概率测度
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高等概率论第一章:测度与积分第一节:集族与测度(Ω,Φ,μ)---------测度空间①Ω---------------非空集合-------------研究对象全体②Φ----------------σ代数(域)-------由Ω的一些子集组成σ代数对集合的一切有限次或可数次运算封闭Φ{,}φ=Ω-------------平凡的σ代数③μ:Φ+→R ([0,1])集函数(是Ω的元素的一种测度或度量)例:Ω=[0,1].(a,b]?Ω,((,])a b b a μ- ,I 是Ω的子集,I 为区间,()I μ=I 的长度,Φ=B ([0,1])=()σε--------包含ε的最小σ代数,[0,1]ε=中的一切开集测度的唯一扩张定理,{:()}n x x ωξω?∈≤∈R Φ 称ξ是可测函数({})a b μξξ<≤---的分布①..()lim ()n x a e μξωμ→∞几乎处处收敛依测度收敛依分布收敛(弱收敛)②ξ是一维可测函数,积分ξωμωΩ()d ()-------数学期望积分的收敛性---------Lebesgue 控制收敛定理lim ()?lim ()n n x x d d ξωμξωμ→∞→∞ΩΩ=??Fatou 引理,Levy 引理记号、述语:大写英文字母表示Ω的子集(事件)花写英文字母表示Ω的子集组成的集合类(集类,集族)AαBβXχ?δEεΦφΓγHηIι??KκΛλMμNνOο∏πΘθPρ∑σTτYυ??ΩωΞξψψZζ 某集类对某种运算封闭:如A 对可数并封闭指:对?A1,A2,…A n ∈A ,则1i ∞=A i ∈A第二节:集族与测度1. 集合序列的极限设1,2,...,,...,A A An ?Ω111limsup {:}{,,...,}x K k k K k n kAn n An X A A Anωω→∞∞+=∞∞==∈Ω?∈== 可数个不同的,使至少一个发生111lim inf {:}{,,...,}x k k k k n kAn n An A A Anωω→∞∞+=∞∞==∈Ω∈== 除有限个以外,都发生关系:lim inf lim sup n n An An →∞→∞如果lim inf lim sup n n An An →∞→∞=,称{}An 的极限存在,记为lim x An →∞特例:单调上升集合列:121,lim n n A A An An ∞→∞=?=单调下降集合列:121,lim n n A A An An ∞→∞=?=例:A,B 是Ω的两个子集,221,,1,2,n n A A A B n -=== ,则lim sup ,lim inf n n An A B An A B →∞→∞==11((1),1(1))nn An n n=-+-,则lim sup [0,1],lim inf (0,1)n n An An →∞→∞==11(,1)(0,1)2211(,1)(0,1)22n n n n An Bn =-↑=-+↓2几种常用集类的定义:①A 称为一个π类:如果A 对有限交封闭②?称为一个λ类:如果:(a).ω∈ ?;(b). ?对真差封闭:若,A B ∈?,且A B ?,则B A -∈? (c )?对单调上升(下降)集合列的极限封闭③环A :如果A 对有限并、差运算封闭(交:()A B A A B =-- )④代数Φ:如果Φ是环,且Ω∈Φ0(代数对一切有限次运算封闭)⑤σ环A :如果A 对可数并、差运算封闭(?可数交封闭,极限运算封闭)⑥σ代数(域)Φ:如果Φ是σ环,且Ω∈Φ(σ代数对一切可数次集合运算封闭)⑦单调族M :如果M 对单调上升(下降)列的极限封闭,即:如果An ∈M ,且An ↑,则1n An ∞=∈ M如果An ∈M ,且An ↓,则1n An ∞=∈ M代数、且又是单调族σ?代数π类、且又是λ类σ?代数A 是任意集类,分别称λ()A ,σ()A ,M (A )是由A 生成的最小λ类,最小σ代数,最小单调类。
