[小初高学习]山东省齐河县高考数学三轮冲刺 专题 正态分布练习(含解析)理

离散型随机变量及其分布一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 若，且，，则A. B. 3 C. D. 2（正确答案）A解：随机变量，且，，，且，解得，．故选：A．根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望和方差公式，得到关于n和p的方程组，整体计算求解方程组得答案．本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查二项分布的期望公式与方差公式的应用，是基础题．2. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则A. B. C. D.（正确答案）B解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足，，可得，可得即．因为，可得，解得或舍去．故选：B．利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，独立重复事件的应用，考查转化思想以及计算能力．3. 设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差A. 2B. 1C.D.（正确答案）C解：每一次红球被摸到的概率．由题意可得：，1，2，．则．故选：C．每一次红球被摸到的概率由题意可得：，1，2，即可得出．本小题主要考查二项分布列的性质及其数学期望等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4. 袋中装有10个红球、5个黑球每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止若抽取的次数为，则表示“放回5个红球”事件的是A. B. C. D.（正确答案）C解：由题意知，袋中装有10个红球、5个黑球，取得黑球则另换1个红球放回袋中，所以“放回5个红球”表示前五次抽取黑球，第六次抽取红球，即，故选C．根据题意和无放回抽样的性质求出表示“放回5个红球”事件的值．本题考查了离散型随机变量的取值，以及无放回抽样的性质，是基础题．5. 已知随机变量，若，则，分别是A. 6和B. 4和C. 4和D. 6和（正确答案）C解：由题意，知随机变量X服从二项分布，，，则均值，方差，又，，，．故选：C．先由，得均值，方差，然后由得，再根据公式求解即可．解题关键是若两个随机变量Y，X满足一次关系式b为常数，当已知、时，则有，．6. 已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则A. 3B.C.D. 4（正确答案）B解：由题意知的可能取值为2，3，4，，，，．故选：B．由题意知的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出．本题离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．7. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：“石头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头”现有甲、乙两人玩这个游戏，共玩3局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势设甲赢乙的局数为，则随机变量的数学期望是A. B. C. D. 1（正确答案）D解：由题意可得随机变量的可能取值为：0、1、2、3，每一局中甲胜的概率为，平的概率为，输的概率为，故，，，，故，故E故选D的可能取值为：0、1、2、3，每一局中甲胜的概率为，进而可得，由二项分布的期望的求解可得答案．本题考查离散型随机变量的期望的求解，得出是解决问题的关键，属中档题．8. 设，随机变量的分布列是0 1 2P则当p在内增大时，A. 减小B. 增大C. 先减小后增大D. 先增大后减小（正确答案）D解：设，随机变量的分布列是；方差是，时，单调递增；时，单调递减；先增大后减小．故选：D．求出随机变量的分布列与方差，再讨论的单调情况．本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为b，，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为A. B. C. D. 4（正确答案）C解：由题意可得：，即，b，，，当且仅当时取等号．故选：C．由题意可得：，即，b，，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了数学期望计算公式、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10. 口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以表示取出球的最小号码，则A. B. C. D.（正确答案）B解：由题意可得，1，2．则，，．可得分布列为：0 1 2P．故选：B．由题意可得，1，可得，，即可得出．本题考查了随机变量分布列及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11. 设离散型随机变量X的分布列为X 1 2 3P则的充要条件是A. B. C. D.（正确答案）C解：由离散型随机变量X的分布列知：当时，，解得，当时，．．