浙江省深化课程改革协作校2015届高三11月期中联考数学(理)试题

浙江省深化课程改革协作校2015届高三11月期中联考生物试题1．下列有关细胞的物质组成的叙述，正确的是 A.细胞内的化合物都是以碳链为骨架的 B.脂肪酸和核酸都含有氮和磷元素 C.叶绿体中色素都含有Mg 元素 D.油脂、糖元和淀粉都是贮能物质2．右图为细胞中某一结构的局部示意图，下列说法正确的是 A.①②均为脂质，可以用苏丹III 染液染色观察B.由①组成的膜称为单位膜，细胞膜由两层单位膜组成C.②是脂溶性的，分布在脂双层内部，其元素组成为C 、H 、OD.①中的两层结构完全相同， ②使该结构具有一定的流动性 3．右图为细胞核结构模式图，下列有关叙述错误．．的是 A.①中含核酸和蛋白质，①在有丝分裂中能发生周期性的变化 B.②是遗传物质储存和复制的场所，是细胞的控制中心C.蛋白质、RNA 通过③是有选择性的，需要消耗能量D.核被膜有4层磷脂分子，核外膜通常与粗面内质网相连4．右图有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四类细胞的结构模式图，据图判断正确的是A.图中只有III 无染色体，遗传物质主要为DNAB.四类细胞共有的膜结构是细胞膜和核糖体C.Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ中的②结构均能氧化葡萄糖合成ATPD.含有色素的细胞器是④和⑤，光镜下看不到Ⅱ的染色体 5．下列生理过程中，会使ATP 中高能磷酸键断裂的是A.类囊体膜上水的光解B.线粒体内膜上水的合成C.细胞膜上水的渗透D.核糖体上水的生成 6．人体胰岛β细胞合成的激素和酶均有特定的生物活性，这两类物质 A.都与细胞代谢有关，发挥作用后都失活B.都需要内质网、高尔基体加工C.都需要与特定分子结合后起作用D.数量和种类在该细胞中恒定不变7．为了探究Cl -、Cu 2+对唾液淀粉酶活性的影响，某科研小组做了如下实验,下列分析错误．．的是 A.3号试管加入的X 物质是Na 2SO 4B.本实验结果可用本尼迪特试剂鉴定C.加入缓冲液的目的是为了维持该酶的最适PHD.4支试管需在37℃恒温水浴一段时间8．如图表示某植物进行的物质和能量代谢的部分过程,其中①～③表示有关生理活动。

2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高三年级期中考试数学（答案在最后）考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1A =-，{}0,1,2B a =-且A B ⊆，则a 等于（）A.1B.1- C.3- D.3【答案】D 【解析】【分析】根据集合间的基本关系求参.【详解】因为{}0,1A =-，{}0,1,2B a =-且A B ⊆，则12a -=-,所以3a =.故选：D.2.设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，12i z =-，则12z z =（）A.34i 55- B.34i 55+C.41i5+ D.41i5-【答案】A 【解析】【分析】先根据复数关于实轴对称得出22i z =+,再应用复数的除法及乘法计算化简即可.【详解】复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，故21z z =.所以()2221111222211112i 34i 34i 21555z z z z z z z z z --======-+.故选：A.3.若命题“x ∃∈R ，220x x a ++<成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（）A.1a ≤B.1a <C.1a ≥D.1a >【答案】B 【解析】【分析】利用判别式法求解.【详解】解：因为x ∃∈R ，220x x a ++<成立，所以440a ∆=->，解得1a <，故选：B4.在ABC V 中，D 是BC 上一点，满足2BD DC =，M 是AD 的中点，若BM BA BC λμ=+ ，则λμ+=（）A.54B.78C.56D.58【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.【详解】由题可知，11122222AM AD BM BA BD BA BM BA BD =⇒-=-⇒=+，()2322BD DC BC BD BD BC ==-⇒= ,所以有11122213BM BA BD BA BC =+=+ ，所以11,23λμ==，得56λμ+=.故选：C5.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为π的半圆，则该圆锥的高为（）A.2B.2C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】首先根据侧面展开图面积等于半圆面积，求得底面半径与母线长，再利用勾股定理算得圆锥高.【详解】设圆锥的母线长为l ，圆锥的底面半径为r ，因为圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，圆锥的侧面展开图是一个面积为π的半圆，则π2π12ππ2l r l r =⎧⎪⎨⨯=⎪⎩，解得2,2r l ==，则该圆锥的高为62h ==.故选：A.6.函数()()sin 20y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，直线12y =与其交于A ，B 两点，若π3AB =，则ω=（）A.4B.3C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】首先解方程()1sin 22x ωϕ+=，结合图象，求得方程的实数根，即可求解ω的值.【详解】令()1sin 22x ωϕ+=，则5π22π6A x k ωϕ+=+，13π22π6B x k ωϕ+=+，Z k ∈，则()2π3B A x x ω-=，且π3B A AB x x =-=，所以2ω=.故选：C7.已知函数()e e xxf x -=+，若3log 0.6a =，0.013b =，5log 3c =，则有（）A.()()()f a f b f c >>B.()()()f b f c f a >>C.()()()f b f a f c >>D.()()()f c f a f b >>【答案】B 【解析】【分析】由已知可得()f x 为偶函数，则()335log 0.6log 3f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用对数函数的性质和指数函数的性质，可得3510log 32<<，1b >，112c <<，又当0x >时，由′>0，可得()f x 为单调递增函数，即可得到答案.【详解】因为函数()e e xxf x -=+且定义域为R ，则()()ee xx f x f x --=+=，所以()f x 为偶函数，因为333log 0.6log 05a ==<，则()()333335log 0.6log 0.6log log 53f f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又3351log log 32<=，335log log 103>=，0.010331b =>=，551log 3log 2c =>=，55log 3log 51c =<=，则112c <<，所以0.015353log 3log 3>>，当0x >时，因为()e e0xxf x -=->'，所以()f x 为单调递增函数，所以()()()f b f c f a >>.故选：B.8.已知函数()()221f x a x bx a =-+-+（a ，b ∈R 且2a ≠）在区间[]1,2上有零点，则22a b +的最小值为（）A.32 B.12C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】转换主参变量，利用点到直线的距离公式来求得22a b +的最小值.