专题05+平面向量-2018年高考数学(理)母题题源系列(上海专版)+Word版含解析

精品高考数学2018年全揭秘《高考母题题源》系列母题五 函数概念与性质【母题原题1】【2018江苏，理5】函数()f x =的定义域为 ▲ ．【母题原题2】【2017江苏，理11】已知函数31()2e e x xf x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 ▲ .【母题原题3】【2016江苏，理5】函数y 的定义域是 .【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查函数的图象与性质.【命题规律】1. 函数的图象与性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．2. 函数的图象与性质会涉及如下题型：(1) 函数“二域三性”的考查；(2) 函数性质在解决不等式问题中的应用；(3) 函数与方程问题；(4) 函数性质在数列等问题中的应用；(5) 利用导数来刻画函数的性质．【答题模板】解答本类题目，以2018年试题为例，一般考虑如下两步：第一步：确定考查的函数性质.第二步：根据函数图像与性质列式，解参数或范围.【方法总结】函数单调性的应用(1)含“f ”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．(2)比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．(3)求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．1．【江苏省苏州市2018届高三调研测试（三）数学试题】如果函数在其定义域内总存在三个不同实数，满足，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则实数的取值范围为__________.2．【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】函数满足，且在区间上，则的值为____．3．【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝，若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a的取值范围是______．4．【江苏省海门中学2018届高三5月考试（最后一卷）数学试题】已知函数，则不等式的解集为______.5．【江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试（四）数学试题】已知函数的最小值为，则实数的取值集合为__________．6．【江苏省苏州市第五中学校2018届高三上学期期初考试数学（文）试题】已知，则不等式的解集为________．7．【江苏省苏州市第五中学校2018届高三上学期期初考试数学（文）试题】函数的定义域为______．8．【江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题】若是定义在上的周期为3的函数，且,则的值为_________．9．【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题】已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____．f x 10．【江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考数学调研测试试题】设()是定义在R 上且周期为4的函数，在区间(]2,2-上，其函数解析式是(),20{ 1,02x a x f x x x +-<≤=-<≤，其中a R ∈.若()()55f f -=，则()2f a 的值是__________．。

专题 平面向量一、选择题1．【2018黑龙江佳木斯一中调研】若向量()1,1a =， ()1,1b =-， ()1,2c =-，则c 等于（ ） A. 1322a b -+ B. 1322a b - C. 3122a b - D. 3122a b -+ 【答案】B2．【2018湖北咸宁联考】已知平面向量a ， b 满足()1,2a =， 10b =， 5a b +=，则向量a ，b 的夹角为（ ）A.4π B. 3π C. 23π D. 34π 【答案】A【解析】()1,2a→=， a∴→=5ab→+→===则cos 2θ=4πθ∴=故选A点睛：本题中，由a→的坐标可得到a→ 的模，又因为5a b += 求两个向量的夹角，由向量的数量积的计算公式可以求得答案。

着重考查了平面向量数量积的运算和两个向量夹角等知识，属于基础题。

3．【2018湖南浏阳五校联考】已知圆心为，半径为1的圆上有不同的三个点，其中，存在实数满足，则实数的关系为A. B.C.D.【答案】A4．【2018湖北咸宁重点高中联考】如图，在ABC ∆中，点M 为AC 的中点，点N 在AB 上， 3AN NB =，点P 在MN 上， 2MP PN =，那么AP 等于（ ）A.2136AB AC - B. 1132AB AC - C. 1136AB AC - D. 1126AB AC + 【答案】D【解析】()221211.333362AP AM MP AM MN AM AN AM AM AN AC AB =+=+=+-=+=+本题选择D 选项.5．【2018辽宁鞍山一中二模】已知1a =， 2b =，且()a a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A.4π B. 3π C. 2π D. 6π【答案】A【解析】【解析】由()a a b⊥-得()201a a b a a b a b ⋅-=⇒=⋅⇒⋅= ，则c o s c o s42a b a b a b a bπ⋅⋅==⇒⋅= ，故选B.6．【2018安徽十大名校联考】如图，在四边形MNPQ 中，已知,6,10NO OQ OM OP ===，28MN MQ ⋅=-，则NP QP ⋅=（ ）A. 64B. 42C. 36D. 28 【答案】C点睛：本题主要考查了平面的运算问题，其中解答中涉及到平面向量的三角形法则，平面向量的数量积的运算公式，平面向量的基本定理等知识点的综合考查，解答中熟记平面的数量积的运算和平面向量的化简是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.7．【2018全国名校联考】已知平面向量,a b 满足()2a a b +=，且1,2a b ==，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.6π B. 3π C. 23π D. 56π【答案】B【解析】由已知()22a a b a a b +=+⋅=，得1a b ⋅=，则1cos ,2a b ab a b ⋅==，所以向量a 与b 的夹角为3π，故选B. 8．【2018山东德州联考】已知向量a ， b 夹角为3π，|b |=2，对任意x ∈R ，有|b +x a |≥|a -b |，则|t b -a |+|t b -2a|（t ∈R ）的最小值是（ ）B. 32C. 1+【答案】D设AO a =， AB b =，建立平面直角坐标系，如图所示：则()10A ，， (0B ∴()10a -，， ()13b -， ∴(12a tb a tb t -+-=-=它表示点()0P t ，与点144M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，、188N ⎛- ⎝⎭，的距离之和的2倍当M P N ，，三点共线时，取得最小值MN ，即2MN ==，故选D点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数的最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解.9．【2018江西宜春六校联考】已知向量(),1a λ=， ()2,1b λ=+，若a b a b +=-，则实数λ的值为（ ）A. 2B. 2-C. 1D. 1- 【答案】D点晴:本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的模的概念，属于容易题.解题时一定要注意正确的计算平面向量的坐标运算，并准确地运用平面向量模的概念建立等式关系，否则很容易导致计算错误.作为一道选择题还可以选择代值法，逐一进行验证每个选项是否满足已知条件，若不是，则排除之；若是，即为所求的答案.10．【2018广西柳州摸底联考】已知向量AB 与AC 的夹角为60︒，且2AB =， 4AC =，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为（ ）A.45 B. 45- C. 0 D. 25- 【答案】C 【解析】AP BC⊥⇒()0AB ACAC AB λ+-=⇒()22024124cos6000λλλ-+⋅+-⋅⋅⋅=∴= ,选C.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 11．【2018河南漯河中学二模】已知点为内一点，且满足，设与的面积分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B12．