概率论中几乎处处收敛和依测度收敛的关系概率论中几乎处处收敛和依测度收敛是两个不同的概念,但它们之间存在一定的关系。
几乎处处收敛是指在某个概率空间中,随机变量序列在几乎所有样本点处收敛于一个确定的随机变量,而依测度收敛则是指随着样本容量的增大,随机变量序列趋向于某个随机变量的分布,这种趋向是在概率测度的意义下进行的。
在一些情况下,几乎处处收敛和依测度收敛可能同时出现,比如对于一些收敛速度比较快的随机变量序列,在满足一定的条件下,几乎处处收敛和依测度收敛都会发生。
但是,对于一些收敛速度比较慢的随机变量序列,可能只存在几乎处处收敛或者只存在依测度收敛。
总的来说,在概率论中,几乎处处收敛和依测度收敛都是非常重要的概念,它们的性质和应用都是十分广泛的。
对于随机变量序列的研究和应用,需要综合考虑这两种收敛方式的特点和优缺点,才能做出正确的判断和应用。
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概率论的研究内容
概率论是数学中的一门重要分支,研究随机现象发生的概率及其统计规律。
其研究内容涵盖了概率空间、随机变量、概率分布、随机过程等多个方面。
首先,概率论研究的基础是概率空间。
概率空间由一个样本空间和一个概率测度组成,样本空间包含了所有可能的结果,而概率测度则描述了每个结果发生的可能性大小。
研究者通过定义适当的概率测度,可以更准确地描述各种随机现象的发生概率。
其次,概率论研究的核心是随机变量。
随机变量是样本空间到实数集的映射,用来描述随机现象的结果。
研究者通过对随机变量的定义和性质进行研究,可以推导出量化随机现象的各种统计规律,如期望、方差、协方差等。
概率分布是概率论的另一个重要内容。
概率分布描述了随机变量的取值与对应概率之间的关系。
常见的概率分布有离散分布(如伯努利分布、泊松分布)和连续分布(如正态分布、指数分布)。
研究者通过对概率分布的特性进行分析,可以进一步研究随机变量的性质和相互关系。
此外,概率论还研究随机过程。
随机过程是一组随机变量的集合,表示随机现象随时间发展的规律。
研究者通过对随机过程的定义和性质进行研究,可以研究和预测各种具有时间变化特性的随机现象,如金融市场的价格变动、天气的波动等。
总之,概率论的研究内容涉及概率空间、随机变量、概率分布和随机过程等多个方面。
通过对这些内容的深入研究,可以更好地理解和预测各种随机现象的发生规律,为其他学科的研究和应用提供重要的数学工具。
测度论基础与高等概率论袁德美测度论基础与高等概率论是概率论领域的两个重要分支,它们对于理解和应用概率论具有重要意义。
袁德美是中国概率论研究的杰出学者,他在测度论基础与高等概率论方面做出了重要贡献。
测度论是概率论的基础,它研究了如何对不同集合上的事件进行测度,从而建立了概率论的数学框架。
袁德美在测度论方面的研究主要集中在测度的构造和性质上。
他提出了一种新的测度构造方法,即正则测度,该方法更加简洁和有效,被广泛应用于概率论中。
袁德美还研究了测度的可分性和可加性等性质,为测度论的发展做出了重要贡献。
高等概率论是概率论的一个分支,它研究了概率空间中的随机变量序列和随机过程的极限行为。
袁德美在高等概率论方面的研究主要涉及随机过程的极限定理和大偏差理论。
他提出了一种新的极限定理,即袁德美定理,该定理在随机过程的极限分布中起到了重要作用。
袁德美还研究了随机过程的大偏差理论,揭示了随机过程的极端事件的概率分布规律。
测度论基础与高等概率论在实际应用中具有广泛的应用价值。
测度论的基础理论为概率论的应用提供了坚实的数学基础,使得概率论可以更好地应用于统计学、金融学、物理学等领域。
高等概率论的极限定理和大偏差理论为风险评估、金融衍生品定价、通信系统性能分析等问题提供了重要的工具和方法。