【详解】依题意()()2210f x a x bx a =-+-+=在区间[]1,2上有零点，整理得()221120x a xb x -++-=在[]1,2上有解，(),a b 表示坐标系aOb 中，直线()221120x a xb x -++-=（x 看成参数）上的点，所以22a b +表示原点到直线()221120x a xb x -++-=上的点的距离的平方，设4222424224413344111324x x d d x x x x x -+===-=--+-+⎛⎫-+⎪⎝⎭，由于212,14x x ≤≤≤≤，所以当1x =时，2d 取得最小值为431-=，所以22a b +的最小值为1.故选：D【点睛】关键点点睛：主参变量的转换：将原始代数问题转化为几何问题，利用几何性质进行求解，是解题的关键步骤，确保每一个几何量的合理转换，能够有效简化求解过程.距离公式的合理运用：通过距离公式来计算直线与原点的最小距离，确保了推导过程的逻辑严密性和计算的准确性.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7B.若随机变量X 服从二项分布()~20,X B p ，且()8E X =，则() 4.8D X =C.X 和Y 是分类变量，若()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++值越大，则判断“X 与Y 独立”的把握性越大D.若随机变量X 服从正态分布()2~2,X N σ，且()50.2P X >=，则()150.6P X -<<=【答案】BD 【解析】【分析】根据极差和众数的概念即可判断A ；根据二项分布的性质即可判断B ；根据独立性检验的思想即可判断C ；根据正态曲线的性质即可判断D.【详解】A ：该组数据的极差为4，众数为2，所以该组数据的极差与众数之和为6，故A 错误；B ：由(20,),()8X B p E X = ，得()208E X np p ===，解得25p =，所以23()(1)20 4.855D X np p =-=⨯⨯=，故B 正确；C ：2χ值越大，X 和Y 有关系的可能性就越大，则“X 与Y 独立”的把握越小，故C 错误；D ：由2(2,),(5)0.2X N P X σ>= ，得(1)(5)0.2P X P X <-=>=，所以(15)1(1)(5)0.6P X P X P X -<<=-<-->=，故D 正确.故选：BD10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足13a =，且()()*1310n n n a na n ++-=∈N ，则下列结论中正确的是（）A.{}n na 为等比数列B.n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列C.3nn a n =⋅ D.()1213344n n n S +-=⋅+【答案】BCD 【解析】【分析】由题设得{}na n是首项、公比为3的等比数列，即可判断A 、B 、C ；应用错位相减法、等比数列前n 项和判断D.【详解】由题设113n n a a n n +⋅=+，且131a =，故{}n a n 是首项、公比为3的等比数列，所以3n na n=，则3n n a n =⋅，故{}n na 不是等比数列，A 错，B 、C 对；由1213233nn S n =⨯+⨯++⋅ ，则23131323(1)33n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ，所以112113(13)(12)33233333132n n nn n n n S n n +++----=+++-⋅=-⋅=- ，所以1(21)334n n n S +-+=，D 对.故选：BCD11.已知曲线C 的方程为：()()2222104340x y y x y y ⎧+=≥⎪⎨⎪+=<⎩，()1,0M -，()1,0N ，过M 的直线交曲线C 于A 、B 两点（A 在B 的上方），已知AMN α∠=，ANM β∠=，下列命题正确的是（）A.()sin sin 2sin αβαβ+=+B.tan3tan 22αβ+的最小值是2C.ABN周长的最大值是4+D .若π3α=，将AMN 沿MN 翻折，使面AMN ⊥面MNB ，则折后3132AB +=【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，利用正弦定理，结合椭圆概念，即可判断；对于B ，由()sin 1sin sin 2αβαβ+=+，利用三角恒等变换可得1tantan 223αβ⋅=，再由基本不等式可得tan 3tan 22αβ+的最小值；对于C ，由ABN 周长4BM NB =++，对于BM NB +=，利用基本不等式即可得到ABN 周长的最大值；对于D，由直曲联立可得A y =，又224B B x y +=，则折后AB ==D.【详解】由已知，在AMN 中，已知AMN α∠=，ANM β∠=，由正弦定理得()sin sin sin MN AM AN αβαβ+=++，又2122MN c AM ANa ==+，即()sin 1sin sin 2αβαβ+=+，所以()sin sin 2sin αβαβ+=+，故A 正确；由()2sincos sin 22sin sin sin sin 2222αβαβαβαβαβαβαβαβ+++=+-+-+⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sincos cos 2222sin cos cos222αβαβαβαβαβαβ+++==+--coscos sin sin 1tan tan 12222222cos cos sin sin 1tan tan222222αβαβαβαβαβαβ--===++，得：1tan tan 223αβ⋅=，在AMN 中，0π,0παβ<<<<，则ππ0,02222αβ<<<<，所以tan 0,tan 022αβ>>，故tan3tan 222αβ+≥=，当且仅当tan12α=，1tan 23=β时取到最小值是2，故B 正确；ABN 周长4BM MA AN NB BM NB =+++=++，设s ，22x -<<，又()1,0M -，()1,0N ，则BM NB +==≤==，即0x =时，等号成立，故ABN周长的最大值是4+C 正确；设AB 的方程是：13x y +=与22143x y +=联立得：2590y --=，解得：5A y =-（舍去）或A y =，则点A 为椭圆上顶点，A AO y ==，又B 在圆224x y +=上，所以2224B B OB x y =+=，又沿MN 翻折后，平面AMN ⊥平面MNB ，平面AMN ⋂平面MNB MN =，AO MN ⊥，则AO ⊥平面MNB ，又BO ⊂平面MNB ，则AOBO ⊥，所以AB ===D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：B 选项中利用三角恒等变换弦化切，再利用基本不等式求最值；C 选项先利用椭圆定义和两点间距离公式，再利用基本不等式求最值.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线221425y x -=的渐近线方程为______.【答案】25y x =±【解析】【分析】根据双曲线渐近线方程的求法求得正确答案.【详解】由220425y x -=得224,25a b ==，即2,5a b ==，焦点在y 轴上，所以渐近线方程为25y x =±.故答案为：25y x =±13.已知212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-展开式的二项式系数之和为64，则展开式中3x 项的系数为______.（用数字作答）【答案】160-【解析】【分析】根据二项式系数之和可得6n =，结合展开式的通项运算求解即可.【详解】由题意可知：264n =，解得6n =，则6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()612316662C C ,0,12121,,6r r rr r rr r T x r x x ---+⎛⎫-=-⋅⋅ =⋅=⋅⎭⋅⋅⎪⎝，令1233r -=，解得3r =，所以展开式中3x 项的系数为()3336C 21601=--⋅⋅.故答案为：160-.14.一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是______.