【2018辽宁鞍山一中一模】向量()2,1a =-， ()1,2b =-，则()2a b a +⋅=（ ） A. 6 B. 5 C. 1 D. 6- 【答案】A【解析】由向量数量积公式知， ()()()23,02,16a b a +⋅=⋅-=，故选A. 二、填空题13．【2018湖北八校联考】已知平面向量,a b 的夹角为23π，且1,2a b ==，若()()2a b a b λ+⊥-，则λ＝___． 【答案】3【解析】∵()()2a b a b λ+⊥-，∴()()()()2222128120a b a b a b a b λλλλλ+⋅-=-+-⋅=---=，解得3λ=，故答案为3.14．【2018湖南五市十校联考】在平行四边形ABCD 中， 3,4AB AD ==，则AC DB ⋅=__________． 【答案】-7【解析】在平行四边形ABCD 中， 3,4AB AD ==，,AC AB AD DB AB AD =+=-，则()()229167AC DB AB ADAB AD AB AD ⋅=+-=-=-=-.15．【2018四川南充高级中学质检】若向量a ， b 夹角为3π，且2a =， 1b =，则a 与2a b +的夹角为__________．【答案】6π点睛：利用数量积的公式得()2cos 2a a b a a bθ⋅+=+，所以要求出数量积()2a a b ⋅+，和模2a b +，解得()222426a ab a a b ⋅+=+⋅=+=，()2222244444a b a ba b a b +=+=++⋅=++=，所以6πθ=.16．【2018安徽马鞍山联考】若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为__________． 【答案】【解析】设向量与向量的夹角为， 利用向量垂直的充要条件有：,即：，据此可得：向量在方向上的投影为.17．【2018豫西南高中联考】已知非零向量,a b 满足a b =且()32a a b ⊥-，则向量a 与b 的夹角为__________． 【答案】6π【解析】因为()32a a b ⊥-，故()2*32=0=*3-*2=3||-2||||cos a a b a a a b a a b θ-整理得到cos 26πθθ=⇒= 。

第五章平面向量与复数1.平面向量(1)平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．③理解向量的几何表示．(2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．③了解向量线性运算的性质及其几何意义．(3)平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②了解平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．2．数系的扩充和复数的引入(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．(2)了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．(3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．5．1 平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模).AB →的模记作____________．(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的．(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.a||a 是一个与a 同向的____________．－a|a |是一个与a ________的单位向量．(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量____________． (5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量．(6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量．(7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示．2．向量的加法和减法 (1)向量的加法①三角形法则：以第一个向量a 的终点A 为起点作第二个向量b ，则以第一个向量a 的起点O 为________以第二个向量b 的终点B 为________的向量OB →就是a 与b 的________(如图1)．推广：A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＝____________.图1图2②平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作ABCD ，则以A 为起点的__________就是a 与b 的和(如图2)．在图2中， BC →＝AD →＝b ，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．③加法的运算性质：a ＋b ＝____________(交换律)；(a ＋b )＋c ＝____________(结合律)；a ＋0＝____________＝a .(2)向量的减法已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝____________，即a －b 表示从向量b 的终点指向向量a (被减向量)的终点的向量(如图)．3．向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：①||λa ＝____________；②当λ>0时，λa 与a 的方向____________； 当λ<0时，λa 与a 的方向____________； 当λ＝0时，λa ＝____________. (2)运算律：设λ，μ∈R ，则： ①λ(μa )＝____________； ②(λ＋μ)a ＝____________； ③λ(a ＋b )＝____________. 4．两个向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________．自查自纠：1．(1)大小 方向 长度 ||AB→(2)长度为0 任意(3)1个单位长度 单位向量 方向相反 (4)相同 相反 非零 共线向量 平行 (5)相等 相同 (6)相等 相反 (7)字母 有向线段 坐标2．(1)①起点 终点 和 A 1A n → ②对角线AC → ③b ＋a a ＋(b ＋c ) 0＋a (2)a －b 3．(1)λa ①|λ||a | ②相同 相反 0 (2)①μ(λa ) ②λa ＋μa ③λa ＋λb 4．b ＝λa设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则当a 为零向量时，a 的方向任意；当a 不为零向量时，a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A.(2015·东北三省联考)在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形解：依题意得AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋AD →，则BC →＝AD →，因此BC ∥AD 且BC ＝AD ，故四边形ABCD 一定是平行四边形．故选D.在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM →＝mAB →，AN →＝nAD →(mn ≠0)，若MN →∥BE →，则n m＝________.解：MN →＝AN →－AM →＝nAD →－mAB →，BE →＝BC →＋ CE →＝AD→－12AB →，因为MN →∥BE →，且向量AD →和AB →不共线，所以n 1＝－m －12，解得nm ＝2.故填2.直角三角形ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)，则|AP →|＝________.解：如图，取BC 边中点D ，连接AD ，则12(AB →＋AC →)＝AD →，OP→＝OA →＋12(AB →＋AC →)⇒OP →＝OA →＋AD →⇒OP →－OA →＝AD →⇒AP→＝AD →，因此|AP →|＝|AD →|＝1.故填1.类型一 向量的基本概念给出下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四点A ，B ，C ，D 构成平行四边形；④在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中不正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解：两个向量起点相同，终点也相同，则两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．若|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等，故②不正确．