新版高中数学人教A版必修3习题：第二章统计 2.2.1 含解析

s
2
乙
＝
1 6
[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2
＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同．
又s2甲>s乙2 ，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平 均数、标准差的近似.实际应用中，当所得数据的平均数不相等 时，需先分析平均水平，再计算标准差方差分析稳定情况.
[难点] 对样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差意 义的理解．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点一 众数、中位数、平均数 [填一填]
[答一答] 1．一组数据的平均数、中位数、众数唯一吗？
提示：一组数据的平均数、中位数都是唯一的，众数不唯 一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有．如果有两个数 据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这 两个数据都是这组数据的众数．
s＝
30 3.
方法2适用于每个数据都比较接近同一个数的问题，当数据 又大又多时，更能体现方法2的优越性.
[变式训练4] 一组数据：3,4,6,7,10，其标准差是 6 .
解析：∵ x ＝15×(3＋4＋6＋7＋10)＝6，
∴s2＝
1 5
×[
(3－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(10－6)2]
[变式训练2] 一组数据的频率分布直方图如图所示，请你 在直方图中标出这组数据的众数、中位数和平均数对应的位置 (用虚线标明)，并根据直方图读出其相应的估计值．
解：众数、中位数、平均数对应的位置如图中虚线所示(众 数：右端虚线，中位数：左端虚线，平均数：左端虚线)．由直 方图观察可得众数为2.25，中位数为2.02，平均数为2.02.

高中数学 2.3.4第二章统计复习小结测试文新人教A版必修3一、选择题1.下列说法错误的是（）A．在统计里，把所需考察的对象的全体叫做总体B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大2.为了了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个样本容量为10的样本，那么从总体中应随机剔除个体的数目是（）A．2 B．3 C．4 D．53.从某年级2000名学生中抽取200名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（）A.应采用分层抽样抽取样本B.每个被抽查的学生是个体C.抽取的200名学生的体重是一个样本D.抽取的200名学生的体重是样本容量4.某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36的样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是（）A．7，11，9 B．6，12，18 C．6，13，17 D．7，12，175.下列抽样问题中最适合用系统抽样发抽样的是（）A．从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动B．一个城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家.为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本C．从参加模拟考试的1200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况D．从参加模拟考试的1200名高中生中随机抽取10人了解某些情况6.已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图（如图所示），则（）3 6 8 2 54 3 8 9 3 1 6 1 6 7 9 2 4 4 9 15 0A.甲篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为26B.甲篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为27C.乙篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为31D.乙篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为367. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ,y ,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x -y |的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4A.0.001B.0.1C.0.2D.0.38. 给出两组数据x 、y 的对应值如下表，若已知x 、y 是线性相关的，且线性回归方程：x b a yˆˆˆ+=，经计算知：4.1ˆ-=b ，则=a ˆ（ ）A.17.4B.-1.74C.0.6D.-0.69. 某中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现在用抽样方法抽取10人形成样本，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，如果抽得号码有下列四种情况：①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ③30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；④11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；其中可能是由分层抽样得到，而不可能是由系统抽样得到的一组号码为（ ） A. ①② B.②③ C.①③ D.①④ 二、填空题11.一组数据：23,27,20,18,x ,12，它们的平均数为21，那么x 是 .12.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 13.某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.由表中数据得线性方程x b a yˆˆˆ+=中2ˆ-=b ，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为 .14.