【答案】512【解析】【分析】先求出标有数字的4只球排序情况，标有数字最大的球分为第3次摸到和第4次摸到两种情形，结合古典概型即可得结果.【详解】标有数字的4只球排序共有44A 24=种情况.要摸到标有数字最大的球，有以下两种情况：①标有数字最大的球第3次摸到，其他的小球随意在哪个位置，有33A 6=种情况.②标有数字最大的球第4次摸到，标有数字第二大的球在第1次或第2次被摸出，其他的球在哪次摸出任意，有222A 4=种情况.故所求概率为6452412+=.故答案为：512.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足cos sin 0a C a C b c +--=.（1）求角A ；（2）若4a =，ABC V 的面积为2，求sin sin B C 的值.【答案】（1）π2A =（2）sin sin 16B C =【解析】【分析】（1）利用边化角及和差公式、辅助角公式即可求解；（2）由面积公式和正弦定理即可求解.【小问1详解】由条件得cos sin a C a C b c +=+，从而()cos sin cos cos cos cos a C a C b c a C c A c a C c A c +=+=++=++.所以sin cos a C c A c =+，由正弦定理得sin sin sin cos sin A C C A C =+，故sin cos 1A A =+.从而()222211sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos A A A A A A A A ==-=+-=-，得sin cos 0A A =，故cos 0A =.所以π2A =.【小问2详解】设ABC 的面积为S ，则22sin sin sin 1sin 2sin sin ·16161616B C A bc bc A S B C bc bc bc b c a a ⎛⎫⎛⎫======= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.16.已知函数2()2ln f x x ax x =-+，其中a ∈R .（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线20x y +=，求a 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）72a =；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义，结合垂直关系求出a 值.（2）分类讨论判断()f x '值的正负情况，求出函数的单调区间.【小问1详解】函数2()2ln f x x ax x =-+，求导得2()2f x x a x'=-+，由曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线20x y +=，得1(1)222f a '=-+=，所以72a =.【小问2详解】函数2()2ln f x x ax x =-+的定义域为(0,)+∞，222()x ax f x x'-+=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，方程2220x ax -+=中，216a ∆=-，若04a <≤，则0∆≤，()0f x '≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；若4a >，则0∆>，关于x 的方程2220x ax -+=有两个正根，14a x =，24a x +=，当10x x <<或2x x >时，()0f x '>；当12x x x <<时，()0f x '<，因此函数()f x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，所以当4a ≤时，函数()f x 的递增区间是(0,)+∞；当4a >时，函数()f x 的递增区间是0,,44a a ∞⎛⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，递减区间是,44a a ⎛+ ⎝⎭.17.如图，三棱锥P ABC -中，CP CA CB ==，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PBC ⊥平面ABC .（1）证明：PC ⊥平面ABC ；（2）若ACB ∠为钝角，且二面角B PA C --的大小为45︒，求cos ACB ∠.【答案】（1）证明见解析（2）1cos 3ACB ∠=-【解析】【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质可得OM ⊥平面PAC ，利用线面垂直的性质可得OM PC ⊥、ON PC ⊥，结合线面垂直的判定定理即可证明；（2）法一：如图，根据线面垂直的判定定理与性质可得BH ⊥平面PAC ，得45BQH ︒∠=，设2PC AC BC ===，ACB θ∠=，则2sin ,BH QH θ==，根据BH QH =建立方程，解之即可求解.法二：建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角建立关于θ的方程，结合三角恒等变换的化简计算即可求解.【小问1详解】如图，在平面ABC 内取点O ，过O 作OM AC ⊥于M ，过O 作ON BC ⊥于N ，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，OM ⊂平面ABC ，OM ∴⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，OM PC ∴⊥，同理可证ON PC ⊥，又ON OM O = ，ON OM ⊂、平面ABC ，PC ∴⊥平面ABC ；【小问2详解】法一：如图，过点B 作BH AC ⊥于点H ，过H 作HQ PA ⊥于点Q ，连接BQ ，PC ⊥ 平面ABC ，BH ⊂平面ABC ，PC BH ∴⊥，又AC PC C ⋂= ，、⊂AC PC 平面PAC ，BH ∴⊥平面PAC ，则BQH ∠为二面角B PA C --的平面角，即45BQH ︒∠=设2PC AC BC ===，ACB θ∠=，则sin 2sin BH BC θθ==，cos(π)2cos CH CB θθ=-=-，所以22cos AH AC CH θ=+=-，又PC AC =，所以45PAC ︒∠=，所以QH ==，由BH QH =2sin θ=，cos 1θθ+=，又22sin cos 1θθ+=，解得1cos 3θ=-或cos 1θ=（舍去），综上1cos 3θ=-.法二：如图，以C 为坐标原点建立空间直角坐标系，设2PC AC BC ===，ACB θ∠=，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()2cos ,2sin ,0B θθ，()002P ,,，易知平面PAC 的法向量为()0,1,0m =，设面PAB 的法向量为(),,n x y z =r，则()()()()()2,0,2,,2202cos 2,2sin ,0,,2cos 22sin 0PA n x y z x z AC n x y z x y θθθθ⎧⋅=-⋅=-=⎪⎨⋅=-⋅=-+=⎪⎩ ，22cos 1,,12sin n θθ-⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ ，则cos ,2m n m n m n⋅==⋅，整理得222sin 4cos 4cos 0θθθ-+=，由22sin 1cos θθ=-，得23cos 2cos 10θθ--=，解得1cos 3θ=-或cos 1θ=（舍），综上，1cos 3θ=-.18.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为：()22116x y ++=，定点()10F ,，B 是圆C 上任意一点，线段BF 的垂直平分线l 和半径BC 相交于点T .（1）求点T 的轨迹W 的方程；（2）已知点()2,0A -，过点F 的一条直线，斜率不为0，交曲线W 于P 、Q 两点，直线AP ，AQ 分别与直线3x =交于M ，N 两点，求证：直线FM 与直线FN 的斜率之积为常数.