若 AB →＝DC →，可能有A ，B ，C ，D 在一条直线上的情况，所以③不正确．正确的是④⑤.故选B.点拨：从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征逐一进行考察．(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．下列命题中，正确的是________．(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点共线；④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．解：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，如果b 为零向量，则a 与c 不一定平行；⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．故填⑤.类型二 向量的线性运算在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.解法一：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋23(AE →－AB →)＝AB →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →＝13AB →＋13AC →＝ 13a ＋13b.解法二：由于G 是△ABC 的中线BE 与CF 的交点，所以G 为△ABC 的重心．延长AG 交BC 于H ，由重心的性质知，AG →＝23AH →＝23×12(AB →＋AC →)＝13a ＋13b.点拨：(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．(3)在解答用已知向量线性表示未知向量的问题时，可以利用共线向量定理，将共线向量用参数表示，再利用平面向量基本定理，建立参数的方程(组)求解参数，最后得出结论．(1)设P 是△ABC 所在平面内一点，BC→＋BA →＝2BP →，则( )A.PA →＋PB →＝0B.PC →＋PA →＝0C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0 解：如图，根据向量加法的几何意义有BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故PC →＋PA →＝0.故选B.(2)(2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →解：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.故选A. 类型三 向量共线的充要条件及其应用已知A ，B ，C 是平面内三个不相同的点，O 是平面内任意一点，求证：向量OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.证明：(1)先证必要性．若OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线，则AB →∥BC →， 所以存在实数m 使得BC →＝mAB →，即OC →－OB →＝m (OB →－OA →)，所以OC →＝－mOA →＋(1＋m )OB →. 令λ＝－m ，μ＝1＋m ， 则λ＋μ＝－m ＋1＋m ＝1，即存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →， 且λ＋μ＝1. (2)再证充分性．若OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1， 则OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →，所以OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BC →＝λBA →， 所以BC →∥BA →，又BC 与BA 有公共点B ， 所以A ，B ，C 三点共线． 综合(1)(2)可知，原命题成立． 点拨：证明三点A ，B ，C 共线，借助向量，只需证明由这三点A ，B ，C 所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数λ，使AB →＝λBC →.但证明两条直线AB ∥CD ，除了证明存在一个实数λ，使AB →＝λCD →外，还要说明两直线不重合．注意：本例的结论可作定理使用．(1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC→＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解：BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，所以A ，B ，D 三点共线．故选A.(2)设两个非零向量a 与b 不共线，若k a ＋b 和a ＋k b 共线，则实数k ＝________.解：因为k a ＋b 和a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .所以(k －λ)a ＝(λk －1)b .因为a ，b 是两个不共线的非零向量，所以k －λ＝λk －1＝0，所以k 2－1＝0.所以 k ＝±1.故填±1.(3)如图，在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点．若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为()A.12B.13C.14D ．1 解：由N 为AM 的中点， 可得AN →＝12AM →＝λAB →＋μAC →，整理得AM →＝2λAB →＋2μAC →，由B ，M ，C 三点共线可得2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝12.故选A.1．准确理解向量的概念，请特别注意以下几点：(1)a∥b，有a与b方向相同或相反两种情形；(2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|＝|b|⇒/a＝±b；(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；(4)对于任意非零向量a，a||a是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；(5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量与a相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，向量的共线与向量的平行是一致的．2．向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合．向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．3．向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记“起点重合，指向对角顶点”．4．平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算．5．对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠0”的理解：(1)当a＝0时，a与任一向量b都是共线的；(2)当a＝0且b≠0时，b＝λa是不成立的，但a与b共线．因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a≠0.换句话说，如果不加条件“a≠0”，“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件．1．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是( )A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|解：由题意a|a|＝b|b|表示与向量a和向量b同向的单位向量相等，故a与b同向共线．故选C.2．已知向量a，b不共线，c＝k a＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( )A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解：因为c∥d，所以存在实数λ，使得c＝λd，即k a＋b＝λ(a－b)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k＝λ，1＝－λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k＝－1，λ＝－1.此时c＝－d.所以c与d反向．故选D.3．已知O，A，M，B为平面上四点，且OM→＝λOB→＋(1－λ)OA →，实数λ∈(1，2)，则( )A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 四点一定共线解：由题意得OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，即AM →＝λAB →.