高中数学三角函数专题：诱导公式

第四象限 第二象限
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900 ， rad ， 2700 ， 3 rad
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2700 ， 3 rad ， 900 ， rad
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y 轴正半轴 y 轴负半轴
第二象限 第四象限
第一象限 第三象限
第三步：根据象限判断三角函数的正负。
如下表所示：
第一象限
正弦 sin
正
余弦 cos
正
正切 tan
改成正弦 sin
。
22
所以： cos(2x 3 ) sin 2x cos2 (x 3 ) 1 1 cos(2x 3 ) 1 1 sin 2x 。
② cos(x 3 ) 2
⑤ tan(x 2700 )
③ tan( x) ⑥ sin( x)
⑦ tan(
x)
2
⑧ sin(900 x)
⑨ cos(x )
题型二：半角接诱导公式化简。
知识点：三角函数的半角公式。
① cos2 x 1 1 cos 2x 22
② sin 2 x 1 1 cos 2x 22
第二步：另一个角为 x ，另一个角为负 x 为第三象限角。 2
第三步：正切 tan 在第三象限为正。
第四步：
为
的奇数倍 三角函数名称改变 正切 tan
改成余切 cot
。
22
所以： tan(x ) cot x 。 2
跟踪训练：化简下列三角函数关系式。
① sin(900 x) ④ cos(x 900 )
正
第二象限 正 负 负
第三象限 负 负 正
第四象限 负 正 负
第四步：奇变偶不变。
如下表所示：
(900 ) 的奇数倍： 2
900 ， rad ， 2700 ， 3 rad
2
2
900 ， rad ， 2700 ， 3 rad
2
2
三角函数名称改变
①正弦 sin 改为余弦 cos ；
②余弦 cos 改成正弦 sin ；
③正切 tan 改成余切 cot 。
注意：余切为正切的倒数。
(900 ) 的偶数倍： 2 00 ， 0rad ，1800 ， rad ， 3600 ， 2rad 1800 ， rad ， 3600 ， 2rad
三角函数名称不变
①正弦 sin 还是正弦 sin ； ②余弦 cos 还是余弦 cos ； ③正切 tan 还是正切 tan 。
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4 22
2
根据诱导公式化简： cos(2x ) 。 2
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第一步： 的终边在 y 轴正半轴， y 轴正半轴划分第一象限和第二象限。
2
第二步：另一个角为 2x ，另一个角为负 2x 是第一象限角。 2
第三步：余弦 cos 在第一象限为正。
第四步：
是
的奇数倍 三角函数名称改变 余弦 cos
③ sin x cos x 1 sin 2x 2
例题：化简下列三角函数关系式。
① sin 2 (x ) 4
② cos2 (x 3 ) 4
③ sin( x ) cos( x ) 24 24
本题解析： ① sin 2 (x ) 。 4
根据三角函数的半角公式得到： sin 2 (x ) 1 1 cos[2(x )] 1 1 cos(2x ) 。
2
2
第二步：判断两角和差整体的象限。 如下表所示：
(900 ) 的倍数 2 00 ， 0rad ， 3600 ， 2rad ， 3600 ， 2rad 1800 ， rad ， 1800 ， rad
(900 ) 所在终边 2
x 轴正半轴 x 轴负半轴
另一个角为正 另一个角为负
第一象限 第三象限
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4 22
2
根据诱导公式化简： cos(2x 3 ) 。 2
第一步： 3 的终边在 y 轴负半轴， y 轴负半轴划分第三象限和第四象限。 2
第二步：另一个角为 2x ，另一个角为正 2x 3 是第四象限角。 2
第三步：余弦 cos 在第四象限为正。
第四步： 3
是
的奇数倍 三角函数名称改变 余弦 cos
高中数学三角函数专题：诱导公式
第一部分：诱导公式原理
知识点一：诱导公式的使用条件和原理。
诱导公式的使用条件：特殊的两角和差公式，特殊之处在于其中一个角为 或者 900 的倍数。 2
诱导公式的总原理：正负看象限，奇变偶不变。
知识点二：诱导公式判断方法。
第一步：判断 倍数所在的终边。
2
如下图所示：
从始边 x 轴正半轴逆时针旋转一周
第二步：另一个角为 x ，另一个角为正 x 900 为第二象限角。
第三步：余弦 cos 在第二象限为负；
第四步： 900 为 900 的奇数倍 三角函数名称改变 余弦 cos 改成正弦 sin 。
所以： cos(x 900 ) sin x 。
③ tan(x ) 。 2
第一步： 的终边为 y 轴的负半轴， y 轴的负半轴划分第三象限和第四象限。 2
第三步：正弦 sin 在第二象限为正。
第四步： 为 的偶数倍 三角函数名称不变 正弦 sin 还是正弦 sin 。
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所以： sin(x ) sin x 。
② cos(x 900 ) 。
第一步： 900 的终边为 y 轴的正半轴， y 轴的正半轴划分第一象限和第二象限。
第二部分：诱导公式题型
题型一：诱导公式化简。
例题：化简下列三角函数关系式。
① sin(x )
② cos(x 900 )
本题解析：① sin(x ) 。
③ tan(x ) 2
第一步： 的终边为 x 轴的负半轴， x 轴的负半轴划分第二象限和第三象限。 第二步：另一个角为 x ，另一个角为负 x 为第二象限角。
从始边 x 轴正半轴顺时针旋转一周
如下表所示： 终边
x 轴正半轴 x 轴负半轴 y 轴正半轴
y 轴负半轴
角度
00 ， 0rad ， 3600 ， 2rad ， 3600 ， 2rad
1800 ，rad ， 1800 ， rad
900
，
rad
， 2700 ，
3
rad
2
2
2700 ， 3 rad ， 900 ， rad
改成正弦 sin
。
22
所以： cos(2x ) sin 2x sin 2 (x ) 1 1 cos(2x ) 1 1 sin 2x 。
2
4 22
2 22
② cos2 (x 3 ) 。 4
根据三角函数半角公式得到： cos2 (x 3 ) 1 1 cos[2(x 3 )] 1 1 cos(2x 3 ) 。