函数的单调性[1].参考教案.学生版

初中数学《函数的单调性》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思

基于学科核心素养的教学设计

课程名称：《函数的单调性》

姓名 教师姓名 任教学科 数学

学校 学校名称 教龄 16年

教学内容分析

教学内容 函数的单调性

教学目标 掌握增函数、减函数、函数单调性的概念，并能用定义证明一些简单函数的单调性

教学重点与难点 掌握增函数、减函数、函数单调性的概念

学科核心素养分析 从特殊到一般的数学抽象概括能力，对数学的逻辑推理能力，形成数学建模及数学运算能力。

学生学情分析

这节内容学生在初中已有了较为粗略的认识，即主要根据观察图像得出结论．这节函数增减性的定义，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，学生接受起来可能比较困难．在引入定义时，要始终结合具体函数的图像来进行，以增强直观性，采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，便于学生理解．对于定义，要注意对区间上所取两点x1，x2的“任意性”的理解，多给学生操作与思考的时间和空间．

教学过程设计

教师活动 预设学生活动 设计意图

一、问题情境

如图为某市一天内的气温变化图：

/

二、建立模型

1.首先引导学生对问题2进行探讨———观察分析

2.在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰———抽象概括

设函数f（x）的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是增函数［如图8-2（1）］．

如果对于定义域I内某1.学生回答：（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．

（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？

2.要求学生分别作出下列函数的图像：

（1）y＝2x．

（2）y＝－x＋2．

（3）y＝x2．

3.引导学生根据三个函数图像，分别指出当x∈（－∞，＋∞）时，图像的变化趋势？3.提出问题，组织学生讨论

一、教材分析

１．教材背景

“函数的单调性和导数”这节新知在教材是选修2—1，本节计划两个课时完成。首先明确考纲的要求了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。

２．本课的地位和作用

本节课的主要教学内容是导数在研究函数中的应用（1）—函数的单调性与导数。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。

二、重难点分析

根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：

教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。

探求含参数函数的单调性的问题。

三、目标分析

（一） 知识与技能目标：

1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；

2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。

（二） 过程与方法目标：

1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。

2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。

（三） 情感、态度与价值观目标：

1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，

第1页 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。

四、学情分析

学生经过复习对基本初等函数掌握较扎实，前面复习了函数的单调性的基本概念，判断方法、导数的概念，以及导数的计算，为综合应用导数与函数单调性作好充分的准备。但学生学习基础还存在较大的分化，应抓住基本概念，强化基础知识、基本技能、基本方法的训练，循序渐进的提高，因此在引入和例题上注重梯度、注重类比、注重数学思想。增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。使学生真正成为教学的主体。也只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”。学生才会逐步感到数学美，体会成功的喜悦，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。

函数的单调性

【第1课时】

单调性的定义与证明

【教学目标】 【核心素养】

1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性．（重点）

2．会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．（重点、难点）

3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值．（重点、难点） 1．借助单调性判断与证明，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养．

2．利用求单调区间、最值、培养数学运算素养．

3．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．

【教学过程】

一、新知初探

1．增函数与减函数的定义

条件 一般地，设函数y＝f（x）的定义域为A，且M⊆A：如果对任意x1，x2∈M，当x1＞x2时

都有f（x1）＞f（x2）

都有f（x1）＜f（x2）

结论 y＝f（x）在M上是增函数（也称在M上单调递增） y＝f（x）在M上是减函数（也称在M上单调递减）

图示

思考1：增（减）函数定义中的x1，x2有什么特征？

提示：定义中的x1，x2有以下3个特征

（1）任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；

（2）有大小，通常规定x1＞x2；

（3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调性与单调区间

如果函数y＝f（x）在M上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f（x）在M上具有单调性（当M为区间时，称M为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）．

思考2：函数y＝1x在定义域上是减函数吗？

提示：不是．y＝1x在（－∞，0）上递减，在（0，＋∞）上也递减，但不能说y＝1x在（－∞，0）∪（0，＋∞）上递减．

3．函数的最值

最大值 最小值

条件 一般地，设函数f（x）的定义域为D：且x0∈D，如果对任意x∈D

都有f（x）≤f（x0） 都有f（x）≥f（x0）

结论 称f（x）的最大值为f（x0），记作fmax＝f（x0），而x0称为f（x）的最大值点 称f（x）的最小值为f（x0），记作fmin＝f（x0），而x0称为f（x）的最小值点

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1 三人行学堂学科老师个性化教案

教师 陈永福 学生姓名 上课日期

上课时段 年 月 日

到

学科 数学 年级 高一（上）

必修一 类型 新课讲解□ 复习课讲解□

教学目标 教学内容 单调性与最大（小）值

学习问题解决 1、函数单调性的证明及判断方法 2、由函数的单调性求参数的取值范围

3、由函数的单调性解不等式 4、求函数的最大（小）值

知识清单

1、增函数与减函数的定义

条件 一般地，设函数f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的 两个自变量的值x1，x2，当x1

结论 那么就说函数f(x)在区间D上是

函数 那么就说函数f(x)在区间D上是

函数

图示

2、如果函数)(xfy在区间D上是 函数或 函数，那么就说函数)(xfy在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数)(xfy的 。

3、函数的最大（小）值

一般地，设函数)(xfy的定义域为I，如果存在实数M满足

（1）对于任意的Ix，都有 （1）对于任意的Ix，都有

（2）存在Ix0，使得 （2）存在Ix0，使得

那么就称M是函数)(xfy的最大值 那么就称M是函数)(xfy的最小值

方法探究

一、函数单调性的证明及判断方法

方法点拨

1、函数单调性的证明：现阶段只能用定义证明，其步骤为