又λ∈(1，2)，所以点B 在线段AM 上．故选B .4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则( )A.AO →＝2OD →B.AO →＝OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →解：因为D 为BC 的中点，所以由2OA →＋OB →＋OC →＝0得OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →，即2OD →＝2AO →，所以AO →＝OD →.故选B.5．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若 AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是( )A ．B ．C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 解：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， 所以AB →＝2DC →.因为点E 在线段CD 上， 所以DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． 且AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →，即DE →＝2μDC →， 所以λ＝2μ.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.故选C.6．如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且 AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，x ，y ∈R ，则xy x ＋y的值为()A ．3 B.13 C ．2 D.12解法一：由点G 是△ABC 的重心，知AG →＝23×12(AB→＋AC →)＝13(AB →＋AC →)．又M ，N ，G 三点共线(A 不在直线MN 上)，于是存在λ，μ∈R ，使得 AG →＝λAM →＋μAN →(且λ＋μ＝1)，则AG →＝λxAB →＋ μyAC →＝13(AB →＋AC →)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝1，λx ＝μy ＝13，于是得1x ＋1y ＝3，所以xy x ＋y ＝11x ＋1y＝13.解法二：特殊化法，取MN ∥BC ，易得xy x ＋y ＝13.故选B.7．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD →＝12AB →，BE →＝23BC →.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解：DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－ AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →， 因为DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12.故填12.8．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ＋)，则mn＝________.解：如图，设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →，因为∠AOC ＝30°，所以|OC →|cos30°＝|OF →|＝m|OA →|＝m ， |OC→|sin30°＝|OE →|＝n|OB →|＝3n ，两式相除得 m3n＝|OC →|cos30°|OC →|sin30°＝1tan30°＝3，所以mn＝3.另外此题也可用坐标求解．故填3.9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且 AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b表示BC →和MN →.解：BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14a ＋(－b )＋12a ＝14a －b .10．设两个非零向量e 1和e 2不共线． (1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝ －8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝ 2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：因为AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，所以AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝ －12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →， 所以AC →与CD →共线．又因为AC →与CD →有公共点C ，所以A ，C ，D 三点共线．(2)AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝ 3e 1－2e 2，因为A ，C ，D 三点共线，所以AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.故k 的值为43. 11．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a和b表示向量OM →.解：因为A ，M ，D 三点共线，所以OM →＝λ1OD →＋(1－λ1)OA →＝12λ1b ＋(1－λ1)a ，① 因为C ，M ，B 三点共线，所以OM →＝λ2OB →＋(1－λ2)OC →＝λ2b ＋1－λ24a ，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧12λ1＝λ2，1－λ1＝1－λ24，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝67，λ2＝37.故OM →＝17a ＋37b.设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解：若C ，D 调和分割点A ，B ，则AC →＝λAB →(λ∈R )，AD →＝μAB →(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2.对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12AB →⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A 选项错误；同理B 选项错误；对于选项C ，若C ，D 同时在线段AB 上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒1λ＋1μ＞2，C 选项错误；对于选项D ，若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则λ＞1，μ＞1⇒1λ＋1μ＜2，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上，D 选项正确．故选D.5．2 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使_________________________．我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________．2．向量的夹角(1)已知两个________向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)．(2)向量夹角θ的范围是_______________．a 与b 同向时，夹角θ＝________；a 与b 反向时，夹角θ＝____________.(3)如果向量a 与b 的夹角是____________，我们就说a 与b 垂直，记作____________．3．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．(2)在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .则实数对__________叫做向量a 的(直角)坐标，记作a ＝__________，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a 相等的向量的坐标也为________．显然，i ＝_____________，j ＝_____________，0＝_____________.4．