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《指数函数与对数函数的关系》课后导练

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课后导练

基础达标

1.函数y=2xxee的反函数( )

A.是奇函数,在(0,+∞)上是减函数 B.是偶函数,在(0,+∞)上是减函数

C.是奇函数,在(0,+∞)上是增函数 D.是偶函数,在(0,+∞)上是增函数

解析：令f(x)=21(ex-e-x),

则f(-x)=21(e-x-ex)=-f(x).

∴f(x)为奇函数.

又e>1,

∴y=ex与y=e-x在(0,+∞)上分别为增函数和减函数.

∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.

答案：C

2.若f(10x)=x,则f(5)等于( )

A.log510 B.lg5 C.105 D.510

解析：方法一:令u=10x则x=lgu.∴f(u)=lgu.

∴f(5)=lg5.

方法二:令10x=5,∴x=lg5.∴f(5)=lg5.

故选B.

答案：B

3.若函数f(x)=2x-1+3的反函数的图象经过P点,则P点的一个坐标是( )

A.(1,2) B.(5,2) C.(3,1) D.(4,2)

解析：y=2x-1+3的反函数为f(x)=1+log2(x-3),检验知过点P(5,2).

答案：B

4.要使函数y=x2-2ax+1在［1,2］上存在反函数,则a的取值范围是( )

A.a≤1 B.a≥2 C.a≤1或a≥2 D.1≤a≤2

解析：f(x)=(x-a)2+1-a2,由反函数存在条件知a≤1或a≥2.

答案：C

5.(2007江苏宿迁调研)若y=f-1(x)为函数y=f(x)的反函数,且y=f(x)的图象过点(3,1),则y=f-1（log2x)的图象必过点( )

A.(1,8) B.(8,1) C.(2,3) D.(3,2)

答案：C

6.函数y=32x-1(x≤0)的反函数是( )

A.y=31)(x(x≥-1) B.y=31)(x(x≥-1)

C.y=31)(x(x≥0) D.y=31)(x(x≥0)

解析：∵x≤0,∴32x≥0.∴y≥-1.

由y=32x-1得y+1=32x,∴x2=(y+1)3. ∵x≤0,∴x=3)1(y.

∴反函数为y=3)1(y(x≥-1).

答案：B

7.已知函数y=f(x)存在反函数,且f(3)=0,则函数y=f-1(x+1)的图象必过点( )

A.(2,0) B.(0,2) C.(3,-1) D.(-1,3)

解析：由f(3)=0知y=f(x)过点(3,0),

∴y=f-1(x)过点(0,3).

∴y=f-1(x+1)过点(-1,3).

答案：D

8.已知函数y=f(x)的图象为右图中的线段AB,则f-1(x)=________.

答案：2x-2(0≤x≤1)

9.设g(x)=,0,1,0,xnxxex则g［g(21)］=________.

解析：g(21)=ln21=-ln2<0,

∴g［g(21)］=g(-ln2)=e-ln2=e21ln

=21.

答案：21

综合运用

10.(2007广东吴川一中)模拟函数y=1+ax(0

)

答案：A

11.函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的部分对应值如下表:

x 0 2

f(x) 1 1.69

则不等式f-1(|x|)<0的解集为_______.

解析：由条件知f(2)=1.69,

∴a2=1.69.

∴a=1.3.

∴f(x)=1.3x,f-1(x)=log1.3x.

由log1.3|x|<0得0<|x|<1.

∴-1

12.求函数1,1,1,12xxxx的反函数.

解析：当x≤-1时,f(x)=y=x2+1,

∴x2=y-1.

∴f-1(x)=1-x-(x≥2).

当x>-1时,f(x)=y=1-x,

则f-1(x)=1-x(x<2).

∴f-1(x)=.2,1,2,1xxxx

13.已知函数f(x)=3x且f-1(18)=a+2,g(x)=3ax-4x的定义域为区间［0,1］.

(1)求g(x)的解析式;

(2)求g(x)的值域.

解析：(1)∵f(x)=3x且f-1(18)=a+2,

∴f(a+2)=3a+2=18.

∴3a=2.

∵g(x)=3ax-4x=(3a)x-4x,

∴g(x)=2x-4x(0≤x≤1).

(2)令t=2x(0≤x≤1),

∴t∈［1,2］.

则g(x)=y=-t2+t=-(t-21)2+41,

∴当t=1即x=0时,g(x)max=0;

当t=2即x=1时,g(x)min=-2.

故g(x)的值域为［-2,0］.