某单位有技工18人，技术员12人，工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为n 的样本；如果采用系统抽样和分层抽样方法，都不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除一个个体，则样本容量n 为 . 15.某班12位学生父母年龄的茎叶图如图所示，则12位同学母亲的年龄的中位数是 ，三、解答题16.一批产品中，有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别用系统抽样和分层抽样的方法，从这批产品中抽取一个容量为20的样本.17.要从甲、乙两名运动员中选拔一人参加射击比赛，为此对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下： 甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（1）计算甲、乙两人射击命中环数的平均数和标准差； （2）比较两人的成绩，然后决定选择哪一人参加比赛.18.为了研究三月下旬的平均气温（x ）与四月棉花害虫化蛹高峰（y ）的关系，某地区观察了2003年至2008年的情况，得到下面数据：已知与之间具有线性相关关系，据气象预测该地区在2010年三月下旬平均气温为27℃，试估计2010年四月化蛹高峰日为哪天？19.为参加连队组织的射击比赛，班长在本班安排射击选拔赛，每人每轮10发，共安排10（1）根据表中数据画出茎叶图（以个数为叶，并且排序）；（2）请你替班长选出1名战士参加连队的射击比赛，并说明理由.20.一般来说，一个人的身高越高，他的手就越大.为调查这一问题，对10名高三男生的身高与右手一拃长测量得如下数据（单位：cm）：（2）如果近似成线性关系，求回归方程.（3）如果一个学生身高185cm，估计他的右手一拃长.21.某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度（cm）数据的分组及相应频数如下：[107,109〕3株；[109,111〕9株；[111,113〕13株；[113,115〕16株；[115,117〕26株；[117,119〕20株；[119,121〕7株；[121,123〕4株；[123,125〕2株.（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）据上述图表，估计数据[109,121〕范围内的可能性是百分之几？必修3 第二章《统计》单元测试题[供教师备课参考]参考答案： BACBC DDDAC11.26 12.62.8 3.6 13.40 14.6 15.42 3 16.解:（1）系统抽样的方法：先将200个产品随机编号，001,0020,…,200,再将200个产品按001～010,011～020,…,191～200，分成20组，每组10个产品，在第一组内用简单随机抽样确定起始的个体编号，按事先确定的规则，从每组中分别抽取样本，这样就得到一个容量为20的样本.（2）分层抽样的方法：先将总体按其级别分为三层，一级品有100个，产品按00，01，…,99编号，二级品有60个，产品按00，01，…,59编号，三级品有40个，产品按00，01，…,39编号.因总体个数：样本容量为10：1，故用简单随机抽样的方法，在一级品中抽10个，二级品中抽6个，三级品中抽4个.这样就得到一个容量为20的样本.17.解:（1）.10.1,73.1,7ˆ,7ˆ≈≈==乙甲乙甲s s x x（2）由（1）知，甲、乙两人的平均成绩相等，但甲乙s s <，这表明乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以选择乙参赛.18.解: 由题意知：,6.71ˆˆ,2.266ˆ,6.1222,92.5130,5,7,13.2926126161612≈-=-≈--=∴===≈∑∑∑∑====x b y ax xy x yx by x x y x i iii i i i i i i∴回归方程为6.712.2ˆ+-=x y. 当27=x 时，2.126.71272.2ˆ=+⨯-=y，据此，可估计该地区2010年4月12日或13日为化蛹高峰期日.19.解: （1）（2）应当安排战士乙参加比赛，因为这两个战士的平均成绩都是95环，叶的分布是“单峰”的，从叶在茎上的分布情况看，乙战士的得分更集于峰值附近，这说明乙战士的发挥更稳定，所以若只要派去的选手发挥水平，应选战士乙.20.解:（1）散点图如图：由上图可见，身高与右手一扎长之间的总体趋势成一条直线，即它们线性相关.（2）.264.31303.0ˆ-=x y（3）当x=185时，.791.24264.31185303.0ˆ=-⨯=y即学生身高185cm 时，他的右手一拃长约为24.791cm. 21.解:（1）画出频率分布表如下：18 19 20 21 22 23 24 25 26167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182一拃长 身高0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0树苗高度/cm（2）频率分布直方图如下：(3)由上述图表可知数据落在[109,121〕范围内的频率为：0.94-0.03=0.91，即数据落在[109,121〕范围内的可能性是91%.频率/组距。

高一数学必修第二册第九章《统计》单元练习题卷8（共22题）一、选择题（共10题）1. 某位教师 2018 年的家庭总收入为 80000 元，各种用途占比统计如下面的折线图．2019 年家庭总收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知 2019 年的就医费用比 2018 年的就医费用增加了 4750 元，则该教师 2019 年的旅行费用为 ( )A ． 21250 元B ． 28000 元C ． 29750 元D ． 85000 元2. 总体由编号为 01，02，⋯，19，20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 11 列和第 12 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为 ( )4698637162332616804560111410959774246762428114572042533237322707A ． 11B ． 14C ． 16D ． 203. 设 x 1，x 2，⋯，x n 为样本数据，令 f (x )=∑(x i −x )2n i=1，则 f (x ) 的最小值点为 ( )A ．样本众数B ．样本中位数C ．样本标准差D ．样本平均数4. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为 ( ) A ． 134 石B ． 169 石C ． 338 石D ． 1365 石5. 