平面向量的坐标运算(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝__________________________.(2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝_________________________.(3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝____________. (4)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是____________________．自查自纠：1．a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底 2．(1)非零(2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90° a ⊥b 3．(1)互相垂直(2)(x ，y ) (x ，y ) (x ，y ) (1，0) (0，1) (0，0)4．(1)(x 1±x 2，y 1±y 2) (2)(x 2－x 1，y 2－y 1) (3)(λx ，λy ) (4)x 1y 2－x 2y 1＝0(2015·全国Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7，4)C ．(－1，4)D ．(1，4)解：AB →＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4， －3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)线性表示出来的是( )A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)解：一个平面内任意不共线的两个向量都可以作为平面的一组基底，它能表示出平面内的其他向量．A 中，e 1＝0，且e 2与a 不共线；C ，D 中的两个向量都是共线向量且不与a 共线，故表示不出a .B 中的两个向量不共线，可以作为平面的一组基底，故可以表示出a .故选B.已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A ．－ 2B. 2C ．－2或 2D ．0解：由a ∥b 知1×2－m 2＝0，所以m ＝± 2.故选C.(2015·江苏)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解：因为m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9， －8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3.故填－3.已知两点A (1，0)，B (1，1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限内，且∠AOC ＝135°，设 OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ的值为________．解：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝ －x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1＋λ，－a ＝λ， 消掉a得λ＝12.故填12.类型一 向量共线充要条件的坐标表示平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值； (3)若n ≠0，且m a ＋n b 与a －2b 共线，求mn的值．解：(1)由题意得(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， 解得k ＝－1613.(3)m a ＋n b ＝(3m －n ，2m ＋2n )，a －2b ＝(5，－2)，由题意得－2(3m －n )－5(2m ＋2n )＝0，解得m n ＝－12.点拨：解决此类题目，我们只需要牢记：(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2－ x 2y 1＝0；②a ∥b (a ≠0)，当且仅当唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．(1)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12x ，b ＝(x ，1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为________．解：a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，因为(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0， 所以存在唯一的实数λ使得⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8－2x ＝λ（16＋x ），12x －2＝λ（x ＋1），解得x ＝4(x >0)．故填4.(2)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k ＝________.解：若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线.AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)．因为AB →∥AC →，AC →≠0，所以1×(k ＋1)－ 2k ＝0，解得k ＝1.故填1.类型二 平面向量基本定理及其应用在ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，AE →＝ 13EB →，BF →＋2CF →＝0，设AB →＝a ，AD →＝b.(1)设DB →＝λDE →＋μDF →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值；(2)设AF 与DE 交于点G ，用a ，b 表示AG →. 解：(1)因为AE →＝13EB →，AB →＝AE →＋EB →＝a,所以AE →＝14a ，所以DE →＝AE →－AD →＝14a －b .因为BF →＋2CF →＝0，BC →＝AD →＝b ， 所以CF →＝－13b ，所以DF →＝DC →＋CF →＝a －13b ，DB →＝DC →＋DA →＝a －b .因为DB →＝λDE →＋μDF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a －b ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －13b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14λ＋μa －⎝⎛⎭⎪⎫λ＋13μb ，即a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14λ＋μa －⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋13μb .由于a ，b 为不共线的非零向量，因此由平面向量基本定理知⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋μ＝1，λ＋13μ＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝811，μ＝911，则λ＋μ＝1711.(2)设DG →＝mDE →，AG →＝nAF →，m ，n ∈R ，则 DG →＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a －b ＝14m a －m b ，AG →＝n (AD →＋DF →)＝ n (b ＋a －13b )＝n a ＋2n 3b ，由于AG →＝AD →＋DG →＝b ＋ 14m a －m b ＝14m a ＋(1－m )b ，即n a ＋2n 3b ＝14m a ＋ (1－m )b .由于a ，b 为不共线的非零向量，因此由平面向量基本定理知⎩⎪⎨⎪⎧n ＝14m ，2n 3＝1－m ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝67，n ＝314.则AG →＝14×67a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－67b ＝314a ＋17b .点拨：应用平面向量基本定理的关键点：(1)平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．(2)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(3)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．(1)在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD平分∠ACB .