袁德美在测度论基础与高等概率论领域的研究成果为概率论的发展做出了重要贡献。
他的研究成果不仅推动了概率论的理论发展,也对实际应用产生了重要影响。
袁德美的工作为概率论领域的学者提供了宝贵的研究思路和方法,为后续的研究工作奠定了坚实的基础。
测度论基础与高等概率论是概率论领域的重要分支,它们对于概率论的理论发展和应用具有重要意义。
袁德美在测度论基础与高等概率论方面的研究为概率论的发展做出了重要贡献,他的研究成果不仅推动了概率论的理论发展,也对实际应用产生了重要影响。
测度论基础与高等概率论的研究将继续在概率论领域发挥重要作用,为理论研究和实际应用提供支持。
概率与测度论;数理统计;随机过程微积分金融经典教材专著下面的当然不可能都看,Some books on the list of references might be to your taste. 每个方向认真看1,2本就行,其他的只是做参考,看看一些章节就行。
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现代概率论03:测度空间(1)⽬录第三讲 测度空间(1)2.1 测度的定义及性质2.1.1 测度的公理化定义本节主要讨论测度的定义及性质,在此之前需要引⼊⼏个概念:⾮负集函数:给定空间 X 上的集合系 E ,将定义在 E 上,取值于 [0,∞] 上的函数称为⾮负集函数,常⽤希腊字母 µ,ν,τ,⋯ 来表⽰。
可列可加性:如果对任意可列个两两不交的集合 {A n ∈E,n ≥1} 满⾜ ∞⋃n =1A n ∈E ,均有µ∞⋃n =1An=∞∑n =1µ(An ),则称⾮负集函数 µ 具有可列可加性。
有限可加性:如果对任意有限个两两不交的集合 {A k ∈E,1≤k ≤n } 满⾜ n⋃k =1Ak∈E ,均有µn⋃k =1Ak=n∑k =1µ(Ak ),则称⾮负集函数 µ 具有有限可加性。
可减性:如果对 ∀A ,B ∈E ,满⾜ A ⊂B ,且有 B −A ∈E ,只要 µ(A )<∞ ,就有µ(B −A )=µ(B )−µ(A ),则称⾮负集函数 µ 具有可减性。
本节的核⼼是测度的公理化定义,具体如下:测度的公理化定义:指的是在抽象空间的集合上建⽴的测度。
设 E 是 X 上的集合系,且 ∅∈E 。
若 E 上的⾮负集函数 µ 满⾜:(1) µ(∅)=0 ;(2) 可列可加性,则称 µ 为 E 上的测度。
若 µ(A )<∞, ∀A ∈E ,则称测度 µ 为有限测度。
()()若 ∀A ∈E ,存在 {A n ∈E,n ≥1} ,使得 ∞⋃n =1An⊃A ,则称测度 µ 为 σ 有限测度。
命题 2.1.1:测度具有有限可加性和可减性。
命题 2.1.2:设 X ⊂R, E =Q R ,F 是 R 上⾮降右连续的实值函数。
依概率收敛和依测度收敛的关系概率论和测度论是数学中重要的分支,它们用于描述随机现象和集合的性质。
在概率论中,我们常常关注随机事件的概率收敛性质,而在测度论中,我们则更关注集合的测度收敛性质。
本文将探讨依概率收敛和依测度收敛之间的关系。
我们来了解一下依概率收敛和依测度收敛的概念。
在概率论中,我们说随机变量序列{Xn}依概率收敛到随机变量X,如果对于任意给定的正数ε,有lim(n→∞) P(|Xn - X| ≥ ε) = 0。
这意味着当n趋向于无穷大时,随机变量Xn与X之间的差异趋于零的概率趋于1。
而在测度论中,我们说测度序列{μn}依测度收敛到测度μ,如果对于任意给定的集合A,有lim(n→∞) μn(A) = μ(A)。
这意味着当n趋向于无穷大时,测度μn和μ之间对任意集合A的测度差异趋于零。
然而,依概率收敛和依测度收敛并不是完全等价的。
虽然它们都描述了一种收敛性质,但在某些情况下它们并不一致。
具体来说,依概率收敛是针对随机变量序列的,而依测度收敛是针对测度序列的。
在概率论中,我们关注的是随机事件的发生概率,而在测度论中,我们关注的是集合的测度。