如图所示的茎叶图记录了甲、 乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为 ( )A ．3，5B ．5，5C ．3，7D ．5，76. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是 ( )A ．该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6%B ．该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10%C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间7. 为比较甲、乙两地某月 14 时的气温情况，随机选取该月中的 5 天，这 5 天中 14 时的气温数据（单位：∘C ）如下：甲:2628293131乙:2829303132以下结论：①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温； ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温； ③甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差； ④甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差． 其中根据数据能得到的统计结论的编号为 ( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8. 某项测试成绩满分为 10 分，现随机抽取 30 名学生参加测试，得分情况如图所示，假设得分值的中位数为 m e ，平均数为 x ，众数为 m 0，则 ( )A ． m e =m 0=xB ． m e =m 0<xC ． m e <m 0<xD ． m 0<m e <x9. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数，众数，极差分别是 ( )125202333124489455577889500114796178A ． 46，45，56B ． 46，45，53C ． 47，45，56D ． 45，47，5310. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“联系 5 天的日平均温度均不低于 22∘C ”．现有甲、乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）． ① 甲地：5 个数据的中位数为 24，众数为 22； ② 乙地：5 个数据的中位数为 27，平均数为 24；③ 丙地：5 个数据中有一个数据是 32，平均数为 26，方差为 10.8． 则肯定进入夏季的地区有 ( ) A ． 0 个 B ． 1 个 C ． 2 个 D ． 3 个二、填空题（共6题）11. 从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取 8 件产品，对其使用寿命（单位：年）跟踪调查结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10； 乙：4，6，6，6，8，9，12，13； 丙：3，3，4，7，9，10，11，12．三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是 8 年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲 ，乙 ，丙 ．12. 某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中A 种型号产品有 16 件，那么此样本的容量 n = ．13. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验．根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程 y ^=0.67x+54.9．零件数x/个1020304050加工时间y/min62■758189现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为．14.下图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：∘C）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5)．已知样本中平均气温低于22.5∘C的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5∘C的城市个数为．15.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=（结果保留3位小数）．若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]内的三组学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为．16.样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是，第75百分位数是．三、解答题（共6题）17.要做频率分布表，需要对原始数据做哪些工作？18.某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下：男：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，55，66，38，44，56，75，35，58，94，58女：77，55，69，58，76，70，77，89，51，52，63，63，69，83，83，65，100，74分别求男生、女生得分的四分位数．19.某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如表所示：组别平均数标准差第一组904第二组806求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差．20.一个频数分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)内的频率为0.6，试计算样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数之和．21.某武警大队共有第一、第二、第三三支中队，人数分别为30，30，40人．为了检测该大队的射击水平，从整个大队用分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核，统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8环，8.5环，8.1环，试估计该武警大队队员的平均射击水平．22.