的充要条件是．故选：C．当时，由离散型随机变量X的分布列的性质列出方程组得，当时，能求出从而得到的充要条件是．本题考查离散型随机变量的数学期望为2的充要条件的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的性质的合理运用．12. 随机变量X的分布列如表所示，若，则X 0 1P a bA. 9B. 7C. 5D. 3（正确答案）C解：，由随机变量X的分布列得：，解得，，．．故选：C．由，利用随机变量X的分布列列出方程组，求出，，由此能求出，再由，能求出结果．本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则 ______ ．（正确答案）解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，，，则．故答案为：．判断概率满足的类型，然后求解方差即可．本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键．14. 随机变量的取值为0，1，2，若，，则 ______ ．（正确答案）解析：设，，则由已知得，，解得，，所以．故答案为：结合方差的计算公式可知，应先求出，，根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得．本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．15. 射击比赛每人射2次，约定全部不中得0分，只中一弹得10分，中两弹得15分，某人每次射击的命中率均为，则他得分的数学期望是______分（正确答案）解：射击的命中的得分为X，X的取值可能为0，10，15．，，，．故答案为：．射击的命中得分为X，X的取值可能为0，10，15，然后分别求出相应的概率，根据数学期望公式解之即可．本题主要考查了二项分布与n次独立重复试验的模型，同时考查了离散型随机变量的数学期望，属于中档题．16. 随机变量的分布列为：0 1 2 3P x随机变量的方差 ______ ．（正确答案）1解：由随机变量的分布列的性质得：，解得，，．故答案为：1．由随机变量的分布列的性质得求出，从而得，由此能求出．本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．三、解答题（本大题共3小题，共40分）17. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．求X的分布列；若要求，确定n的最小值；以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？（正确答案）解：Ⅰ由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，，，，，，，，的分布列为：X 16 17 18 19 20 21 22 PⅡ由Ⅰ知：．．中，n的最小值为19．Ⅲ由Ⅰ得：．买19个所需费用期望：，买20个所需费用期望：，，买19个更合适．Ⅰ由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．Ⅱ由X的分布列求出，由此能确定满足中n的最小值．Ⅲ由X的分布列得求出买19个所需费用期望和买20个所需费用期望，由此能求出买19个更合适．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．18. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．求六月份这种酸奶一天的需求量单位：瓶的分布列；设六月份一天销售这种酸奶的利润为单位：元，当六月份这种酸奶一天的进货量单位：瓶为多少时，Y的数学期望达到最大值？（正确答案）解：由题意知X的可能取值为200，300，500，，，，的分布列为：X 200 300 500P由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑，当时，若最高气温不低于25，则；若最高气温位于区间，则；若最高气温低于20，则，，当时，若最高气温不低于20，则，若最高气温低于20，则，．时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题．由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑，根据和分类讨论经，能得到当时，EY最大值为520元．19. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．Ⅰ求至少有一种新产品研发成功的概率；Ⅱ若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．（正确答案）解：Ⅰ设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．则，再根据对立事件的概率之间的公式可得，故至少有一种新产品研发成功的概率为．Ⅱ由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，由独立试验的概率计算公式可得，，，，，所以X的分布列如下：X 0 120 100 220则数学期望．Ⅰ利用对立事件的概率公式，计算即可，Ⅱ求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可．本题主要考查了对立事件的概率，分布列和数学期望，培养学生的计算能力，也是近几年高考题目的常考的题型．。