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，结合椭圆的定义可知点T 的轨迹为椭圆，然后求得,a c ，即可得到标准方程；（2）根据题意，设直线:1PQ x my =+，然后联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可得到,M N 的纵坐标，然后代入斜率公式计算，即可证明.【小问1详解】由题意：点T 在线段BF 的垂直平分线上，则TB TF =，可得42TC TF TC TB CB CF +=+==>=.由椭圆定义可得，点T 的轨迹是以()1,0C -，1,0为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为24a =，焦距为22c =，2413b =-=，所以点T 的轨迹W 的方程为22143x y +=【小问2详解】由（1）知−2,0，1,0，设直线:1PQ x my =+，1,1，2,2，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，整理得()2234690m y my ++-=，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+根据题意可设()3,M M y ，()3,N N y ，则由11322M y yx =++，可得11115523M y y y x my ==++，同理可得2253N y y my =+，所以直线FM 与直线FN 的斜率之积，()()()12122121212002525113131433439N M FM FN y y y y y y k k my my m y y m y y --=⋅=⋅=⋅--+++++22222229251125925925349644918273643616393434m m m m m m m m m ⎛⎫- ⎪-⨯⨯+⎝⎭=⋅=⋅=-=---++⨯⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.所以直线FM 与直线FN 的斜率之积为定值2516-.19.一般地，任何一个复数i a b +（a ，b ∈R ）可以写成()cos isin r θθ+，其中r 是复数的模，θ是以x 轴非负半轴为始边，射线OZ 为终边的角，称为复数的辅角.我们规定在02πθ≤<范围内的辅角称为辅角主值，通常记作arg z ，如arg10=，πarg i2=，()πarg 13=.发现()()()()12111222121212cos cos cos z z r isin r isin r r isin θθθθθθθθ⎡⎤⋅=+⋅+=+++⎣⎦，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n 为正整数，重复n 次上述操作，可得到n 个复数，将它们的乘积记为n z .（1）写出一次操作后所有可能的复数；（2）当2n =，记n z 的取值为X ，求X 的分布列；（3）求2n z 为实数的概率n Q .【答案】（1）1，i ，，1i +（2）答案见解析（3）1111323n n Q -⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题意，直接得到结果；（2）根据题意，由条件可得X 的取值为12，3，4，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列；（3）根据题意，由条件可得()2arg 0n z =或π，分别得到一次操作后得到的复数的辅角主值，然后在n 次操作中，分别设得到i 的次数为n a ，1+的次数为n b i +的次数为n c ，即可得到()0023n n n b c t k a +=+-，然后得到1n Q +与n Q 之间的关系，即可得到结果.【小问1详解】一次操作后可能的复数为：1，i ，1+i +，【小问2详解】一次操作后复数的模所有可能的取值为是：1，12，2由1212z z z z ⋅=⋅，故X 的取值为12，3，4()119P X ==，(29P X ==，()229P X ==.()139P X ==，(29P X ==，()149P X ==，所以X 的分布列为【小问3详解】若2n z 为实数，则()2arg 0n z =或π.而1，i ，1+i +的辅角主值分别是0，π2，0，π2，π3，π6，设在n 次操作中，得到i 的次数为n a ，得到1+的次数为n b i +的次数为n c ，于是()200π222a ππππrg 363n n n n n n nb c z a b c k a k +⎛⎫=⋅+⋅+⋅-=+- ⎪⎝⎭，从而{}0020,13n nn b c a k t ++-=∈，即()0023n n n b c t k a +=+-因此，所有的概率n Q 即为2n n b c +是3的倍数的概率，下面研究1n Q +与n Q 之间的关系.（ⅰ）2n n b c +是3的倍数，且第1n +次操作得到的复数是1，i （概率为23）；（ⅱ）2n n b c +被3除余1，且第1n +次操作得到的复数是1+（概率为16）；（ⅲ）2n n b c +被3除余2，且第1n +i +（概率为16）；因此由全概率公式可以得到：()1211113626n n n n Q Q Q Q +=+-=+变形得1111326n n Q Q +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中123Q =，故1111323n n Q -⎛⎫=+⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题主要考查了复数与离散型随机变量以及数列的综合应用，难度较大，结合数列的递推关系式从而得到1n Q +与n Q 之间的关系.。

2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M=（﹣∞，0）∪[3，+∞），N={0，1，2，3}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|0≤x≤3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{1，2，3}2．（5分）等比数列{a n}中，若，则a2a8=（）A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣93．（5分）下列说法错误的是（）A．若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题B．若命题“￢p∨q”为假命题，则“p∧￢q”为真命题C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题D．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题4．（5分）命题p：|x+2|＞2，命题q：＞1，则￢q是￢p成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）△ABC中，b=7，c=3，B=60°，则a=（）A．5 B．6 C．4 D．86．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）将函数f（x）=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将它的图象向左平移φ个单位（φ＞0），得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则△ABC的最小角的正弦值等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=﹣a（x≠0）有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）A．[，]∪[，]B．（，]∪[，） C．（，]∪[，） D．[，]∪[，]10．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（）A．