为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程．非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度．“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：第一档第二档第三档每户每月用电量(单位:度)[0,200](200,400](400,+∞)电价(单位:元/度)0.610.660.91例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费410×0.65=266.5元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费元200×0.61+(400−200)×0.66+(410−400)×0.91=263.1元．为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量（单位：度）为：88，268，370，140，440，420，520，320，230，380．(1) 完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；(2) 根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；(3) 设某用户11月用电量为x度（x∈N），按照合表电价收费标准应交y1元，按照阶梯电价收费标准应交y2元，请用x表示y1和y2，并求当y2≤y1时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】由题意可知，2018年的就医花费为80000×10%=8000（元），×35=则2019年的就医花费为8000+4750=12750（元），2019年的旅行费用为1275015 29750（元）．【知识点】频率分布直方图2. 【答案】D【解析】由随机数法的抽样过程及题意知，选出的5个个体的编号为：16，11，14，10，20，故第5个个体的编号是20．【知识点】简单随机抽样3. 【答案】D【知识点】样本数据的数字特征4. 【答案】B≈169石，故选：B．【解析】由题意，这批米内夹谷约为1534×28254【知识点】简单随机抽样5. 【答案】A【解析】由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即y=5，则乙组数据的平均数为：66，故x=3．【知识点】茎叶图、样本数据的数字特征6. 【答案】C【解析】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率．样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值．该地农户家庭年收入低于4.5万元农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%，故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+0.02×3=0.10=10%，故B 正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.10+0.14+0.20×2=0.64=64%>50%，故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68（万元），超过6.5万元，故C错误．综上，给出结论中不正确的是C ． 故选：C ．【知识点】样本数据的数字特征7. 【答案】B【解析】因为 x 甲=26+28+29+31+315=29，x 乙=28+29+30+31+325=30，所以 x 甲<x 乙．又 s 甲2=9+1+0+4+45=185，s 乙2=4+1+0+1+45=2，所以 s 甲>s 乙，故由样本估计总体可知结论①④正确． 【知识点】样本数据的数字特征8. 【答案】D【解析】由图知 m 0=5．由中位数的定义知应该是第 15 个数与第 16 个数的平均值，由图知将数据从小到大排，第 15 个数是 5，第 16 个数是 6， 所以 m e =5+62=5.5，x =3×2+4×3+5×10+6×6+7×3+8×2+9×2+10×230≈5.97>5.5,所以 m 0<m e <x ．【知识点】样本数据的数字特征、频率分布直方图9. 【答案】A【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即 45+472=46，众数是 45，极差为 68−12=56．所以选A ．【知识点】茎叶图、样本数据的数字特征10. 【答案】C【解析】甲地肯定进入，因为众数为 22，所以 22 至少出现两次，若有一天低于 22∘C ，则中位数不可能为 24；丙地肯定进入，令 x 为其中某天的日平均温度，则 10.8×5−(32−26)2=18>(x −26)2，若 x ≤21，上式显然不成立；乙地不一定进入，如 13，23，27，28，29．【知识点】样本数据的数字特征二、填空题（共6题）11. 【答案】众数；平均数；中位数【解析】甲、乙、丙三个厂家从不同角度描述了一组数据的特征．甲：该组数据8出现的次数最多；乙：该组数据的平均数x=4+6×3+8+9+12+138=8；丙：该组数据的中位数是7+92=8．【知识点】样本数据的数字特征12. 【答案】80【知识点】分层抽样13. 【答案】68【解析】由表知x=30，设模糊不清的数据为m，则y=15×(62+y+75+81+89)=307+m5，因为y=0.67x+54.9，即307+m5=0.67×30+54.9，解得m=68．【知识点】样本数据的数字特征14. 【答案】9【解析】设样本容量为n，则(0.1+0.12)n=11，解得n=50，故气温不低于25.5∘C的城市个数为50×0.18=9．【知识点】频率分布直方图15. 【答案】0.030；3【解析】因为0.005×10+0.035×10+a×10+0.020×10+0.010×10=1，所以a=0.030．设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]内的三组学生分别有x，y，z人．则x100=0.030×10，解得x=30．同理，y=20，z=10．故从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为1030+20+10×18=3．【知识点】分层抽样、频率分布直方图16. 【答案】5；7【解析】样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，从小到大排列为：0，1，2，3，4，6，6，7，8，9，因为10×50%=5，所以该组数据的第50百分位数是4+62=5．因为10×75%=7.5，第75百分位数是7．【知识点】样本数据的数字特征三、解答题（共6题）17. 【答案】分组，频数累计，计算频数和频率．【知识点】频率分布直方图18. 