较复杂事件的概率(教师版)

较复杂事件的概率

1. 对有(4)nn≥个元素的总体｛1，2，3，…，n｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1，2，…，m｝和｛m+1，m+2，…，n｝（m是给定的正整数，且2≤m≤n-2)，再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用ijP表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则1nP= ；所有(1)ifPijn≤≤的和等于 ．答案：4()mnm , 6

解析：11111224(1)(1)4;(1)()(1)()mnmnmnmCCmnmPCCmmnmnmmnm

第二空可分:①当 ,1,2,,ijm时, 221mijmCPC;

②当 ,ij1,2,,mmn时, 1ijP;

③当1,2,,,imj1,2,,mmn时, 4()4()ijPmnmmnm;

所以1146.ijP

2. 某银行的一个自动取款机，在某一时刻恰有n个人正在使用或等待使用该取款机的概率为P(n),且P(n)与时刻t无关，统计得到)6(,0)6(,0)51(,)0()(21•nnnPnPn，那么在某一时刻，这个取款机没有一个人正在使用或等待使用的概率是 ．答案：6332

解析：

取款机有人的事件可分为n个互斥事件的和，其概率为P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＋P(6)＋…＝)0(3231)321161814121()0(0)0(321)0(161)0(81)0(41)0(21PPPPPPP． 故取款机无人的概率是)0(32311)0(PP， 解得6332)0(P

3. BA,两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若抛出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续抛掷；若抛掷点数的和不是3的倍数就由对方接着抛掷。第一次由A开始抛掷，设第n次由A抛掷的概率为nP，求nP．

解：易知掷出的点数之和为3的倍数的概率为313612P。

第)1(n次由A掷这一事件，包括第n次由A掷、第)1(n次继续由A掷这一事件以及第n次由B掷、第)1(n次由A掷这一事件。这两个事件发生的概率分别是nP3612，nP136121

由于这两个事件是互斥的，则

易知11P

由递推式得：2131211nnPP

所以数列21nP是以21211P为首项，31为公比的等比数列。

所以1312121nnP

即1312121nnP

4. 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是21，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是31，出现绿灯的概率是32；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是53，出现绿灯的概率是52．

⑴ 求第二次闭合后出现红灯的概率． ⑵ 求三次发光中出现一次红灯、两次绿灯的概率．

解答：

⑴如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是3121；如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率是5321；所以，第二次出现红灯的概率是3121+5321=157

⑵三次发光中出现一次红灯、两次绿灯的情况共有如下三种方式：

①当出现“绿、绿、红”时的概率是535221；②当出现“绿、红、绿是”的概率是325321；

③当出现“红、绿、绿是”的概率是523221．所以三次发光中出现一次红灯、两次绿灯的概率是535221+325321+523221=7534．

5. 从原点出发的某质点M，按向量)1,0(a移动的概率是32，按向量)2,0(b移动的概率是31，设M到达点),0(n的概率为nP,求nP．

解答：M到达点),0(n有两种情形：

⑴从点)1,0(n按)1,0(a移动到点),0(n，此时概率为pn132．

⑵从点)2,0(n按)2,0(b移动到点),0(n，此时概率为pn231．

所以，)3(,313221npppnnn

)3(,)(31211nppppnnnn

易得 97,3221pp

 }{1ppnn是以9112pp为首项，以31为公比的等比数列

于是 )2(,9131)31(21nnnnnpp

3131313141433232123121nnnnnpppppppp

6. 某电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球。已知按钮第一次按下后，出现红球和绿球的概率都是21，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次接着出现红球、绿球的概率是31，32；若前次出现绿球，则下一次接着出现红球、绿球的概率是53，52。记第n)1,(nNn次按下按钮后出现红球的概率为nP． ⑴求2P的值； ⑵当2,nNn时，求用1nP表示nP的表达式； ⑶求nP关于ｎ的表达式．

第1层

第2层

第3层

第4层 入口

第9题图

7. 有人玩硬币走跳棋游戏，已知硬币出现正反面的概率都是21，棋盘上标有第０站，第１站，第２站，…，第１００站。一枚棋子开始在第０站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次。若掷出正面，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第９９站（胜利大本营）或第１００站（失败大本营）时，该游戏结束。设棋子跳到第ｎ站的概率为nP．

⑴求0P，1P，2P；⑵找出1nnPP与21nnPP之间的关系；⑶求10099PP及．

8. 抛掷一枚均匀的硬币，出现正面向上得１分，反面向上得２分．记nP为得ｎ分的概率．

⑴求证：nnnPPP212112． ⑵求nP的表达式．

9. （湖北省八市2013届高三3月调考数学（理））如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有一条的为第一层，有二条的为第二层，…，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动，若在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道．记小弹子落入第n层第m个竖直通道（从左至右）的概率为(,)Pnm，某研究性学习小组经探究发现小弹子落入第n层的第m个通道的次数服从二项分布，请你解决下列问题.

（Ⅰ）试求(2,1),(3,2)PP及(4,2)P的值，并猜想(,)Pnm的表达式；（不必证明）

（Ⅱ）设小弹子落入第6层第m个竖直通道得到分数为

，其中4(13)3(46)mmmm≤≤≤≤，试求的分布列

及数学期望．

解：（Ⅰ）因为小弹子落入第n层的第m个通道的次数服从二项分布，则：001111(2,1)()()22PC， ……………………………1分

111211(3,2)()()22PC ……………………………3分

123113(4,2)()228PC ……………………………4分

111(,)2mnnCPnm ……………………………6分

（Ⅱ）依题：1,2,3．

由（Ⅰ）知，223511205(1)(6,3)(6,4)2()()22328pppC

14511105(2)(6,2)(6,5)2()()223216pppC

00551121(3)(6,1)(6,6)2()()223216pppC ……………………9分

所以的分布列如下表：



1

2

3

P 2032 1032 232

……………………11分

故201022312332323216E ……………………………12分

10. 如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，……，依次类推．一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是21．记小球遇到第n行第m个障碍物（从左至右）上顶点的概率为),(mnP．

（Ⅰ）求)1,4(P，)2,4(P的值，并猜想),(mnP的表达式（不必证明）；

（Ⅱ）已知63,331,4)(xxxxxf，设小球遇到第6行第m个障碍物（从左至右）上顶点时，得到的分数为)(mf，试求的分布列及数学期望．

解：（I） 81)21()1,4(303CP， ………………（2分）

83)21()2,4(313CP， ………………（4分）

猜想111)21(),(nmnCmnP； ………………（6分）

（II）3,2,1， ………………（7分）

161)6,6()1,6()3(PPP，

165)21()5,6()2,6()2(515CPPP，

85)4,6()3,6()1(PPP

 3 2 1

P 161 165 85

………………（10分）

162385116521613E． ………………（12分）

11. 如图所示，将2)1(nn个不同的数随机的排成一个三角形数阵，设iM是从上往下数第k行中的最大数，求nMMMM321的概率．

解：设所求概率为nP，则1321nMMMM的概率为1nP，而最大数在第n行内的概率为1221nnnn

112nnPnP

又11P 所以，有各概率数列递推关系式{)2(,12)1(,111nPnPnPnn

所以134231212,,52,42,32nnPnPPPPPPP

将以上各式相乘得!12125242321nnPnn

故nMMMM321得概率为!12nPnn．

12. 两个质点,在平面直角坐标系中同步地移动,每步移动一个单位距离,A从(0,0)开始每步随机地向右或向上,B从(5,7)开始每步随机地向左或向下,求事件“A与B相遇”的概率。