0 B．C．1 D．二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））的值是=．12．（4分）若函数f（2x）的定义域是[﹣1，1]，则函数f（2x﹣1）+f（2x+1）的定义域是．13．（4分）设a，b∈R+，a+b﹣2a2b2=4，则的最小值是．14．（4分）已知实数x，y满足条件，则|y|﹣x的最小值为．15．（4分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=，且a n+2=，则该数列的通项公式a n=．16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（，cos2θ）在角α的终边上，点Q （sin2θ，﹣1）在角β 的终边上，且=﹣．则sin（α+β）=．17．（4分）实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3a）2+（c+d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b+d）2的最小值是．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知A={x∈R|x2﹣3x+2≤0}，B={x∈R|4x﹣a•2x+9≥0}．（Ⅰ）当a=10时，求A和B；（Ⅱ）若A⊆B．求a的取值范围．19．（14分）已知单位向量与的夹角是钝角，当t∈R时，||的最小值为．（Ⅰ）若，其中λ∈R，求||的最小值；（Ⅱ）若满足（）（）=，求||的最大值．20．（15分）已知△ABC的三内角A，B，C与所对的边a，b，c满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）如果用psinA，sinB，sinC为长度的线段能围成以psinA为斜边的直角三角形，试求实数p的取值范围．21．（15分）各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+a n（n∈N*），等比数列{b n}满足b1=，b n+1+b n=（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若i，j为正整数，且1≤i≤j≤n，求所有可能的乘积a i b j的和．22．（14分）已知函数f（x）=x2+ax+b．（Ⅰ）设b=a，若|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：存在x0∈[﹣1，1]，使|f（x0）|≥|a|．2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M=（﹣∞，0）∪[3，+∞），N={0，1，2，3}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|0≤x≤3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{1，2，3}【解答】解：∵全集为R，M=（﹣∞，0）∪[3，+∞），N={0，1，2，3}，∴∁R M=[0，3），则（∁R M）∩N={0，1，2}，故选：C．2．（5分）等比数列{a n}中，若，则a2a8=（）A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9【解答】解：由等比数列的性质得，，解得a5=，所以a2a8==3，故选：A．3．（5分）下列说法错误的是（）A．若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题B．若命题“￢p∨q”为假命题，则“p∧￢q”为真命题C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题D．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题【解答】解：A．正确，若“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题，∴“p∨q”为真命题；B．正确，若￢p∨q为假命题，则￢p，q都是假命题，∴p是真命题，￢q是真命题，∴p∧￢q为真命题；C．正确，“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为，“若a≤b，则ac2≤bc2”；∵c2≥0，∴由a≤b能得到ac2≤bc2；D．错误，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为“若方程x2+x﹣m=0有实数根，则m＞0”，方程x2+x﹣m=0有实数根只要△=1+4m≥0，即m，所以不一定得到m＞0．所以错误的是D．故选：D．4．（5分）命题p：|x+2|＞2，命题q：＞1，则￢q是￢p成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：命题p：|x+2|＞2即为x＞0或x＜﹣4；命题p：＞1即为2＜x＜3；所以￢p：﹣4≤x≤0，￢q：x≤2或x≥3；所以￢p成立￢q成立，反之￢q成立￢p不一定成立；所以¬q是¬p成立的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）△ABC中，b=7，c=3，B=60°，则a=（）A．5 B．6 C．4 D．8【解答】解：△ABC中，若c=3，b=7，∠B=60°，由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB得：a2﹣3a﹣40=0，解得：a=8或a=﹣5（舍去）．故选：D．6．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a4＜0，a5＞|a4|，得a 5＞0，a5+a4＞0，，．∴使S n＞0成立的最小正整数n为8．故选：C．7．（5分）将函数f（x）=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将它的图象向左平移φ个单位（φ＞0），得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数f（x）=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），可得函数y=sin（2x﹣）图象；再将它的图象向左平移φ个单位（φ＞0），可得函数y=sin[2（x+φ）﹣]=sin （2x+2φ﹣）的图象，再根据y=sin（2x+2φ﹣）为偶函数，可得2φ﹣=kπ+，k∈z，即φ=+，则φ的最小值为，故选：C．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则△ABC的最小角的正弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则20a（﹣）+15b+12c=（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=．∵、不共线，故有20a﹣15b=0，12c﹣20a=0．∴b=a，c=a，a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，∴a最小，∴cosA==，∴sinA==，即△ABC的最小角的正弦值等于．9．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=﹣a（x≠0）有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）A．[，]∪[，]B．（，]∪[，） C．（，]∪[，） D．[，]∪[，]【解答】解：因为f（x）=﹣a=0，故=a；分x＞0和x＜0的情况讨论，显然有a≥0．若x＞0，此时[x]≥0；若[x]=0，则=0；若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，故＜≤1，即＜a≤1．且随着[x]的增大而增大．