坐标与距离公式一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 过点，斜率为k的直线，被圆截得的弦长为，则k的值为A. B。

C. D。

（正确答案）A解：设直线方程为,即，圆截得的弦长为，圆心到直线的距离为，，．故选：A．设直线方程为，利用圆截得的弦长为,求出圆心到直线的距离为1,即可得出结论．本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，确定圆心到直线的距离为1是关键．2. 若两平行直线:与：之间的距离是，则A. 0 B。

1 C。

D。

（正确答案)C解：由题意，解得，即直线:,所以两直线之间的距离为,解得，所以，故选C．化简直线,利用两直线之间的距离为，求出m，即可得出结论．本题考查两条平行线间的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．3。

点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是A. 1 B。

C. 2 D。

（正确答案)B解：由题意作图如下，当点P是曲线的切线中与直线平行的直线的切点时,与直线距离最近；故令解得，；故点P的坐标为；故点P到直线的最小值为；故选:B．画出函数的图象，故当点P是曲线的切线中与直线平行的直线的切点时，然后求解即可．本题考查了几何意义的运用及导数的综合应用，平行线之间距离的求法,考查转化思想以及计算能力，属于中档题．4. 曲线上的点到直线的最短距离为A。

B. C。

D。

2（正确答案）A解:设与直线平行且与曲线相切的直线方程为．设切点为，，斜率，解得，因此．切点为．则点P到直线的距离．曲线上的点到直线的最短距离是．故选：A．设与直线平行且与曲线相切的直线方程为设切点为,利用导数的几何意义求得切点P，再利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间的距离、点到直线的距离公式,属于中档题．5。

在平面直角坐标系中,记d为点到直线的距离当、m变化时,d的最大值为A. 1 B。

2 C。

3 D。

4（正确答案）C解：由题意，,当时，．的最大值为3．故选：C．由题意,当时，由此能求出d的最大值．本题考查点到直线的距离的最大值的求法,考查点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力,考查函数与方程思想，是中档题．6. 圆的圆心到直线的距离为A。

