§4.1平行四边形的性质(二)

∠BCD=180°-∠B=180°-56°=124° BCD=180° ∠B=180° 56°=124° 四边形ABCD ABCD是平行四边形 (2)∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=BC,AB=CD(平行四边形对边相等) AD=BC,AB=CD(平行四边形对边相等 平行四边形对边相等) ∵AD=30,CD=25 ∴BC=30,AB=25.
A B C D ∵
平行四边形
AB‖CD AD‖BC
∴四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD ABCD是平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD ABCD是平行四边形 ∴
AB‖CD AD‖BC
做一做
将复制后的四边形绕一个顶点旋转 180°,你能平移该纸片,使它与原来 的四边形ABCD重合吗? 对边之间,对角之间 分别有什么关系?由 此你能得到什么结论? 你能用别的方法验 证这个结论吗
�
解:∵四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD ABCD是平行四边形 ∴AD‖BC ,AB‖CD 平行四边形定义) (平行四边形定义) ∴∠1=∠2, ∴∠1=∠2, ∠3=∠4
A
3 2
1
D
4
(两直线平行,内错角相等) 两直线平行,内错角相等) ∵BD=DB ABD≌△CDB(ASA) ∴△ABD≌△CDB(ASA) ∴∠A=∠C ∴∠A=∠C(全等三角形对应角相等) A=∠C( AD=CB, 全等三角形对应边相等) AD=CB,AB=CD(全等三角形对应边相等) ∵∠1=∠2, ∵∠1=∠2, ∠3=∠4 ∴∠1+∠4=∠2+∠3(等式性质) ∴∠1+∠4=∠2+∠3(等式性质) 即∠ABC=∠ADC
图2
如图2所示的四边形ABCD是平行四边形. 如图2所示的四边形ABCD是平行四边形. ABCD是平行四边形 记作: 记作: ABCD 读作:平行四边形ABCD 读作:平行四边形ABCD ABCD的对角线 ABCD的对角线. 的对角线. 线段AC BD就是 线段AC,BD就是 AC,

4.1平行四边形的性质定理和判定定理及其证明姓名： 成绩：1．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ） Ａ．AD ∥BC, AD=BC Ｂ. AB=DC,AD=BC Ｃ．AB ∥DC,AD=BCＤ．OA=OC,OD=OB2．如图，在平行四边形ABCD 中，53AD AB ==，，AE 平分BAD ∠交BC 边于点E ，则线段BE EC ，的长度分别为（ ） Ａ．2和3Ｂ．3和2Ｃ．4和1Ｄ．1和43．如图，在平行四边形ABCD 中，AC BD ，相交于点O ．下列结论中正确的个数有（ ）结论：①OA OC =，②BAD BCD ∠=∠，③AC BD ⊥，④180BAD ABC ∠+∠=．Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个4.能够判别一个四边形是平行四边形的条件是（ ）A.一组对角相等B.两条对角线互相垂直且相等C.两组对边分别相等D.一组对边平行 5.下列条件中不能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A.AB =CD ，AD ∥BCB.AB =CD ，AB ∥CDC.AB ∥CD ，AD ∥BCD.AB =CD ，AD =BC 6.一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（ ）A.88°，108°，88°B.88°，104°，108°C.88°，92°，92°D.88°，92°，88° 7.四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判别四边形ABCD 是平行四边形，还需满足条件（ ）A.∠A +∠C =180°B.∠B +∠D =180°C.∠A +∠B =180°D.∠A +∠D =180° 8.以不在一条直线上的三点A 、B 、C 为顶点的平行四边形共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题5．如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，要使四边形ABCD 为平行四边形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）6．在四边形ABCD 中，AB=CD ，AD=BC ，∠B=50,则∠A=_______,∠D=_________。