若x＜0，此时[x]＜0；若﹣1≤x＜0，则≥1；若x＜﹣1，因为[x]≤x＜﹣1；[x]≤x＜[x]+1，故1≤＜，即1≤a＜，且随着[x]的减小而增大．又因为[x]一定是不同的x对应不同的a值．所以为使函数f（x）=﹣a有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=﹣1，﹣2，﹣3．若[x]=1，有＜a≤1；若[x]=2，有＜a≤1；若[x]=3，有＜a≤1；若[x]=4，有＜a≤1；若[x]=﹣1，有a＞1；若[x]=﹣2，有1≤a＜2；若[x]=﹣3，有1≤a＜；若[x]=﹣4，有1≤a＜综上所述，＜a≤或≤a＜，故选：B．10．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（）A．0 B．C．1 D．【解答】解：若x≠0，则有，取，则有：∵f（x）是偶函数，则由此得于是，故选：A．二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））的值是=﹣2．【解答】解：∵函数，∴f（）=2+=4．=f（4）==﹣2．故答案为：﹣2．12．（4分）若函数f（2x）的定义域是[﹣1，1]，则函数f（2x﹣1）+f（2x+1）的定义域是[﹣，] ．【解答】解：由函数f（2x）的定义域是[﹣1，1]，得﹣1≤x≤1．∴﹣2≤2x≤2，即函数f（x）的定义域是[﹣2，2]，再由，解得，∴函数f（2x﹣1）+f（2x+1）的定义域是[﹣，]．故答案为：[﹣，]．13．（4分）设a，b∈R+，a+b﹣2a2b2=4，则的最小值是4．【解答】解：∵a+b﹣2a2b2=4，∴a+b=4+2a2b2，∴===+2ab≥2=4，当且仅当ab=取等号，故的最小值是4，故答案为：414．（4分）已知实数x，y满足条件，则|y|﹣x的最小值为﹣1．【解答】解：由题意作出其平面区域，由图可知，|y|﹣x的最小值为0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．15．（4分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=，且a n+2=，则该数列的通项公式a n=．=，【解答】解：∵a n+2∴=∴﹣=1，∴数列{}是以==2为首项，以1为公差的等差数列，∴=2+n﹣1=n+1，∴==2，=3，…，=n+1，利用累乘法得∴•…=2×3×4×…×n=n!∴a n=16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（，cos2θ）在角α的终边上，点Q （sin2θ，﹣1）在角β 的终边上，且=﹣．则sin（α+β）=﹣．【解答】解：∵=﹣，∴=﹣∴cos2θ=，sin2θ=∴P（，），Q（，﹣1），∴sinα=，cosα=，sinβ=，cosβ=，∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ==﹣．故答案为：﹣．17．（4分）实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3a）2+（c+d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b+d）2的最小值是．【解答】解：实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3a）2+（c+d+2）2=0，则有b+a2﹣3a=0，且c+d+2=0，由于（a﹣c）2+（b+d）2的几何意义：两点A（a，b）、B（c，﹣d）的距离的平方，则为求抛物线y=3x﹣x2上点A和直线x﹣y+2=0上点B的距离的最小值，由于联立方程x﹣y+2=0和y=3x﹣x2上，消去y，得到x2﹣2x+2=0，方程无实数解，故直线和抛物线相离，可设直线y=x+t与抛物线相切，则联立抛物线方程，消去y，得，x2﹣2x+t=0，由判别式为0，即有4﹣4t=0，即t=1，则切线为：y=x+1，由于两直线y=x+2与直线y=x+1的距离为d==，即有抛物线y=3x﹣x2上点A和直线x﹣y+2=0上点B的距离的最小值为，则有（a﹣c）2+（b+d）2的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知A={x∈R|x2﹣3x+2≤0}，B={x∈R|4x﹣a•2x+9≥0}．（Ⅰ）当a=10时，求A和B；（Ⅱ）若A⊆B．求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）A={x∈R|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，当a=10时，B={x∈R|4x﹣10•2x+9≥0}={x|x≤0，或x≥log29}，（Ⅱ）A={x|1≤x≤2}，A⊆B，则有当1≤x≤2时，2≤2x ≤4，又4x﹣a•2x+9≥0，令2x=t，（2≤t≤4）不等式化为t2﹣at+9≥0对2≤t≤4成立，a≤t+而t+≥2=6，（当且仅当t=3时成立），所以a的取值范围a≤6．19．（14分）已知单位向量与的夹角是钝角，当t∈R时，||的最小值为．（Ⅰ）若，其中λ∈R，求||的最小值；（Ⅱ）若满足（）（）=，求||的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设单位向量与的夹角是α，则||==，∵当t∈R时，||的最小值为，∴|sinα|=，∵单位向量与的夹角是钝角，∴α=，∵，∴||==，∴λ=时，||的最小值为；（Ⅱ）设=（x，y），=（1，0），=（﹣，），∴（）•（）=，∴，∴||的最大值为+=2．20．（15分）已知△ABC的三内角A，B，C与所对的边a，b，c满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）如果用psinA，sinB，sinC为长度的线段能围成以psinA为斜边的直角三角形，试求实数p的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC中，∴根据正弦定理，得，即cosA（2sinB﹣sinC）=sinAcosC，化简得2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C），∵在△ABC中，sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，∴2sinBcosA=sinB，可得cosA=，∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）∵用psinA，sinB，sinC为长度的线段能围成以psinA为斜边的直角三角形，∴p2sin2A=sin2B+sin2C，∵A=，得sinA=，∴p2=sin2B+sin2C，可得p2=（sin2B+sin2C），∵sin2B=（1﹣cos2B），sin2C=（1﹣cos2C），C=﹣B，∴p2=[（1﹣cos2B）+（1﹣cos2C）]=（1﹣cos2B）+[1﹣cos（﹣2B）]=sin（2B﹣）+．∵B∈（0，），可得2B﹣∈（﹣，），∴sin（2B﹣），得p2=sin（2B﹣）+∈（1，2]因此，实数p的取值范围是（1，]．21．（15分）各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+a n（n∈N*），等比数列{b n}满足b1=，b n+1+b n=（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若i，j为正整数，且1≤i≤j≤n，求所有可能的乘积a i b j的和．【解答】解：（I）∵各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+a n（n∈N*），∴n=1时，，解得a1=1．当n≥2时，2a n=2（S n﹣S n﹣1）=a n2+a n﹣，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∴a n﹣a n﹣1=1．∴数列{a n}是等差数列，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．