若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( )A.13a ＋23b B.23a ＋13b C.35a ＋45b D.45a ＋35b 解法一：因为CD 平分∠ACB ，由角平分线定理，得AD DB ＝AC BC ＝|b ||a |＝2，所以AD →＝2DB →＝23AB →. 所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →＝23a ＋13b . 解法二：(特殊值法)构造直角三角形，令 CB ＝1，CA ＝2，AB ＝3，则∠DCB ＝30°，所以BD ＝33.故BD →＝13BA →，CD →＝CB →＋BD →＝a ＋13(b － a )＝23a ＋13b .故选B.(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解：设i ，j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，即－i －3j ＝(－λ＋6μ)i ＋(λ＋2μ)j ，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12.所以λμ＝4.故填4. 类型三求向量的坐标已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．解：如图所示，令A (－1，0)，B (3，0)，C (1，－5)，D (x ，y )．(1)若四边形ABCD 1为平行四边形， 则AD 1→＝BC →，且AD 1→＝(x ＋1，y )，BC →＝(－2，－5)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2，y ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5. 所以D 1(－3，－5)．(2)若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB →＝CD 2→，且AB →＝(4，0)，CD 2→＝(x －1，y ＋5)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋5＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－5. 所以D 2(5，－5)．(3)若四边形ACBD 3为平行四边形， 则AD 3→＝CB →，且AD 3→＝(x ＋1，y )，CB →＝(2，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2，y ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5. 所以D 3(1，5)．综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为 (－3，－5)或(5，－5)或(1，5)．点拨：平面向量坐标运算的技巧：(1)向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.(1)求E ，F 的坐标； (2)求证：EF →∥AB →.解：(1)设E ，F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则依题意得AC →＝(2，2)，BC →＝(－2，3)，AB →＝(4，－1)．所以AE →＝13AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，BF →＝13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.因为AE →＝(x 1，y 1)－(－1，0)＝(x 1＋1，y 1)， BF →＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝(x 2－3，y 2＋1)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝23，y 1＝23， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－13，y 1＝23.⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3＝－23，y 2＋1＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝73，y 2＝0.所以E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0. (2)证明：由(1)知E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23，且AB →＝(4，－1)，又4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－(－1)×83＝0，所以EF →∥AB →.1．对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础．(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R ，e 1，e 2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸．(4)如果e 1，e 2是同一平面内的一组基底，且 λ1e 1＋λ2e 2＝0(λ1，λ2∈R )，那么λ1＝λ2＝0.2．对两向量夹角的理解两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角．若起点不同，则应通过平移，使其起点相同．3．向量的坐标表示向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标．两个向量相等，当且仅当其坐标相同．1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( )A ．a ＝(1，2)，b ＝(0，0)B ．a ＝(1，－2)，b ＝(3，5)C ．a ＝(3，2)，b ＝(9，6)D ．a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12， b ＝(3，－2) 解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B.2．已知平面向量a ＝(2m ＋1，3)，b ＝(2，m )，且a 与b 反向，则|b |等于( )A.1027 B ．2 2 C.52 D.52或2 2 解：根据题意a ∥b 知m (2m ＋1)－3×2＝0，解得m ＝－2或m ＝32.当m ＝32时，a ＝(4，3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，则a ＝2b ，此时两向量同向，与已知不符，故m ＝－2，此时b ＝(2，－2)，故|b |＝2 2.故选B.3．如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a ，b 如图，则向量a －b 可表示为( )A ．3e 2－e 1B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解：由图易知a －b ＝－3e 2＋e 1＝e 1－3e 2.故选C.4．(2015·江西检测)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )．由m ＝－6得a ＋b ＝(2，－4)＝－12a ，所以a ∥(a ＋b )；由a ∥ (a＋b )得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.故 “m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件．故选A.5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，若表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A ．(1，－1)B ．(－1，1)C ．(－4，6)D ．(4，－6)解：由题知4a ＝(4，－12)，3b －2a ＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，知c ＝(4，－6)．故选D.6．如图，设向量OA →＝(3，1)，OB →＝(1，3)，若OC →＝λOA →＋μOB →，且λ≥μ≥1，则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是()解：设OC →＝(x ，y )，则由OC →＝λOA →＋μOB →得(x ，y )＝λ(3，1)＋μ(1，3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ＋μ，y ＝λ＋3μ，可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3x －y 8，μ＝3y －x 8.