复变函数试卷及答案
【篇一：《复变函数》考试试题与答案各种总结】xt>一、判断题（20分）：
1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( )
2.有界
整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若
{zn}
收敛，则
{re zn}{im zn}
与
都收敛. ( )
4.若f(z)在区域d内解析，且
f(z)?0，则f(z)?c（常数）.( )
5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( )
6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( )
7.若
z?z0
limf(z)
存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )
8.若函数f(z)在是区域d内的单叶函数，则f(z)?0(?z?d). ( )9. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c
?
c
f(z)dz?0.
( )
10.若函数f(z)在区域d内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域d 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）
dz
?__________.（n为自然数）
1、 ?|z?z0|?1(z?z)n
22sinz?cosz? _________. 2.
3.函数sinz的周期为___________.
f(z)?
4.设
?
1
z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.
n
?nz
n?0
的收敛半径为__________.
6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.
7.若n??
limzn??
z1?z2?...?zn
?
n??n，则______________.
lim
ez
res(n,0)?
z8.________，其中n为自然数.
sinz9. 的孤立奇点为________ .
z
limf(z)?___zf(z)的极点，则z?z0
10.若0是.
三.计算题（40分）：
1. 设
1
f(z)?
(z?1)(z?2)，求f(z)在d?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.
1
dz.?|z|?1cosz2.
3?2?7??1
f(z)??d?
c??z3. 设，其中c?{z:|z|?3}，试求f(1?i).
w?
4. 求复数
z?1
z?1的实部与虚部.
四. 证明题.(20分) 1. 函数为常数. 2. 试证
: f(z)?
f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它在d内在割去线段0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支,
并求出支割线0?rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.
《复变函数》考试试题（一）参考答案
一．判断题
?2?in?11. ? ；2. 1；3. 2k?，(k?z)；4. z??i； 5. 1 0n?1?
6. 整函数；
7. ?；
8. 三．计算题.
1. 解因为0?z?1, 所以0?z?1
?
1?zn111n
??z??(). f(z)???
2n?02(z?1)(z?2)1?z2(1?)n?0
2
1
； 9. 0； 10. ?.
(n?1)!
2. 解因为
z?
resf(z)?lim
z?
?
2
?
2
z?
?
2
?lim1??1, coszz???sinzz?
?
2
resf(z)?lim
z??
?
2
z??
?2
?lim1?1. coszz????sinz
所以
1
sf(z)?resf(z)?0. z?2cosz?2?i(re??z??z?
2
2
2
3. 解令?(?)?3??7??1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内, f(z)?
?(?)
?c??z?2?i?(z).
所以f?(1?i)?2?i??(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4. 解令
z?a?bi, 则 w?
z?122a(?1?bi)2a(?1)b2
. 2?1?1?122222
z?1z?1(a?1)?b(a?1)?ba(?1)?bz?12(a?1)z?12b
, . )?1?im()?
z?1(a?1)2?b2z?1(a?1)2?b2
故 re(
四. 证明题.
1. 证明设在d内f(z)?c.令f(z)?u?iv,
则f(z)?u2?v2?c2.
2
?uux?vvx?0
两边分别对x,y求偏导数, 得?
?uuy?vvy?0
(1)(2)
因为函数在d内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为
?uux?vvx?022
. 消去ux得, (u?v)vx?0. ?
?vux?uvx?0
1) 若u?v?0, 则 f(z)?0 为常数.
2) 若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 c.?r.方程有ux?0, uy?0, vy?0. 所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数).
2
2
所以f(z)?c1?ic2为常数. 2.
证明f(z)?
的支点为z?0,1. 于是割去线段0?rez?1的z平面内变点就
不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.