∵等比数列{b n}满足b1=，b n+1+b n=（n∈N*）．设公比为q，则+=，解得q=．∴．（II）∵i，j为正整数，且1≤i≤j≤n，所有可能的乘积a i b j的和=++…++a n b n=++…++．=1﹣+++…+（n﹣1）+=﹣，令S n=1+++…+，S n=++…+，∴=1++++…+﹣=1++++…+﹣=﹣=．∴S n=4﹣．∴所有可能的乘积a i b j的和=4﹣﹣=4﹣．22．（14分）已知函数f（x）=x2+ax+b．（Ⅰ）设b=a，若|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：存在x0∈[﹣1，1]，使|f（x0）|≥|a|．【解答】解：数f（x）=x2+ax+b，（1）∵b=a，∴f（x）=x2+ax+a，△=a2﹣4a，x=为对称轴，①当a=0时，f（x）=x2，∴|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，∴a=0符合题意，②当a=4时，f（x）=（x+2）2，∴|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，∴a=4符合题意，③当a＞0，a≠4时f（0）=a＞0，x=＜0，∴|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，∴a＞0，a≠4，符合题意，④当a＜0时，△=a2﹣4a＞0，f（0）=a＜0，x0为f（x）=0，的左边的一个零点，x0＜0，∴|f（x）|在x∈[x0，]上单调递增，即只需满足1≤a≤﹣2∴a≤﹣2，符合题意，综上a≥0或a≤﹣2，（Ⅱ）证明：函数f（x）=x2+ax+b，|f （1）|=|1+a +b |，|f （﹣1）|=|1﹣a +b |， ∵当1+b ≥0，a ≥0时，f （1）=|1+a +b |≥|a |， 当1+b ＞0，a ＜0时，|f （﹣1）|=|1﹣a +b |≥|a |， 当1+b ＜0，a ＜0时，|f （1）|=|1+a +b |≥|a |， 当1+b ＜0，a ＞0时，|f （﹣1）|=|1﹣a +b |≥|a |， ∴存在x 0∈[﹣1，1]，使|f （x 0）|≥|a |．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试数学理科试卷注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟 2．整场考试不准使用计算器一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集R U=,集合{}2|lg(1)M x y x ==-,{}|02N x x =<<,则()U NM =ð（ ）A ．{}|21x x -≤<B ．{}|01x x <≤C ．{}|11x x -≤≤D ．{}|1x x <2. 函数的图像为 ( )3. 设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ）A ．,//,a b αβαβ⊥⊥B ．,,//a b αβαβ⊥⊥C ．,,//a b αβαβ⊂⊥D ．,//,a b αβαβ⊂⊥4. 阅读如图所示的程序框图,若输入919a =,则输出的k 值是（） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 5. 已知命题:(,0),34xxp x ∃∈-∞<； 命题:(0,tan 2q x x x π∀∈> 则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧6．设不等式组4,010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D ．若圆C:222(1)(1)(0)x y r r +++=>不经过区域D上的点,则r 的取值范围是（ ）A B C2|log |1()2||x f x x x =--A． B．(32,)+∞C．(25,)+∞ D．(25,)+∞7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ） A ．1 B ．13 C ．12 D ．328. 现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ的数学期望E ξ为（ ）A ．199 C ．2 D ．739. 已知函数321,,112()111,0,362x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，函数()()sin 2206x g x a a a π=-+>，若存 在[]12,0,1x x ∈，使得()12()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．]43,21[ B ．]23,43[ C ．]34,32[ D ．]34,21[ 10.已知函数()f x =⎩⎨⎧>+-≤-)0(,1)1()0(,12x x f x x ,把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（ ） A ．2)1(-=n n a nB ．1-=n a nC ．)1(-=n n a nD ．22-=n n a二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分．11．设0a >，在二项式10(a 的展开式中，含x 的项的系数与含4x 的项的系数相等，则a 的值为 ．12.在平面直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-，且O A 与OB 在直线l 上的射影长度 相等，直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率为 ．13. 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为___14.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位， 则这样的六位数共有 ___ 个．15.平面向量a ，b ，e 满足||1=e ，1⋅=a e ，2⋅=b e ，||2-=a b ，则⋅a b 的最小值为．倾斜角为__________17.已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①()1,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭； ②(){},sin 1M x y y x ==+； ③(){}2,log M x y y x ==； ④(){},2xM x y y e==-.其中是“垂直对点集”的序号是三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18. （本题满分14分）已知函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间[0,]3π上单调递增,在区间2[,]33ππ上单调递减; 如图,四边形OACB 中,a ,b ,c 为ABC △的内角A B C ，，的对边,且满足ACB AC B cos cos cos 34sin sin sin --=+ω. (1)证明:a c b 2=+(2)若c b =,θ=∠AOB ,(0)θπ<<,22OA OB ==, 求四边形OACB 面积的最大值.19. （本题满分14分）某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25% (1)设第n 年该生产线的维护费用为n a ,求n a 的表达式;(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前n 年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?20. （本题满分14分）在如图所示的几何体中,ABC ∆是边长为2的正三角形,1,AE AE >⊥平面ABC , 平面BCD ⊥平面ABC , BD CD =,且.BD CD ⊥ (1)若2AE =,求证://AC 平面BDE(2)若二面角A DE B --为60°,求AE 的长.21. (本题满分15分)已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>,⊙222:O x y b +=, 点A,F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点, 点F 不是O 上的点，点P 是O 上的动点. (1)若(P -,PA 是O 的切线,求椭圆C 的方程; (2)是否存在这样的椭圆C,使得||||PA PF 恒为常数?