14.设函数f(x)=ax2+bx+c(a、b>0)满足f(1-x)=f(1+x),比较f(2x)与f(3x)的大小.

解析：∵f(x)满足f(1-x)=f(1+x),

∴f(x)关于直线x=1对称.

又a>0,f(x)开口向上,

当x<0时,2x<1,且3x<1,2x>3x,f(x)为减函数,故f(2x)

当x>0时,2x>1,3x>1,3x>2x,且f(x)为增函数,故f(3x)>f(2x);

当x=0时,f(3x)=f(2x),

故f(3x)≥f(2x).

15.是否存在实数a,使得f(x)=loga(axx-)在区间［2,4］上是增函数?若存在,求出a的取值范围.若不存在,请说明理由.

解析：设t=x,由对数定义有axx->0.

∴at2-t>0.∵a>0,t>0,∴t>a1. 又知u=at2-t=a(ta21)2a41在(a1,+∞)上是增函数,故要使f(x)在［2,4］上单调增,应有a>1且a21≤2.

∴存在实数a>1满足题设要求.

拓展探究

16.已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).

(1)证明函数f(x)的图象不与y轴相交;

(2)当a>1时判断函数f(x)的单调性;

(3)求函数y=f(2x)与g(x)=f-1(x)的图象的交点坐标.

(1)证明:∵ax-1>0,∴ax>1.

∴当a>1时,x>0,这说明a>1时,函数图象在y轴右侧;

当0

∴a>0,且a≠1时,f(x)的图象总不与y轴相交.

(2)证明:当a>1时,有x>0,由0

∴f(x2)-f(x1)=loga1112xxaa.

∵2xa-1>a1xa-1,

∴1112xxaa>1.∴loga1112xxaa>0,即f(x2)>f(x1).

∴当a>1时,f(x)在定义域(0,+∞)上是增函数.

(3)解析：∵f(x)=loga(ax-1),

∴f-1(x)=loga(ax+1)(x∈R).

∵f(2x)=f-1(x),

∴loga(a2x-1)=loga(ax+1).

∴a2x-ax-2=0.∴ax=2或ax=-1(舍去).

解之,得x=loga2.

∴f-1(loga2)=loga(2logaa+1)=loga3.

∴交点坐标为(loga2,loga3).

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人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(11)

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(11)

1 人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）

一、选择题（共10题）

1. 设全集为 𝐑，函数 𝑓(𝑥)=(𝑥+1)0√2−𝑥 的定义域为 𝑀，则 ∁𝑅𝑀= (  )

A． {𝑥∣ 𝑥≥2} B． {𝑥∣ 𝑥<2且𝑥≠−1}

C． {𝑥∣ 𝑥≥2或𝑥=−1} D． {𝑥∣ 𝑥>2或𝑥=−1}

2. 设 𝛼∈{−1,1,12,3}，则使幂函数 𝑦=𝑥𝛼 的定义域为 𝐑 且为奇函数的所有 𝛼 值为 (  )

A．1，3 B．−1，1 C．−1，3 D．−1，1，3

3. 若函数 𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑥∈[0,+∞)) 是单调函数，则实数 𝑏 的取值范围是 (  )

A． 𝑏≥0 B． 𝑏≤0 C． 𝑏>0 D． 𝑏<0

4. 如果函数 𝑓(𝑥)=12(𝑚−2)𝑥2+(𝑛−8)𝑥+1(𝑚≥0,𝑛≥0) 在区间 [12,2] 上单调递减，则 𝑚𝑛

的最大值为 (  )

A． 16 B． 18 C． 25 D． 812

5. 已知定义在 (0,+∞) 上的函数 𝑓(𝑥) 为增函数，且 𝑓(𝑥)⋅𝑓(𝑓(𝑥)+1𝑥)=1，则 𝑓(1) 等于

(  )

A． 1+√52 B． 1−√52

C． 1+√52 或 1−√52 D． √5

6. 定义在 𝐑 上的函数 𝑓(𝑥) 满足：𝑓(𝑥−2) 的对称轴为 𝑥=2，𝑓(𝑥+1)=4𝑓(𝑥)(𝑓(𝑥)≠0)，且

𝑓(𝑥) 在区间 (1,2) 上单调递增，已知 𝛼，𝛽 是钝角三角形中的两锐角，则 𝑓(sin𝛼) 和 𝑓(cos𝛽)

的大小关系是 (  )

A． 𝑓(sin𝛼)>𝑓(cos𝛽) B． 𝑓(sin𝛼)<𝑓(cos𝛽)

