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一 寸 光 阴 不 可 轻
. 1 第12讲 与相交有关概念及平行线的判定
考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.
经典·考题·赏析
【例1】如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成哪 几对对顶
角？一共构成哪几对邻补角？
【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.
⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.
有6对对顶角. 12对邻补角.
【变式题组】
01．如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，则：
⑴∠ARC的对顶角是 . 邻补角
是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？
02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；
当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；
当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.
问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.
【例２】如图所示，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分∠BOC、
∠AOC．
⑴求∠EOF的度数；
⑵写出∠BOE的余角及补角.
【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以
及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC ∴∠EOC＝21∠BOC，∠
FOC＝21∠AOC ∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝21∠BOC＋21∠AOC＝
()AOCBOC+21 又∵∠BOC＋∠AOC＝180° ∴∠EOF＝21×180°＝90° ⑵∠BOE的余角是：∠COF、
∠AOF；∠BOE的补角是：∠AOE.
【变式题组】
01．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是（ ）
A．20° B． 40° C．50° D．80°
02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，
则∠4＝ .
【例３】如图，直线l1、l2相交于点O，
A、B分别是l1、l2上的点，试用三角尺完
成下列作图：
⑴经过点A画直线l2的垂线.
⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.
【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段
. A
B C D E F
A B C
D E
F P
Q R
A B C E F O
E
A A
C D
O
（第1题图）
1 4
3 2
（第2题图） A
B O l2
l1 一 寸 光 阴 不 可 轻
.
2 【变式题组】
01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距
离为（ ）
A．4cm B． 5cm C．不大于4cm D．不小于6cm
02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N为位于公路两侧的村庄；
⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时，距离村庄N最近，
请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.
⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在 的
路上距离M村越来越近..在
的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越
远.
【例４】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF
⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数.
【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为
该图形具备的性质，由图可得：∠AOF＝90°，OF⊥AB．
【变式题组】
01．如图，若EO⊥AB于O，直线CD过点O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，
求∠AOC、∠AOE的度数.
02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠AOD．
⑴求∠AOC的度数；
⑵试说明OD与AB的位置关系.
03．如图，已知AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE︰∠ABD＝
1︰2，请作出∠CBE的对顶角，并求其度数.
【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条
直线所截而得到的，并说出它们的名称：
∠1和∠2：
∠1和∠3：
∠1和∠6：
∠2和∠6：
∠2和∠4：
∠3和∠5：
∠3和∠4：
【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到
这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.
【变式题组】
01．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁内角共有
（ ）
A．4对 B． 8对 C．12对 D．16对
02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.
03．如图，按各组角的
位置判断错误的F B A O
C D E
C D
B A E
O
B A C D
O A
B
A
E D C F
E B A
D 1 4
2 3 6
5
A B
D C
H Ｇ E
F
7 1 5 6 8 4
1 2
乙 丙 3
2 3 4 5
6 1
2 3
4
甲 一 寸 光 阴 不 可 轻
.
3 是（ ）
A．∠1和∠2是同旁内角
B．∠3和∠4是内错角
C．∠5和∠6是同旁内角
D．∠5和∠7是同旁内角
【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•
⑴∠CBD＝∠ADB；
⑵∠BCD＋∠ADC＝180°
⑶∠ACD＝∠BAC
【解法指导】图中有即即有同旁内
角，有“ ”即有内错角.
【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得AD∥BC；根据内错角
相等，两直线平行.
⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°，可推得AD∥BC；根据同旁内角互补，两直线平行.
⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据内错角相等，两直线平行.
【变式题组】
01．如图，推理填空.
⑴∵∠A＝∠ （已知）
∴AC∥ED（ ）
⑵∵∠C＝∠ （已知）
∴AC∥ED（ ）
⑶∵∠A＝∠ （已知）
∴AB∥DF（ ）
02．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明DE与AB的位置关系.
解：∵AD是∠BAC的平分线（已知）
∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义）
又∵EF平分∠DEC（已知）
∴ （ ）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴ （ ）
∴AB∥DE（ ）
03．如图，已知AE平分∠CAB，CE平分∠ACD．∠CAE＋∠ACE
＝90°，求证：AB∥CD．
04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠EBF
＝∠EFB，求证：CD∥EF.
【例７】如图⑴，平面内有六
条两两不平行的直线，试证：在所
有的交角中，至少有一个角小于31°.
【解法指导】如图⑵，我们
可以将所有的直线移动后，使它
们相交于同一点，此时的图形为
图⑵.
证明：假设图⑵中的12个角1 A
B C 2 3
4 5
6 7 A
B C D
O
A
B D E F
C
A B
C D E A
B C D E
F 1
2
A
B C D E
F
l1 l2 l3 l4
l5 l6
图⑴ l1 l2 l3 l4 l5 l6
图⑵ 一 寸 光 阴 不 可 轻
. 4 中的每一个角都不小于31°
则12×31°＝372°＞360°
这与一周角等于360°矛盾
所以这12个角中至少有一个角小于31°
【变式题组】
01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.
02．在同一平面内有XXXX条直线a1,a2,…，aXXXX,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与aXXXX的
位置关系是 .
03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设Sn表示过这几个点中
的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝ .
演练巩固·反馈提高
01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（ ）
A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DAC
C．∠ACF是α的余角 D．α与∠ACF互补
02．如图，已知直线AB、
CD被直线EF所截，
则∠EMB的同位角
为（ ）
A．∠AMF
B．∠BMF
C．∠ENC
D．∠END
03．下列语句中正确的是（ ）
A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线
B．过直线上一点的直线只有一条
C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D．垂线段就是点到直线的距离
04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（ ）
①AB⊥AC ②AD与AC互相垂直 ③点C到AB的垂线段是线段AB ④线段AB的长度是点B到AC的距
离 ⑤垂线段BA是点B到AC的距离 ⑥AD＞BD
A．0 B． 2 C．4 D．6
05．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直
线l的距离是（ ）
A．4cm B．5cm C．小于4cm D．不大于4cm
06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC＝ .
07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝ .
08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.（a1与a10不重合）
A B C
D
O A
B C D E
F G
H a
b c
第6题图 第7题图
第9题图 1 2 3 4
5
6 7 8
1 A E
B C F D A
B
C D
F E
M
N α
第1题图 第2题图 A
B D C 第4题图