如果存在,求出这个数及C 的离心率e;如果不存在,说明理由.22. (本题满分15分) 设x x f ln )(=．（1）若)1,0(∈α，求)1ln()1(ln )(x x x g --+=αα最大值; （2）已知正数α，β满足1=+βα．求证：)()()(2121x x f x f x f βαβα+≤+；（3）已知0>ix ，正数iα满足11=∑=ni i α．证明:∑∑==≤ni iiini ixx 11ln ln αα),2,1(n i =其中．浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试数学理科试卷参考答案1-10 BCCCD CBADB 11、1 12、2/5 13、14、120 15、5/4 16、4π或2π17、②④18、【答案】解:(Ⅰ)由题意知:243ππω=,解得:32ω=,ACB AC B cos cos -cos -2sin sin sin =+ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴ A C A B A sin 2)(sin )(sin =+++∴a cb A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴(Ⅱ)因为2b c a b c +==，,所以a b c ==,所以ABC △为等边三角形21sin 2OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+22sin -2cos )OA OB OA OB θθ=++⋅ 435cos 3-sin +=θθ2sin (-)3πθ=(0)θπ∈，,2--333πππθ∴∈(，),当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S的最大值为2+19、（1）722,7516(),84n n n n a n -+≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（2）第10年年初20、【答案】解: (Ⅰ)分别取BC BA BE ，， 的中点M N P ，，,连接DM MN NP DP ，，，,则MN ∥AC ,NP ∥AE ,且1=12NP AE = 因为BD CD =,2BC =,M 为BC 的中点, 所以DM BC ⊥,1DM =又因为平面BCD ⊥平面ABC , 所以DM ⊥平面ABC 又AE ⊥平面ABC , 所以DM ∥AE所以DM ∥NP ,且DM NP =,因此四边形DMNP 为平行四边形,所以MN ∥DP ,所以AC ∥DP ,又AC ⊄平面BDE ,DP ⊂平面BDE , 所以AC ∥平面BDE(或者建立空间直角坐标系,求出平面BDE 的法向量1n ,计算10AC ⋅=n 即证)(Ⅱ)解法一:过M 作MN ⊥ED 的延长线于N ,连接BN . 因为BC AM ⊥,BC DM ⊥,所以BC ⊥平面DMAE ,ED ⊂平面DMAE 则有BC ED ⊥.所以ED ⊥平面BMN ,BN ⊂平面BMN , 所以ED BN ⊥.所以MNB ∠为二面角A ED B --的平面角, 即=60MNB ︒∠在Rt BMN ∆中,=1BM ,则MN=BN . B EDCAMNPMB ED CAN在Rt MND ∆中,DN . 设1AE h =+,则DE =,所以NE =又BE =在Rt BNE ∆中,222BE BN NE =+,即()2212h ++=22++解得h =,所以1AE =+解法二:由(Ⅰ)知DM ⊥平面ABC ,AM MB ⊥, 建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -. 设AE h =,则()0,0,0M ,()1,0,0B ,()0,0,1D ()A ,()E h ,()1,0,1BD =-,()BE h =-.设平面BDE 的法向量1(,,)x y z =n则110,0.BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn 所以0,0.x z x zh -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩令1x =,所以1=n [来源:Z_xx_] 又平面ADE 的法向量2(1,0,0)=n 所以1212121cos ,2⋅<>===⋅n n n n n nEz解得1h =+,即1AE =+21、（1）221164x y += （2）1||,2||PA e PF -==1221()(1)1(1)xg x x x x x ααα--'=+-=--解：（）（10<<x ） ),0(α∈∴x 当时，0)(>'x g ，当)1,(α∈x 时，0)(<'x g .即)(x g 在),0(α上递增，在)1,(α递减.故α=x 当时，有)1ln()1(ln )()(max ααααα--+==g x g .(3分))ln(ln ln )()()(F )2(1111x x x x x x f x f x f x βαβαβαβα+-+=+-+=）（构造函数，则 .)()(F 111x x x x x x x x x βααββαββ+-=+-='）（易证)(x F 在在),0(1x 上递增，在),(1+∞x 上递减.∴1x x =当时，有)()()()()(11111max x x f x f x f x F x F βαβα+-+==0=. ∴)()(12x F x F ≤,即0)()()(2121≤+-+x x f x f x f βαβα， 即证)()()(2121x x f x f x f βαβα+≤+ （8分） 下：）用数学归纳法证明如（3 ① 当2,1=n 时，命题显然成立； ② 假设当),2(N k k k n ∈≥=时，命题成立，即当1121=++++-k k αααα 时， )ln(ln ln ln ln 112211112211k k k k k k k k x x x x x x x x αααααααα++++≤++++---- .则当1+=k n ，即当11121=++++++-k k k ααααα 时，111111111211=-+-++-+-++-++k k k k k k αααααααα ，又假设知≤-+-++-+-+-+-++k k k k k k k k x x x x ln 1ln 1ln 1ln 11111212111αααααααα )1111ln(1111212111k k k k k k k k x x x x +-+-++-+-++-+-αααααααα ，即 )1ln()1(ln ln ln ln 11122111112211+--+---++++-≤++++k kk k k k k k k k x x x x x x x x αααααααααα 11112211ln ln ln ln ln ++--+++++k k k k k k x x x x x ααααα1111122111ln )1ln()1(+++--++-++++-≤k k k kk k k k x x x x x ααααααα]1)1ln[(1111122111+++--++-++++-≤k k k kk k k k x x x x x ααααααα=)ln(11112211++--+++++=k k k k k k x x x x x ααααα .这说明当1+=k n 时，命题也成立.综上①②知，当0>i x ，正数i α满足11=∑=ni i α时∑∑==≤ni iiin i ixx 11ln ln αα),2,1(n i =其中 （14分）（以上答案仅供参考，其他解法请作情给分.）。