因为λ≥μ≥1，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －y 8≥3y －x 8，3y －x 8≥1，化简得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －3y ＋8≤0.作出可行域知选项D 正确．故选D.7．(2015·全国)设向量a ，b 不平行，向量 λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．解：由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，且a ＋2b ≠0，所以存在唯一的实数μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0.因为a ，b 不平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝0，1－2μ＝0， 解得λ＝μ＝12.故填12.8．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ○×b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动．Q是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ○×OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．解：设Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m ○×OP →＋n ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ，12sin x ＋⎝⎛⎭⎪⎫π3，0＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，12sin x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －π6.所以y ＝f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，易知y ＝f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.9．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当实数k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？ (2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值．解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线， 所以2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)解法一：因为A ，B ，C 三点共线， 所以存在实数λ使得AB →＝λBC →， 即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝m λ， 解得m ＝32.解法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，BC →＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥BC →，又BC →≠0，所以8m －3(2m ＋1)＝0， 即2m －3＝0，得m ＝32.10．已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及 OP→＝OA →＋tAB →，试问：(1)当t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第三象限内？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．解：(1)依题意，得AB →＝(3，3)， 所以OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )， 即P (1＋3t ，2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13；若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＜0，所以t ＜－23.(2)因为OA →＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )， 若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2. 此方程无解．故四边形OABP 不可能成为平行四边形． 11．如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值．解：设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝ －3e 2－e 1，BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2.因为A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线， 所以存在λ，μ∈R ，使AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2，BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2.故BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2， 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，所以由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．解：由题意得，OC →＝kOD →(k <0)，又|k|＝|OC →||OD →|<1，所以－1<k <0.又因为B ，A ，D 三点共线，所以OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →，由平面向量的基本定理知m ＝k λ，n ＝k (1－λ)，所以m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1，0)．故填(－1，0)．5．3 平面向量的数量积1．数量积的概念已知两个非零向量a与b，我们把数量________________叫做a与b的数量积(或内积)，记作____________，即a·b＝________，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的____________．a·b的几何意义：数量积a·b等于_________________________________________．2．数量积的运算律及常用结论(1)数量积的运算律①交换律：___________________；②数乘结合律：_____________________；③分配律：__________________________．(2)常用结论①(a±b)2＝________________________；②(a＋b)·(a－b)＝_________________；③a2＋b2＝0⇔______________________；④|||a－||b|________||a＋||b.3．数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则①e·a＝____________.②a⊥b⇔____________.③当a与b同向时，a·b＝____________；当a与b反向时，a·b＝____________.特别地，a·a＝____________或||a＝____________.④ cosθ＝____________.⑤||a·b≤____________.4．数量积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则①a·b＝________________；a2＝________________；||a＝________________.②a⊥b⇔____________________.③||x1x2＋y1y2≤________________________.自查自纠：1.||a||b cosθa·b|a||b|cosθ投影a的长度||a与b在a的方向上的投影||b cosθ的乘积2．(1)①a·b＝b·a②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(2)①a2±2a·b＋b2②a2－b2③a＝0且b＝0④ ≤3．①|a|cosθ②a·b＝0 ③|a||b|－|a||b||a|2a·a④a·b|a||b|⑤|a||b|4．