第三章 部分习题解答
（数字信号处理（第二版），刘顺兰，版权归作者所有，未经许可，不得在互联网传播）
3.1如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需100μs ，每次复加需20μs ，今用来计算N=1024点的)]([n x DFT ，问用直接运算需要多少时间，用FFT 运算需要多少时间？ 解： ∑−=====101010,21024,)()(N n nk N M N W
n x k X
直接运算所需的总时间为
s N N s N T d μμ20)1(1002×−+×=
秒分62126201023102410010242
=≈××+×=s s s μμ
FFT 运算所需总时间为 s NM s M N T F μμ201002
×+×=
s s s 717.02010102410010102421=××+×××=μμ
3.2在基-2FFT 算法中，最后一级或开始一级运算的系数10
==N p N W W ，即可以不做乘法运算。问（1）乘法可节省多少次，所占百分比为多少？ 解： 可节省
2
N 次，所占百分比为 %100log 1%100log 2
222×=×N N N N 如 8=N 则为%3.33%10031≈×
3.11以20kHz 的采样率对最高频率10kHz 的带限信号()a x t 采样，然后计算)(n x 的
1000N =个采样点的DFT ，即210()()N j nk N n X k x n e
π−−==∑，1000N =.
（1）试求频谱采样点之间的频率间隔是多少?
（2）在()X k 中，200k =对应的模拟频率是多少?
（3）在()X k 中，700k =对应的模拟频率是多少?
解:（1）频谱采样点之间的频率间隔为:
20000201000
s f f Hz N Δ=== （2）200k =对应的模拟频率为 20000200400041000
s k f f k Hz kHz N ==×== （3）因700k =大于N/2,故其对应的模拟频率为 20000()300600061000
s k f f N k Hz kHz N =−=×== 3.12 对一个连续时间信号)(t x α采样1s 得到一个4096个采样点的序列：
(1) 若采样后没有发生频谱混叠，)(t x α的最高频率是多少？
(2) 若计算采样信号的4096点DFT，DFT 系数之间的频率间隔是多少Hz?
(3) 假定我们仅仅对Hz f Hz 300200≤≤频率范围所对应的DFT 采样点感兴趣，若直
接用DFT，要计算这些值需要多少次复乘？若用按时间抽取FFT 则需要多少次？ 解：（1）由题意可知：4096s f Hz =，故)(t x α的最高频率/22048h s f f Hz == （2）409614096
s f f Hz N Δ=== （3）直接用DFT 计算，所需要的复乘次数为
(3002001)1014096413696d M N =−+=×=
若用按时间抽取FFT 则需要的复乘次数为
10log 204812245762
F N M N ==×= 3.17若给定两个实序列)(1n x 、)(2n x ，令：)()()(21n jx n x n g +=，)(k
G 为其傅里叶变换，可以利用快速傅里叶变换来实现快速运算，试利用傅里叶变换的性质求出用)(k G 表示的)(1n x 、)(2n x 的离散傅里叶变换)(1k X 、)(2k X 。
解： )()()(21n jx n x n g +=
)]()([21)()],()([2
1)(*2*1n g n g j n x n g n g n x −=+=
)()]([k G n g DFT =，利用离散傅里叶变换的性质：
)()]([**k N G n g DFT −=（此处暗含)()0(N G G =）
)]()([2
1)(*1k N G k G k X −+=∴ 10)],()([21)(*2−≤≤−−=N k k N G k G j
k X 3.18 已知)(),(k Y k X 是两个N 点实序列)()(n y n x 、的DFT 值，今需要从)()(k Y k X 、求
)()(n y n x 、值，为了提高运算效率，试设计用一个N 点IFFT 运算一次完成之。 解：令 )()()(k jY k X k Z +=
则 )()()]([)(n jy n x k Z IFFT n z +==
)]()([2
1)](Re[)(*n z n z n z n x +== )]()([21)](Im[)(*n z n z j
n z n y −== 即仅需由 )(k Z 进行一次N 点IFFT ，即可得)(n x ，)(n y 。
3.19 已知是,12,...,1,0),(−=N k k X N 2点实序列)(n x 的DFT 值，今需要由)(k X 求
)(n x 值，为提高运算效率，试设计用一个N 点IFFT 运算一次完成。
解；∑−=−≤≤=1
20
2120,)()(N n nk N N k W
n x k X 由时间抽取的FFT 可得： ∑∑−=−=++=1
021
0)12()2()(N n nk N k N N n nk N W n x W W n x k X 10),()(221−≤≤+=N k k X W k X k N
10),()()2(221−≤≤−=+N k k X W k X N k X k N
其中∑∑−=−=+==1
02101)12()(,)2()(N n nk N N n nk N W n x k X W n x k X