指数函数与对数函数的图像及其性质

指数函数与对数函数的图像及其性质

XXXX教育学科教师辅导讲义

讲义编号

学员编号:年 级：高三课时数：

学员姓名：辅导科目：数学学科教师：

学科组长签名及日期 学员家长签名及日期

课 题 指数函数与对数函数的图像及其性质

授课时间：

备课时间：

教学目标

有理指数幂的定义及性质，指数函数的概念、图像与性质

掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。

重点、难点

综合运用指数函数的图像与性质解决问题

综合运用对数函数的图像与性质解决问题。

考点及考试要求

教学内容

讲解新课：

根式

1、如果),1(Nnnaxn，那么x称为a的n次实数方根；式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数

2、方根的性质：当n为奇数时，nna=a.当n为偶数时，nna=|a|=).0(),0(aaaa

2．分数指数幂

（1）分数指数幂的意义:anm=nma，anm=nma1=nma1（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.

（2）有理数指数幂的性质：

),,0,0()(;)(;QsRrbabaabaaaaarrrrssrsrsr

二、指数函数的图像及性质的应用 ①指数函数的定义：一般地，函数y=ax（a＞0且a≠1）叫做指数函数.

②指数函数的图像

Ox yOx yy=a x

11a> ）1y=a x ( (0＜a＜1)

③底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y轴对称.

④指数函数的性质：

定义域：R；

值域：（0，＋∞）；过点（0，1）；即x=0时，y=1.

当a＞1时，在R上是增函数；

当0＜a＜1时，在R上是减函数.

画指数函数y=ax（a＞0且a≠1）的图像时，应该抓住两点：一是过定点（0，1），二是x轴是其渐近线

（2）利用复合函数的单调性判断形如)(xfay的函数的单调性：

若1a，则)(xfy的单调增（减）区间，就是)(xfay的单调增（减）区间；

若10a，则)(xfy的单调增（减）区间，就是)(xfay的单调减（增）区间；

高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题及解析

高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题及解析

高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题

（满分：150分；考试时间：100分钟）

一、选择题（本大题共10小题. 每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合

题目要求的）

1．指数函数y=ax的图像经过点（2，16）则a的值是 （ ）

A．41 B．21 C．2 D．4

2．化简)31()3)((656131212132bababa的结果 （ ）

A．a6 B．a C．a9 D．29a

3．在区间),0(上不是增函数的是 ( )

A.2xy B.xylog2 C.xy2 D.122xxy

4．式子82log9log3的值为 ( )

A.23 B.32 C.2 D.3

5．已知0ab，下面四个等式中：①lg()lglgabab； ②lglglgaabb；③babalg)lg(212 ；

④1lg()log10abab．其中正确命题的个数为 ( )

A．0 B．1 C．2 D．3

6．已知2log0.3a，0.32b，0.20.3c，则cba,,三者的大小关系是（ ）

A．acb B．cab C．cba D．abc

7．已知函数)(xfy的反函数)21(log)(211xxf，则方程1)(xf的解集是（ ）

指数函数与对数函数知识精讲+核心素养练习

指数函数与对数函数知识精讲+核心素养练习

指数函数与对数函数 知识精讲+核心素养练习

一 知识结构图

内

容 考点 关注点

指数函数与对数函数 幂的运算 底数相同

指数函数的图象与性质 图象过定点,单调性与底数与1的大小有关｡

对数的运算 底数相同

对数函数的图象与性质 图象过定点,真数大于0;单调性与底数与1的大小有关｡

二.学法指导

1.正确区分nan与(na)n:

(1)(na)n已暗含了na有意义,据n的奇偶性可知a的范围;

(2)nan中的a可以是全体实数,nan的值取决于n的奇偶性.

2. 带条件根式的化简

1有条件根式的化简问题,是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方､拆分等方式进行化简.

2有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时,在利用公式化简时,要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.

3.指数幂运算的常用技巧

(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.

(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.

(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质.

4.判断一个函数是否为指数函数,要牢牢抓住三点: (1)底数是大于0且不等于1的常数;

(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上;

(3)ax的系数必须为1.

5.求指数函数的解析式常用待定系数法.

6.利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.

7.解不等式af(x)>ag(x)(a>0,a≠1)的依据是指数型函数的单调性,要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确定,就需进行分类讨论,即af(x)>ag(x)⇔ fx>gx，a>1，fx

8.性质alogaN=N与logaab=b的作用

(1)alogaN=N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式.

(2)logaab=b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数.

9.利用对数性质求值的解题关键是化异为同,先使各项底数相同,底数不同时,利用换底公式把底数换成相同,再找真数间的联系.