齐民友高数下册上课第08章04节平面(1)

第4节 平面（考点）从本节起讨论空间解析几何. 空间解析几何就是用代数方法研究空间几何对象。

这里“几何对象”包括空间曲面与空间曲线. 平面是特殊的曲面；直线是特殊的曲线。

要用代数方法研究空间几何对象，首先要建立的方程(,,)0F x y z（也可能是方程组）。

与平面解析几何类似， 与它的方程(,,)0F x y z 之间应满足如下关系:(1) 若点(,,)M x y z 在上,则(,,)x y z 满足方程(,,)0F x y z ；(2) 若一组数,,x y z 满足方程(,,)0F x y z ,则点(,,)M x y z 在上．则称(,,)0F x y z 为的方程, 为方程(,,)0F x y z 的图形.（1）和（2）合起来意思是，(,,)0(,,)F x y z M x y z（即，方程(,,)0F x y z 不多不少刚好表示完的全部点）在本节及下一节,我们将以向量为工具,在空间直角坐标系中讨论平面和直线.离 散数 学平面的方程（题目（考点）：求满足给定条件的平面的方程。

） 1 平面的点法式方程假设同学们已经熟知什么是平面。

若一非零向量垂直于一平面，则称此向量是该平面的法向量,记作n . 下面我们要写出给定平面的方程。

要写的方程，首先要有一些已知条件。

设已知上随便一点0000(,,)M x y z 和的随便一个法向量{,,}0A B C n。

平面就确定了，确定了就可以写它的方程. 设(,,)M x y z 是空间任一点。

0000,,M Mxx y y z z 。

000000()()()0MM MM M A xx B y y C z z nn因此的方程是000()()()0A xx B yy C zz .(4.1)而平面便是方程(4.1)的图形．由于方程(4.1)是由平面上已知点0000(,,)M x y z 及它的法向量{,,}A B C n确定的，因此，称方程(4.1)为平面的点法式方程．写给定平面的点法式方程的方法：首先根据已知条件求出上随便一点0000(,,)M x y z 和随便一个法向量{,,}0A B C n，再把0000(,,)M x y z 和{,,}A B C n代入(4.1)就得到的方程。

图4.1第1章集 合【例4.1】 若平面过点(2,3,0),且其法向量n 的三个方向角相等,求此平面的方程.解 设法向量n 的三个方向角为,,,由条件可得coscos cos ，但注意到222cos cos cos 1，于是有3coscos cos， 取333,,333n,由点法式方程(4.1),所求平面的方程为332)(3)(0)0x y z .即 10xy z .思考题:1．对此题,能否取法向量{1,1,1}n 来建立平面方程?一般地,平面有多少个法向量,不同的法向量之间有什么关系?离 散数 学【例4.2】 若平面过三点111122223333(,,),(,,),(,,)M x y z M x y z M x y z ,求此平面的方程.解 先求平面的法向量n ,因 12212121{,,}M M x x y y z z ,13313131{,,}M M x x y y z z ,则1213,M M M M n n.于是可取2121212121211213313131313131,,y y z z z z x x x x y y M M M M y y z z z z x x x x y y n又点1111(,,)M x y z 是此平面上一定点,由平面的点法式方程(4.1)可得212121211131313131()()y y z z z z x x x x y y y y z z z z x x212113131()0x x y y zz x x y y或1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z . (4.2)(4.2)式也称为平面的三点式方程.(测)思考题:2．根据向量的混合积导出平面的三点式方程(4.2).（四点111122223333(,,),(,,),(,,),(,,)M x y z M x y z M x y z M x y z 共面的充要条件是12131,,0M M M M M M。

也可得到方程（4.2）。

）第1章集 合2 平面的一般方程000()()()0A xx B yy C zz .(4.1)0AxByCzAx By Cz平面方程(4.1)是,,x y z 的三元一次方程。

反过来，若随便给定三元一次方程0Ax By Cz D ， (4.3)它是否表示一个平面？任取满足该方程的一组数000,,x y z （若0A，令000z y 得Dx A），即 00Ax By Cz D， (4.4)两式相减就得到与(4.1)同解的方程:000()()()0A xx B yy C z z . (4.3’)由此可见,方程(4.3)是过点0000(,,)M x y z 且以{,,}A B C n为法向量的平面方程，故三元一次方程(4.3)的图形是平面．称方程(4.3)为平面的一般方程.{,,}A B C n是平面的法向量．结论：平面的方程都是三元一次方程；反过来，三元一次方程都表示一个平面。

利用一般方程写平面方程的方法：把已知条件代入(4.4)得未知数是,,,A B C D 的方程组，解此方程组得到,,,A B C D ，再代回(4.4)就得到平面的方程。