空间中的位置关系一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则（正确答案）B解：若，，则m，n相交或平行或异面，故A错；B.若，，则，故B正确；C.若，，则或，故C错；D.若，，则或或，故D错．故选：B．A.运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B.运用线面垂直的性质，即可判断；C.运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．2. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为A. B. C. D.（正确答案）A解：设球的半径为R，则棱锥的高为4，底面边长为2，，，球的表面积为．故选：A．正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为O，求出，，解出球的半径，求出球的表面积．本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．3. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为A. 相交B. 平行C. 异面而且垂直D. 异面但不垂直（正确答案）D解：由该正方体的平面展开图画出它的直观图为：可以看出AB与CD异面；如图，设该正方体一顶点为E，连接CE，DE，则；为异面直线AB，CD的夹角，并且该角为；，CD异面但不垂直．故选：D．根据该正方体的平面展开图画出对应的直观图即可判断AB，CD的位置关系．考查异面直线的概念，异面直线所成角的概念及求法，以及由正方体的平面展开图可以画出它对应的直观图．4. 已知，是相异两平面，m，n是相异两直线，则下列命题中不正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则（正确答案）C解：在A中：若，，则由直线与平面垂直的判定定理得，故A正确；在B中：若，，则由平面与平面平行的判定定理得，故B正确；在C中：若，，则m与n平行或异面，故C错误；在D中：若，，则由平面与平面垂直的判定定理得，故D正确．故选：C．在A中，由直线与平面垂直的判定定理得；在B中，由平面与平面平行的判定定理得；在C中，m 与n平行或异面；在D中，由平面与平面垂直的判定定理得．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．5. 如图，在正方体中，下列结论不正确的是A.B.C.D.（正确答案）C解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长．则0，，1，，1，，1，，0，．，0，．．．因此不可能有 C.故选：C．如图所示，建立空间直角坐标系利用向量垂直与数量积的关系即可得出．本题考查了空间线线位置关系及其判定方法，属于基础题．6. 若平面平面，平面平面，则A. B.C. 与相交但不垂直D. 以上都有可能（正确答案）D解：，，则：，，与相交但不垂直，这三种情况都有可能，如下面图形所示：：：与相交但不垂直：故选D．根据已知条件，可以想象，的关系，容易得到A，B，C三种情况都有，所以选D．考查面面垂直的概念，以及空间想象能力，以及考查同时和一个平面垂直的两平面的位置关系．7. 在下列四个正方体中，能得出的是A. B.C. D.（正确答案）A解：对于A，作出过AB的对角面如图，可得直线CD与这个对角面垂直，根据线面垂直的性质，成立；对于B，作出过AB的等边三角形截面如图，将CD平移至内侧面，可得CD与AB所成角等于；对于C、D，将CD平移至经过B点的侧棱处，可得AB、CD所成角都是锐角．故选A．在图A中作出经过AB的对角面，发现它与CD垂直，故AB成立；在图B中作出正方体过AB的等边三角形截面，可得CD、AB成的角；而在图C、D中，不难将直线CD进行平移，得到CD与AB所成角为锐角由此可得正确答案．本题以正方体中的异面直线为例，要我们找出异面垂直的直线，着重考查了空间两直线的位置关系和直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于基础題．8. 已知m、n为空间两条不同直线，、、为不同的平面，则下列命题正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，则D. 若，，，则（正确答案）D解：对于A，只有和交线垂直，才能得线面垂直，故错；对于B，，，与即可以平行，也可以相交，故错；对于C，若，，，则a、b平行或异面，故不正确；对于D，若，，，面内一定存在直线存在与直线m平行，则，正确；故选：D本题考查空间直线的位置关系中平行的判定，直线与平面平行、垂直的性质定理等，要注意判定定理与性质定理的综合应用．9. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，侧面底面ABCD，，，则异面直线PB与AC所成的角为A.B.C.D.（正确答案）C解：由题意：底面ABCD为正方形，平面ABCD，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，，，，．是平行四边形，，所以就是异面直线PB与AC所成的角．设，在三角形ACM中，，，三角形ACM是等边三角形．所以等于，即异面直线PB与AC所成的角为．故选：C由已知可得：平面ABCD，底面ABCD为正方形，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，因为，所以ACM就是异面直线PB与AC所成的角本题考查了两条异面直线所成的角的证明及求法，空间直线与直线的位置关系，难度中档．10. 下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面MNP的图形的序号是A. B. C. D.（正确答案）B解：对图，构造AB所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面MNP，由线面平行的定义可得平面MNP．对图，通过证明得到平面MNP；对于、无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行；故选B．对于，可以构造面面平行，考虑线面平行定义；对于，考虑线面平行的判定及定义；对于，可以用线面平行的定义及判定定理判断；对于，用线面平行的判定定理即可．本题考查线面平行的判定，主要考虑定义、判定定理两种方法，同时运用面面平行的性质解决问题．11. 如图所示，在正方体中，点E是棱上的一个动点，平面交棱于点则下列命题中假命题是A. 存在点E，使得平面B. 存在点E，使得平面C. 对于任意的点E，平面平面D. 对于任意的点E，四棱锥的体积均不变（正确答案）B解：对A，当E为的中点时，则F也为的中点，，平面；故A为真命题；对B，假设平面，则在平面和平面上的射影，分别与BE，BF垂直，可得E与重合，F与重合，而B，，，四点不共面，不存在这样的点E，故B为假命题；对C，平面，平面，平面平面，故C是真命题；对D，，平面，四棱锥的体积为定值，故D是真命题；故选B．当E为的中点时，则F也为的中点，可证平面，判断A是真命题；用反证法证明不存在点E，使得平面，判断B是假命题；根据对于任意的点E，都有平面，判断C是真命题；根据，而两个三棱锥的体积为定值，判断D是真命题．本题考查了空间中直线与平面的平行，垂直关系及棱锥的体积计算，解答的关键是熟练掌握线面垂直的性质定理与判定定理．