§4.1～4.2 平行四边形的性质与判别复习题一、选择题(3×8=24)1．在□ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C =2：3：2，则∠D =（ ）（A ）36° （B ）108° （C ）72° （D ）60°2．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形⑤等腰三角形 ⑥等边三角形，一定能拼成的图形是…（ ）（A ） ①④⑤ （B ） ②⑤⑥ （C ） ①②③ （D ） ①②⑤3．平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x 的取值范围为（ ）．（A ）64<<x （B ）82<<x （C ）100<<x （D ）60<<x4．在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，则能通过旋转达到重合的三角形有（ ）．（A ）2对 （B ）3对 （C ）4对 （D ）5对5．□ABCD 的周长为24cm ，AB ：BC =3：1，那么BC 的长为（ ）．（A ）6cm （B ）3cm （C ）9cm （D ）12cm6．下列说法正确的是（ ）．（A ）有两组对边分别平行的图形是平行四边形（B ）平行四边形的对角线相等（C ）平行四边形的对角互补，邻角相等（D ）平行四边形的对边平行且相等7．已知四边形ABCD ，下列条件：①AB ∥CD ；②BC ∥AD ；③AB =CD ；④BC =AD ；⑤∠A =∠C ；⑥∠B =∠D ．任选其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有 ( ) （A ）4种 （B ）9种 （C ）13种 （D ）15种8．如图，□ABCD 中，A E ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，且有∠EAF =45°，DF =2cm ，CF =3cm ，则□ABCD 的面积为（ ）（A ）82cm （B ）102cm （C ）122cm （D ）15cm 二、填空题 （3×12=36）9． 平行四边形两邻角的平分线相交所成的角为_________． 10．已知AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加的条件是____________________（•填一个你认为正确的条件）．11．在□ABCD 中，若∠A +∠C =120°，则∠A =_______，∠B =_________．12．在□ABCD 中，AB =4cm ，BC =6cm ，则□ABCD 的周长为_______cm ．13．已知O 是□ABCD 的对角线交点，AC =24cm ，BD =38cm ，AD =28cm ，•则△AOD •的周长是________．14．已知平行四边形的面积是144cm 2，相邻两边上的高分别为8cm 和9cm ，则这个平行四边形的周长为________．15．如果有一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形 ___ 平行四边形(填“是”或“不是”).16．如图，P 是四边形ABCD 的DC 边上的一个动点．当四边形ABCD 满足条件______时，△PBA 的面积始终保持不变（注：只需填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形）．17．如图，在□ABCD 中，∠A 的平分线交BC 于点E ．若AB =10cm ，AD =14cm ，则BE =______，EC =________．PAB C D第16题图第17题图第18题图18．如图,用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可找出____个平行四边形．三、解答题19．（6分）如图，在□ABCD中，DB=CD，∠C=70°，AE⊥BD于点E．试求∠DAE的度数．20．（6分）已知：线段a、b、c.求作：□ABCD，使BC=a，对角线AC=b，BD=c.21．（8分）如图，以△ABC的三条边为边向BC的同一侧作等边△ABP、等边△ACQ，等边△BCR，求证：四边形P AQR为平行四边形.ACP RQ22．（10分）如图，在□ABCD中，E、F、G、H分别是四条边上的点，且满足BE=DF,CG=AH,连接E F、GH.求证：EF与GH互相平分.AB CDEFOGH23.（10）如图所示，在□ABCD中，P是AC上任意一点，求证：APD ABPS S∆∆＝.b ca。

平行四边形性质和判定(二)1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形．7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．8．在平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，求证：AE与DF互相平分．12．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．求证：EF和GH互相平分．14．如图：▱ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．15．已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．16．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）17．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．（1）求证：AF=CE；（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．18．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2（1）求证：D是EC中点；（2）求FC的长．19．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．20．如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？21．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．22．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF，那么，四边形AFED是否为平行四边形？如果是，请证明之，如果不是，请说明理由．23．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC 于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．24．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．25．在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有_________组；（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？26．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．27．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O（0，0）、A（2，0）、B（1，1），则第四个顶点C的坐标是多少？28．已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且cm，，求平行四边形ABCD的面积．29．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣3，），B（﹣2，3），C（2，3），点D在第一象限．（1）求D点的坐标；（2）将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？（3）求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？30．如图所示．▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF．答案与评分标准1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。