因此,依概率收敛更适用于描述随机事件的收敛性质,而依测度收敛更适用于描述集合的收敛性质。
依概率收敛和依测度收敛的定义也有所不同。
在依概率收敛的定义中,我们要求对于任意给定的正数ε,有lim(n→∞) P(|Xn - X| ≥ ε) = 0。
这意味着随着n的增大,随机变量Xn与X之间的差异趋于零的概率趋于1。
而在依测度收敛的定义中,我们要求对于任意给定的集合A,有lim(n→∞) μn(A) = μ(A)。
这意味着随着n 的增大,测度μn和μ之间对任意集合A的测度差异趋于零。
尽管依概率收敛和依测度收敛有一些区别,但它们之间存在一定的关系。
事实上,如果一个随机变量序列{Xn}依概率收敛到X,那么它一定也依测度收敛到X。
这是因为依概率收敛要求随机变量Xn与X之间的差异趋于零的概率趋于1,而依测度收敛要求随着n的增大,测度μn和μ之间对任意集合A的测度差异趋于零。
在测度论中,概率密度函数是描述随机变量概率分布的一个重要概念。
它通常用于连续型随机变量,用于表示在某个取值附近发生的概率密度。
概率密度函数是一个非负函数,通常记作f(x),其中x表示随机变量的取值。
概率密度函数满足以下两个性质:
1. 非负性:概率密度函数的值必须始终大于或等于零,即对于所有的x,f(x) ≥0。
2. 归一性:概率密度函数的积分(或求和)在整个定义域上等于1,即∫f(x)dx = 1(对于连续型随机变量)或∑f(x) = 1(对于离散型随机变量)。
概率密度函数描述了随机变量在不同取值上的概率密度分布,但并不直接给出具体的概率值。
要计算具体的概率,需要通过对概率密度函数进行积分(或求和)来获得。
例如,对于连续型随机变量X,其在区间[a, b]上的概率可以计算为P(a ≤X ≤b) = ∫[a, b] f(x)dx。
概率密度函数在统计学和概率论中起着重要的作用,它可以用于描述和分析各种随机现象,例如连续型随机变量的正态分布、指数分布等。
通过概率密度函数,我们可以了解随机变量的分布特征、计算期望值、方差以及进行概率推断和统计推断等分析。
第42卷第4期2019$7月安徽师范大学学报(自然科学版)Vol.42No.4Jul.2019 Journal of Anhui Normal University(Natural Science)DOI:10.14182/Di.1001-2443.2019.04.002"测度点以及乘积空间上概率测度的两个性质陈平(江苏第二师范学院数学与信息技术学院,江苏南京210013)摘要:将Heisenberg群(/,(,12"2%中的函数以及集合的LeNsegue V的概念推广到可分的加倍的度量测度空间(上,分别称为函数以及集合的“测度V,基于这一新的概念,我们将/x /"上概率测度的两个性质定理进行了推广,证明在乘积空间-x-上概率测度也具有类似的性质。
这两个定理是求解可分的度量测度空间中最优运输问题的关键步骤,也是证明和研究最优映射的存在性以及正则性的主要基础。
本文的证明主要利用空间的可分性质以及测度的加倍性质。
关键词:Lebsegue V;加倍测度;可分度量空间中图分类号:0186.14文献标志码:A文章编号:1001-2443(2019)04-0313-04本文的主要工作受益于文献[5]中第六节内容的启发。
在该文献中,作者证明了乘积空间/"x/"上概率测度的两个性质定理,其中/"指Heisenberg群(/",(,12"2),这里(指测地距离,12"2为2"+1维Lebsegue测度。
这两个性质定理是证明Heisenberg群上的最优运输问题中最优映射的存在性的重要基础定理[5](在该文献的第六节第一段结尾部分,作者提及当Heisenberg群推广至任意可分的加倍的度量测度空间(-,(,")时,乘积空间-X-上概率测度应该具有类似的性质,但作者并未给出证明。
为此,本文详细证明了这两个性质定理。
依概率收敛和依测度收敛的关系引言:在概率论和测度论中,我们经常遇到依概率收敛和依测度收敛的概念。