12. 设直线m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则（正确答案）D解：若，，，则、位置关系不确定，故不正确；若，则中存在直线c与m平行，，，则，，，不正确；若，，，则、可以相交，不正确；若，，则，，，正确，故选：D．对4个命题分别进行判断，即可得出结论．本题考查面面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面在下列命题中，正确的是______ 写出所有正确命题的序号若，，则或；若，，，，则；若，，则；若，，，则（正确答案）解：若，且，分两种情况：n在内或不在，则或故正确；若，，，，m，n相交，则，故不正确；若，，则，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确；由平行的传递性知若，，则，因为，所以，故正确．故答案为：．利用线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论．本题考查线面、面面平行、垂直的判定与性质，解题的关键是有着较强的空间感知能力及对空间中线面，面面，线线位置关系的理解与掌握，此类题是训练空间想像能力的题，属于中档题．14. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法不正确的序号是______ ．平面EOF平面EOF平面平面AOF．（正确答案）解：，，，平面EOF，故正确，错误；平面EOF，，故正确；同理可得：平面AOF，，故正确；又平面AOE，平面平面AOF，故正确；故答案为：．根据OA，OE，OF两两垂直即可判断得出结论．本题考查了线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，属于中档题．15. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，请你补充一个条件______，使平面平面填写你认为是正确的条件对应的序号．（正确答案）或解：在四棱锥中，底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，，，，平面PAC，．当或时，即有平面MBD．而PC属于平面PCD，平面平面PCD．故答案为：或．由已知得，，从而平面PAC，进而由此得到当或时，平面平面PCD．本题考查面面垂直的条件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．16. 如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是______．（正确答案）解：如下图所示：分别取棱、的中点M、N，连接MN，连接，、N、E、F为所在棱的中点，，，，又平面AEF，平面AEF，平面AEF；，，四边形为平行四边形，，又平面AEF，平面AEF，平面AEF，又，平面平面AEF，是侧面内一点，且平面AEF，则P必在线段MN上，在中，，同理，在中，求得，为等腰三角形，当P在MN中点O时，此时最短，P位于M、N处时最长，，，所以线段长度的取值范围是故答案为：分别取棱、的中点M、N，连接MN，易证平面平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．三、解答题（本大题共3小题，共40分）17. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，，，且二面角与二面角都是．Ⅰ证明平面平面EFDC；Ⅱ求二面角的余弦值．（正确答案）Ⅰ证明：为正方形，．，，，平面EFDC，平面ABEF，平面平面EFDC；Ⅱ解：由，，可得为二面角的平面角；由ABEF为正方形，平面EFDC，，平面EFDC即有，可得为二面角的平面角．可得．，平面EFDC，平面EFDC，平面EFDC，平面平面，平面ABCD，，，四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设，则0，，2a，，0，，2a，，2a，，，0，设平面BEC的法向量为，则，则，取0，．设平面ABC的法向量为，则，则，取．设二面角的大小为，则，则二面角的余弦值为．本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．Ⅰ证明平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面EFDC；Ⅱ证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角的余弦值．18. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，M为线段AD上一点，，N为PC的中点．证明：平面PAB；求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．（正确答案）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，为PC的中点，，且，又，，且，，且，则，且，四边形AMNG为平行四边形，则，平面PAB，平面PAB，平面PAB；法二、在中，过N作，垂足为E，连接ME，在中，由已知，，得，，，则，在中，，，由余弦定理得：，，而在中，，，即，，则平面PAB．由底面ABCD，得，又，，则平面PAB．，平面平面PAB，则平面PAB；解：在中，由，，，得．，则，底面ABCD，平面PAD，平面平面PAD，且平面平面，平面PAD，则平面平面PAD．在平面PAD内，过A作，交PM于F，连接NF，则为直线AN与平面PMN所成角．在中，由N是PC的中点，得，在中，由，得，．直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得，且，再由已知得，且，得到，且，说明四边形AMNG为平行四边形，可得，由线面平行的判定得到平面PAB；法二、证明平面PAB，转化为证明平面平面PAB，在中，过N作，垂足为E，连接ME，由已知底面ABCD，可得，通过求解直角三角形得到，由面面平行的判定可得平面平面PAB，则结论得证；连接CM，证得，进一步得到平面平面PAD，在平面PAD内，过A作，交PM于F，连接NF，则为直线AN与平面PMN所成角然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．19. 如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中点．证明：直线平面PAB；点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．（正确答案）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以，，，，，是平行四边形，可得，平面PAB，平面PAB，直线平面PAB；解：四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设，则，，，直线BM与底面ABCD所成角为，可得：，，，可得：，，，作于Q，连接MQ，，所以就是二面角的平面角，，二面角的余弦值为：．取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角的余弦值即可．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．。