（注意：,,,A B C D 的解是不唯一的！）为简单，可利用三元一次方程和平面特点的以下关系： (1) 0D 平面通过原点． (2) 0A法向量为{0,,}B C n 垂直于x 轴平面平行于x 轴； 0B 法向量为{,0,}A C n 垂直于y 轴平面平行于y 轴； 0C法向量为{,,0}A B n垂直于z 轴平面平行于z 轴(2) 的三个特点有时可能同时具有其中两个，例如，0A B 平面平行于xOy 面．思考题:3．在方程(4.3)中,若(1)0B; (2)0C; (3)0BC; (4)0A C,则方程离散数学(4.3)分别表示怎样的平面?画出这些平面的图形.第1章集 合【例4.3】 求通过x 轴和点0(4,3,1)M 的平面方程．解 平面过x 轴，则该平面平行于x 轴，且平面过原点，故设该平面的方程为0By Cz由平面过点(4,3,1)，有30BC，3C B将此式代入所设方程有 30ByBz，消去B （解不唯一！），得平面方程 30yz ．思考题：4．试根据平面的点法式方程求例4.3的平面方程. 解 设法向量为,,n A B C，则n 同时垂直于04,3,1OM 和1,0,0i。

解430A B C A 取0,1,3AB C 。

所求平面方程是（(0,0,0)O 在平面上）30y z【例4.4】 设平面与x 轴，y 轴，z 轴分别交于三点 (,0,0)P a ，(0,,0)Q b ，(0,0,)R c ，求此平面的方程(其中：0abc)．解 设所求的平面方程为 0Ax By Cz D ，将三点的坐标分别代入得0,0,0a A D b B D c C D , 从而,,D D D AB C ab c，代入所设方程有 0D D D x y z D a b c， 两边同除以(0)D 有1y x z a b c． (4.5)方程(4.5)称之为平面的截距式方程，而,,a b c 依次称为平面在,,x y z 轴上的截距．离 散数 学思考题:5．试根据平面的三点式方程导出平面的截距式方程. 解 ,,0,,0,PQa b PR a c 。

取00,,0,0,,,,,00b a a b n PQ PR a b a cbc ac ab c c a a平面的方程()0bc xa acyabz即1y x z abc第1章集 合4.2 点到平面的距离设0000(,,)P x y z 是平面：0Ax By Cz D外一点，下面求点0P 到平面的距离d ．设1111(,,)P x y z 为点0000(,,)P x y z 在平面上的投影点.由条件，平面的单位法向量222{,,}A B C A B C ne 1010coscosn n dP P P P P e1010122{,,}{,,}x x y y z z A B C B C0101012221()()()A x x B y y C z z A BC 01112221)Ax By Cz Ax By Cz ABC注意到1111(,,)P x y z 在平面上,有111Ax By Cz D ,故000222Ax By Cz DdA. (4.6)(4.6)为点0000(,,)P x y z 到平面0Ax By Cz D 的距离公式.（与平面几何点到直线距离公式比较记住）例如点0(1,1,1)P 到0P 到平面平面:3232230x yz 的距离为3232231912425d.离散数学思考题：6．试根据例3.3所给出的Cauchy不等式导出点到平面的距离公式（4.6）式.7．如何判别两点位于同一平面的同侧或异侧?解平面:0Ax By Cz D把全空间分割成三部分：平面上Ax By Cz D；有一侧0Ax By Cz D另一侧Ax By Cz D。

4.3 两平面的位置关系 1 两平面的相互位置设空间两平面的方程分别为：11111:0A x B y C z D ，22222:0A x B y C z D ．法向量分别为1111,,n A B C ，2222,,n A B C 。

从几何上看,其位置关系可能是平行、重合、相交等情形．（1）∥∥1111212222A B C n n A B C 。

（2）12121212120n n A A B B C C 。

特别地，易证两平面12,重合的充分必要条件是11112222A B C D A B C D ． (4.8)2 两平面间的夹角两平面的法向量的夹角等于两平面的夹角(通常不取钝角). 设平面1:11110A xB yC zD ,2:22220A x B y C z D ，则1与2的法线向量分别为 11112222{,,},{,,}A B C A B C n n ，由于两平面的夹角等于12,n n 的夹角且不取钝角（图4.3）,故得1212121222222212111222cosA AB BC C A B C A B C n n n n ． (4.9)【例 4.5】 平面过两点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M 且垂直于平面0x y z ，求它的方程．解 设所求平面的法线向量为{,,}A B C n ．显然，12{1,0,2}M M 在所求平面上，故12M M n ，120M M n，即20A C．又n 垂直于平面0xy z 的法线向量{1,1,1}n，故有0A B C．故 2,AC B C .（解不唯一！） 由点法式方程有2(1)(1)(1)0C xC y C z ，消去C 得2(1)(1)(1)0xy z ，故所求方程为 20xy z .思考题:8．试给出建立例4.5中平面方程的其它解法. 解 12{1,0,2}M M 。