这两个概念都是描述随机变量序列的收敛性质,但它们之间存在一定的联系和区别。
本文将从数学角度详细介绍依概率收敛和依测度收敛的关系。
一、依概率收敛:依概率收敛是指随机变量序列以概率1逼近某个随机变量的现象。
具体来说,对于一个随机变量序列{Xn}和一个随机变量X,如果对于任意的ε>0,有lim(n→∞)P(|Xn-X|>ε)=0,那么我们称随机变量序列{Xn}依概率收敛于X,记作Xn→P X。
依概率收敛的特点是,随着n的增大,随机变量Xn与X之间的差异以概率1逐渐减小。
可以理解为,随机变量序列{Xn}以概率1趋近于随机变量X,但不一定相等。
二、依测度收敛:依测度收敛是指随机变量序列以测度的意义逼近某个随机变量的现象。
具体来说,对于一个随机变量序列{Xn}和一个随机变量X,如果对于任意的ε>0,有lim(n→∞)P(|Xn-X|>ε)=0,那么我们称随机变量序列{Xn}依测度收敛于X,记作Xn→D X。
依测度收敛的特点是,随着n的增大,随机变量Xn与X之间的差异在测度意义下逐渐减小。
可以理解为,随机变量序列{Xn}以测度的意义趋近于随机变量X,但不一定相等。
三、依概率收敛与依测度收敛的关系:依概率收敛和依测度收敛之间存在一定的联系和区别。
首先,依测度收敛蕴含了依概率收敛,即如果一个随机变量序列{Xn}依测度收敛于X,那么它也一定依概率收敛于X。
依概率收敛和依测度收敛之间的差异在于收敛的速度。
一般来说,依概率收敛的速度比依测度收敛的速度慢。
也就是说,对于同一个随机变量序列{Xn}和随机变量X,如果{Xn}依概率收敛于X,那么它可能不一定依测度收敛于X;但如果{Xn}依测度收敛于X,那么它一定依概率收敛于X。
依概率收敛和依测度收敛在一些特殊情况下是等价的。
例如,对于一个常数序列{Xn=c},其中c是一个常数,那么{Xn}依概率收敛于c,也依测度收敛于c。
第31卷第4期 南京邮电大学学报《自然科学版) 201 1年8月 Journal of Nanjing University of Posts and Telecommunications(Natural Science) Vo1.31 No.4
Aug.2011
某一类集合在概率度量下的维数和测度 胡国雷 (南京邮电大学理学院,江苏南京210046)
摘要:对单峰映射的允许揉搓序列组成的一类集合给出定量的刻画,证明了该集合在概率度量下的符号空间中 的Hausdorff维数为1,1维Hausdorff测度为零。 关键词:单峰映射;允许揉搓序列;Hausdorff维数;Hausdorff测度 中图分类号:O189.1 文献标识码:A 文章编号:1673-5439(2011)04-0125-03
Dimension and Measure of Some Kind of Set with Probability Metric HU Guo.1ie (College of Science,N ing University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210046,China)
Abstract:In this paper we give quantitative version for the set made of admission kneading sequences with probability metric.It is proved for the set that the Hausdorff dimension is 1 and the 1-dimension Hausdorff measure is zeto in . 』 ,
Key words:unimodal map;admissible kneading sequenee;Hausdorff measure;Hausdorff dimension