抛物线一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点已知，，则C的焦点到准线的距离为A. 2B. 4C. 6D. 8（正确答案）B【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力转化思想的应用．【解答】解：设抛物线为，如图：，，，，，，，，解得：．C的焦点到准线的距离为：4．故选B．2. 设F为抛物线C：的焦点，曲线与C交于点P，轴，则A. B. 1 C. D. 2（正确答案）D解：抛物线C：的焦点F为，曲线与C 交于点P 在第一象限，由轴得：P 点横坐标为1， 代入C 得：P 点纵坐标为2，故， 故选：D根据已知，结合抛物线的性质，求出P 点坐标，再由反比例函数的性质，可得k 值． 本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中档．3. 设抛物线的焦点在直线上，则该抛物线的准线方程为A. B. C.D.（正确答案）A解：把代入得：，解得，抛物线的焦点坐标为，抛物线的准线方程为．故选：A ．求出直线与x 轴的交点坐标，即抛物线的焦点坐标，从而得出准线方程． 本题考查了抛物线的性质，属于基础题． 4. 点到抛物线准线的距离为1，则a 的值为A. 或B. 或C. 或D. 4或12（正确答案）C 解：抛物线的准线方程为，点到抛物线y准线的距离为解得或． 故选C ．求出抛物线的准线方程，根据距离列出方程解出a 的值． 本题考查了抛物线的简单性质，准线方程，属于基础题．5. 设抛物线C ：的焦点为F ，过点且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则A. 5B. 6C. 7D. 8 （正确答案）D 解：抛物线C ：的焦点为，过点且斜率为的直线为：，联立直线与抛物线C ：，消去x 可得：，a4解得，，不妨，，，．则．故选：D．求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．6. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为A. B. C. D.（正确答案）B解：抛物线中，，，抛物线的焦点为，设双曲线的方程为，双曲线的一个焦点为，且渐近线的方程为即，，解得，舍负，可得该双曲线的标准方程为：故选：B．根据抛物线方程，算出其焦点为由此设双曲线的方程为，根据基本量的平方关系与渐近线方程的公式，建立关于a、b的方程组解出a、b的值，即可得到该双曲线的标准方程．本题给出双曲线与已知抛物线有一个焦点重合，在已知渐近线的情况下求双曲线的方程着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．7. 若抛物线上的点到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于A. B. 1 C. D. 2（正确答案）D解：由题意，，，，，，故选D．根据抛物线的定义及题意可知，得出求得p，可得答案．本题主要考查了抛物线的定义和性质考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．8. 若抛物线的焦点到其准线的距离是2，则A. B. C. D.（正确答案）C【分析】本题考查抛物线标准方程及简单性质，利用抛物线的方程，求出p，即可求出结果是基础题．【解答】解：抛物线的焦点到其准线的距离是2，可得，则．故选C．9. 已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为A. B. C. D.（正确答案）C解：由点在抛物线C：的准线上，即，则，故抛物线的焦点坐标为：，则直线AF的斜率，故选C．由题意求得抛物线方程，求得焦点坐标，利用直线的斜率公式即可求得直线AF的斜率．本题考查抛物线的简单几何性质，抛物线的焦点坐标及准线方程，考查计算能力，属于基础题．10. 已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则A. 1B. 2C. 4D. 8（正确答案）A解：抛物线C：的焦点为，是C上一点，，．，解得．故选：A．利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．11. 若直线与抛物线交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则A. 2B.C. 2或D.（正确答案）A解：联立直线与抛物线，消去y，可得，，判别式，解得．设，，则，由AB中点的横坐标为2，即有，解得或舍去，故选：A．联立直线与抛物线，消去y，可得x的方程，由判别式大于0，运用韦达定理和中点坐标公式，计算即可求得．本题考查抛物线的方程的运用，联立直线和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理和中点坐标公式，注意判别式大于0，属于中档题．12. 已知抛物线方程为，则该抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.（正确答案）D解：把抛物线方程化为标准方程为：，抛物线的焦点在y轴的正半轴，，．抛物线的焦点坐标为．故选：D．把抛物线方程化成标准方程，根据抛物线的焦点坐标公式得出焦点坐标．本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知F是抛物线C：的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点若M为FN的中点，则______．（正确答案）6【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．