散可积族的可积耦合及其Ｈａｍｉｌｔｏｎ结构　一ｒ　（一÷（０　’＋。　）＋６　１＋ｓ６　’）＝ｒ（（０　’＋ｏ　）一ｒｂ　一ｒ６　１）＝ｒ（ａ　（。１’＋ａｍ）＋３Ｃ　＋ｃ　＝ｏ．　也就是说（９）中的第三个方程可由其他的推出来．　定义　Ｆ　’＝∑　０（ａ　，ｂ　，Ｃ　，一ａｆ，ｅｌ　，ｇｆ，ｈ；）Ａ　～，ｒ　’＝ＡＦ　’一ｒ　’，　方程（８）可以写成　（Ｅｒ　’）　一Ｕ　ｒ　＝～（ＥＦ（Ｙ’）　＋　ｒ　．　

直接计算得　

（　ｒ　’）　一Ｕ　ｒ　＝　Ｏ　一６　Ｃｍ＋１　０　１一ａ　＋１　０　

一　¨．　

ｇ，ｎ＋１　ｈ…一　

取Ｆ　＝ｒ？’，由零曲率方程Ｕ　一（ＥＦ　’）Ｕ　＋Ｕ　Ｆ　’：０直接计算得　

从（６）可得　［ａ，ｂ］　＝ａ　

Ｍ　￡ｍ＝　

ｃ　ｒｎ＋１　ｎ　１一ａ　一　？　

ｇｍ＋１　ｈ　一　

０　一ｂ２　ｂ３　０　０　一ｂ３　ｂ１一ｂ４　０　ｂ３　～ｂ７　ｂ２　０　ｂ４一ｂｌ　—ｂ２　ｂ６　０　ｂ２　一ｂ３　０　０　０　０　０　０　０　０　０　０　０　一ｂ３　０　０　０　０　ｂ２　０　０　０　０　０　＝ａＷＲ（ｂ）　利用二次型恒等式，我们可求得对称矩阵　一ｂ６　ｂ５一ｂ８　０　ｂ６　一ｂ２　ｂ１一ｂ４　０　ｂ２　

ｂ７　０　０　ｂ７　ｂ８一ｂ５　一ｂ６　

一ｂ７　０　ｂ　０　０　ｂ３　ｂ４一ｂ１　一ｂ２　

一ｂ　０　

（１０）　（１１）　（１２）　Ｆ＝　泰山学院学报　｛０，ｂ｝＝（口１＋ｎ４）ｂ１＋（。３＋０７）ｂ２＋（口２＋ａ６）ｂ３＋（ｎ４＋ａ８）ｂ４　＋ａ１ｂ５＋ａ３ｂ６＋ａ２ｂ７＋ａ４ｂ８．　为建立（１１）的哈密顿结构，规定　

其中　Ｖ＝ｒ　１　ａｒ　

１　Ｃｒ　

０　０　

ｌ３　。　（入＋ｓ）ａ—ｒ６　

（Ａ＋ｓ）Ｃ十ｒａ　

—Ｕ　ｒ～ａ＋ｒ　一『上　ｒ一‘ｃ＋ｒ　１　ｒ　

ｃｒ　

第３７卷　（１３）　（１４）　

＝“，。一＿Ａ＋＿ｓ　口一ｒ２　６＋（Ａ＋ｓ　ｅ－　＋ｒ（Ａ＋　）“　口　

，＝　一　一ｒ２　６＋（Ａ＋ｓ）ｇ一　＋ｒ（Ａ＋ｓ）　｛　，　｝＝｛　，Ｕ　｝＝ｃｒ一　一Ｍ２ｒ－２ｃ＋ｇｒ一　，　ｕ　（（Ａ＋ｓ）ｃ＋ｍ＋ｕ，　一＿Ａ＋ｓｎ：ｃ—ｒ２ｕ　６＋（Ａ＋ｓ）ｇ一　＋ｒ（Ａ＋ｓ）ｕ１ｃ）ｒ一　＋。ｒ－１一ｕ　ｒ－２Ⅱ　

１　ｒ　ｅ．　

，Ｕ　｝＝（Ａ＋ｓ）ｃ＋ｒｃｔ，｛　，Ｕｎ　｝＝ａｒ－１，｛　，Ｕ　｝＝ｃｒ　１，　

因此，利用二次型恒等式　

其中　）｛　，　

（。　～一ｕ　－２ｃ＋ｇｒ一　）＝Ａ　Ｄ　

Ａ＝（（Ａ＋ｓ）ｃ＋ｍ＋　一　一ｒ２“　６＋（Ａ＋　）ｇ～　＋ｒ（Ａ十ｓ）　）　ｒ一２＋ａｒ一１一Ｉｔ２ｒ一２ｎ—ｒ—ｌｅ　

一，ｂ　。６ｍＡ　

∑ｈｍＡ～，　ｍ：Ｏ　

｛：　

（１５）　

０　０　０　１　Ｏ　０　０　０　０　０　０　Ｏ　０　０　０　Ｏ　０　１　０　Ｏ　０　０　０　０　０　１　Ｏ　０　０　０　０　０　Ｏ　ｌ　Ｏ　Ｏ　Ｏ　ｌ　Ｏ　１　０　Ｏ　Ｏ　ｌ　０　Ｏ　Ｏ　０　ｌ　０　Ｏ　Ｏ　ｌ　Ｏ　ｌ　０　０　１　ｌ　Ｏ　０　ｌ　＼●●　●　●●●●　●’、　ｅ　ｇ　而　一　＋　口　Ｃ　Ｏ　０　＋　＋　八　Ａ　／　／　／，　．．．．．．．．．．。．　．．．．．　．．。，　：　１●Ｉ　，Ｊ　—入　一ａ　，●●Ｊ、【　一乩得　ｇ　口～　Ａ　—ｒ　一　¨　

一　Ａ　

／，　．．．　．，，．，．．．．．。。．　．．Ａ　一