①x1x2＋y1y2x21＋y21x21＋y21②x1x2＋y1y2＝0 ③x21＋y21x22＋y22(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )， b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8解：向量a ＋b ＝(4，m －2)，由(a ＋b )⊥b 得4×3＋(m －2)×(－2)＝0，解得m ＝8.故选D.(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 解：cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝32，所以∠ABC ＝30°.故选A.(2015·北京)设a ，b 是非零向量，“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．若a ·b ＝|a ||b |，则cos 〈a ，b 〉＝1，即〈a ，b 〉＝0，可得a ∥b ；若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π，此时a ·b ＝|a ||b |或a ·b ＝－|a ||b |.故“a ·b ＝|a||b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．故选A.已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 在a 方向上的投影为________．解：由题意知a ＋b 在a 方向上的投影为（a ＋b ）·a|a |＝a 2＋|a ||b |cos60°|a |＝2.故填2.(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.解：由AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b 得a ＝12AB →，b ＝ AC→－2a ＝BC →，④正确；|a |＝12|AB →|＝1，①正确；|b |＝|BC →|＝2，②错误；a 与b 的夹角为120°，③错误；(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋b2＝－4＋4＝0，⑤正确．故填①④⑤.类型一 数量积的定义及几何意义(1)若a ，b ，c 均为非零向量，则下列说法正确的是____________．(填写序号即可)①a ·b ＝±||a ·||b ⇔a ∥b ； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③a ·c ＝b ·c ⇔a ＝b ； ④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．解：a ·b ＝||a ||b cos θ，θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝±1，①正确；②显然正确；③错误，如a ＝－b ，a ⊥c ，则a ·c ＝b ·c ＝0，但a ≠b ；④错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c 的倍数，等式右边为a 的倍数．故填①②.(2)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )。

5-11．已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb【解析】 因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线同向，故D 正确．【答案】 D2．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．0【解析】 依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0，选D.【答案】 D3．在△ABC 中，AD →＝2DC →，BA →＝a ，BD →＝b ，BC →＝c ，则下列等式成立的是( ) A ．c ＝2b －a B ．c ＝2a －b C ．c ＝3a 2－b2D ．c ＝3b 2－a 2【解析】 因为在△ABC 中，BC →＝BC →＋DC →＝BD →＋12AD →＝BD →＋12(BD →－BA →)＝32BD →－12BA →，所以c＝32b －12a . 【答案】 D4．已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部【解析】 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上．【答案】 C5．(2017·北京高考)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |<0.当90°<θ<180°时，m ·n <0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件． 故选A.方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0 ⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件． 故选A. 【答案】 A6．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则mn的值为( )A ．－2B ．－12C ．2D.12【解析】 设AB →＝a ，AD →＝b ，则EF →＝m a ＋n b ，BE →＝AE →－AB →＝12b －a ，由向量EF →与BE →共线可知存在非零实数λ，使得EF →＝λBE →，即m a ＋n b ＝12λb －λa ，又a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－λ，n ＝12λ，消去λ得mn＝－2.故选A.【答案】 A7．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 【解析】 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.【答案】 128．(2018·滨州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________．【解析】 如图，取单位向量i ，j ，则a ＝i ＋2j ，b ＝2i －j ，c ＝3i ＋4j . ∴c ＝x a ＋y b ＝x (i ＋2j )＋y (2i －j ) ＝(x ＋2y )i ＋(2x －y )j ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，2x －y ＝4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115，y ＝25， ∴x ＋y ＝135.【答案】 1359．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是________．【解析】 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )．∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.【答案】 －110．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________．【解析】 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴M 为△ABC 的重心．如图所示，连接AM 并延长交BC 于点D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →.又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3. 【答案】 311．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.【解析】 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b . 12．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －k b ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值． 【解析】 (1)证明 由已知得，AB →＝OB →－OA →＝3a ＋b －2a ＋b ＝a ＋2b ， BC →＝OC →－OB →＝a －3b －3a －b ＝－2a －4b ，故BC →＝－2AB →，又BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． (2)AC →＝AB →＋BC →＝3a －2b ，CD →＝2a －k b . 因为A 、C 、D 三点共线，所以AC →＝λCD →， 即3a －2b ＝2λa －k λb ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，2＝k λ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，k ＝43. 综上，k 的值为43.。