【解答】解：抛物线C：的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，．故答案为6．14. 若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是______ ．（正确答案）9解：抛物线的准线为，点M到焦点的距离为10，点M到准线的距离为10，点M到y轴的距离为9．故答案为：9．根据抛物线的性质得出M到准线的距离为10，故到y轴的距离为9．本题考查了抛物线的性质，属于基础题．15. 设抛物线为参数，的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设，AF与BC相交于点若，且的面积为，则p的值为______．（正确答案）解：抛物线为参数，的普通方程为：焦点为，如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设，AF与BC相交于点，，，，的面积为，，可得．即：，解得．故答案为：．化简参数方程为普通方程，求出F与l的方程，然后求解A的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的参数方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．16. 抛物线的准线方程是______；该抛物线的焦点为F，点在此抛物线上，且，则______．（正确答案）；2解：抛物线方程为可得，得，所以抛物线的焦点为，准线方程为；点在此抛物线上，根据抛物线的定义，可得即，解之得故答案为：，2根据抛物线的标准方程，可得抛物线开口向右，由得，所以抛物线的准线方程为；由抛物线的定义结合点M坐标可得，解之可得的值．本题给出抛物线的标准方程，求它的准线方程和满足的点M的坐标着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．三、解答题（本大题共3小题，共30分）17. 在直角坐标系xOy中，直线l：交y轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P 的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．Ⅰ求；Ⅱ除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．（正确答案）解：Ⅰ将直线l与抛物线方程联立，解得，关于点P的对称点为N，，，，的方程为，与抛物线方程联立，解得；Ⅱ由Ⅰ知，直线MH的方程为，与抛物线方程联立，消去x可得，，直线MH与C除点H外没有其它公共点．Ⅰ求出P，N，H的坐标，利用，求；Ⅱ直线MH的方程为，与抛物线方程联立，消去x可得，利用判别式可得结论．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．18. 已知抛物线C：，过点的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．证明：坐标原点O在圆M上；设圆M过点，求直线l与圆M的方程．（正确答案）解：方法一：证明：当直线l的斜率不存在时，则，，则，，则，，则坐标原点O在圆M上；当直线l的斜率存在，设直线l的方程，，，，整理得：，则，，由，则，由，则，则坐标原点O在圆M上，综上可知：坐标原点O在圆M上；方法二：设直线l的方程，，整理得：，令，，则，则，则，则，则，则坐标原点O在圆M上，坐标原点O在圆M上；由可知：，，，，圆M过点，则，，由，则，整理得：，解得：，，当时，直线l的方程为，则，，则，半径为丨MP丨，圆M的方程．当直线斜率时，直线l的方程为，同理求得，则半径为丨MP丨，圆M的方程为，综上可知：直线l的方程为，圆M的方程或直线l的方程为，圆M的方程为．方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得，则坐标原点O在圆M 上；方法二：设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得，则坐标原点O在圆M上；由题意可知：，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径丨MP 丨，即可求得圆的方程．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．19. 设抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，．求l的方程；求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．（正确答案）解：方法一：抛物线C：的焦点为，当直线的斜率不存在时，，不满足；设直线AB的方程为：，设，，则，整理得：，则，，由，解得：，则，直线l的方程，；学习K12教育word 版本学习K12教育word 版本 方法二：抛物线C ：的焦点为，设直线AB 的倾斜角为，由抛物线的弦长公式，解得：，，则直线的斜率，直线l 的方程；过A ，B 分别向准线作垂线，垂足分别为，，设AB 的中点为D ，过D 作准线l ，垂足为D ，则由抛物线的定义可知：，，则， 以AB 为直径的圆与相切，且该圆的圆心为AB 的中点D ，由可知：，，则， 过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程方法一：设直线AB 的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k 的值，即可求得直线l 的方程； 方法二：根据抛物线的焦点弦公式，求得直线AB 的倾斜角，即可求得直线l 的斜率，求得直线l的方程；根据过A ，B 分别向准线l 作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题．。