【答案】对男生得分由小到大排序为35，38，44，46，46，54，55，56，57，58，58，58，63，66，70，73，75，85，90，94，共20个数据，所以20×25%=5，20×50%=10，20×75%=15，则25%分位数为46+542=50，50%分位数为58+582=58，75%分位数为70+732=71.5．对女生得分由小到大排序为51，52，55，58，63，63，65，69，69，70，74，76，77，77，83，83，89，100，共18个数据．所以18×25%=4.5，18×50%=9，18×75%=13.5，则25%分位数为63，50%分位数为69+702=69.5，75%分位数为77．【知识点】样本数据的数字特征19. 【答案】根据题意，全班平均成绩为x=90×2040+80×2040=85，第一组的平均数为x1=90，方差为s12=16．第二组的平均数为x2=80，方差为s22=36．则该班学生的方差为s2=2040[s12+(x1−x)2]+2040[s22+(x2−x)2]=12[16+(90−85)2]+12[36+(80−85)2]=51.所以s=√51．综上可得，该班学生这次考试成绩的平均数和标准差分别为85和√51．11 【知识点】样本数据的数字特征20. 【答案】根据题意，设分布在 [40,50)，[50,60) 内的数据个数分别为 x ，y ．因为样本中数据在 [20,60) 内的频率为 0.6，样本容量为 50，所以4+5+x+y 50=0.6，解得 x +y =21．即样本在 [40,50)，[50,60) 内的数据个数之和为 21．【知识点】频率与频数21. 【答案】该武警大队共有 30+30+40=100（人），按比例分配所以第一中队参加考核人数为30100×30=9（人），第二中队参加考核人数为 30100×30=9（人）， 第三中队参加考核人数为 40100×30=12（人）．所参加考核的 30 人的平均射击环数为 930×8.8+930×8.5+1230×8.1=8.43（环）．所以估计该武警大队的平均射击水平为 8.43 环．【知识点】分层抽样22. 【答案】(1) 频率分布表如下：频率分布直方图如下：(2) 该 100 户用户 11 月的平均用电量 x =50×0.04+150×0.12+250×0.24+350×0.3+450×0.26+550×0.04=324 度，所以估计全市住户 11 月的平均用电量为 324 度．(3) y 1=0.65x ，y 2={0.61x,0≤x ≤2000.66(x −200)+122=0.66x −10,200<x ≤4000.91(x −400)+254=0.91x −110,x >400． 由 y 2≤y 1 得 {0.61x ≤0.65x,0≤x ≤200或 {200<x ≤400,0.66x −10≤0.65x 或 {0.91x −110≤0.65x,x >400, 解得 x ≤1100.26≈423.1，因 x ∈N ，故 x 的最大值为 423，根据频率分布直方图，x ≤423 时的频率为 0.04+0.12+0.24+0.3+23×0.26=0.7598>0.75，故估计“阶梯电价”能给不低于 75% 的用户带来实惠．【知识点】频率分布直方图、样本数据的数字特征、函数模型的综合应用。

习题课（三） 成对数据的统计分析一、选择题1．在建立两个变量y 与x 的回归模型时,分别选择了4个不同的模型,它们的R 2如下,其中拟合得最好的模型为( )A ．模型1的R 2为0.75 B ．模型2的R 2为0.90 C ．模型3的R 2为0.25D ．模型4的R 2为0.55解析：选B R 2的值越大,意味着残差平方和越小,也就是说拟合效果越好．2．对两个变量y 和x 进行回归分析,得到一组样本数据：(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),则下列说法中不正确的是( )A ．由样本数据得到的经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x －,y －) B ．残差平方和越小的模型,拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果,R 2的值越小,说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.936 2,则变量y 与x 之间具有线性相关关系 解析：选C R 2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好． 3．对两个变量y 与x 进行回归分析,分别选择不同的模型,它们的相关系数r 如下,其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型Ⅰ：相关系数r 为0.96B ．模型Ⅱ：相关系数r 为－0.81C ．模型Ⅲ：相关系数r 为－0.53D ．模型Ⅳ：相关系数r 为0.35 解析：选A |r |越大,拟合效果越好．4．关于残差和残差图,下列说法正确的是( ) A ．残差就是随机误差 B ．残差图的横坐标是残差C ．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高D ．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越低解析：选C 根据残差分析的概念可知,C 选项正确．残差是真实值减去估计值． 5．(2020·全国卷Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(x i ,y i )(i ＝1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图,在10°C 至40°C 之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋bx 2C ．y ＝a ＋b e xD ．y ＝a ＋b ln x解析：选D 用光滑的曲线把图中各点连接起来,由图象的大致走向判断,此函数应该是对数函数类型的,故应该选用的函数模型为y ＝a ＋b ln x .6．根据如下所示的列联表得到如下四个判断：①根据小概率值α＝0.001的独立性检验,认为患肝病与嗜酒有关；②根据小概率值α＝0.01的独立性检验,认为患肝病与嗜酒有关；③没有证据显示患肝病与嗜酒有关.患病状况 饮酒习惯合计 嗜酒(Y ＝0) 不嗜酒(Y ＝1)患肝病(X ＝0) 7 775 42 7 817 未患肝病(X ＝1)2 099 49 2 148 合计9 874919 965其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．0 解析：选B 根据列联表中的数据,经计算得到 χ2＝9 965×7 775×49－42×2 09927 817×2 148×9 874×91≈56.632,由56.632>10.828>6.635.且P (χ2≥10.828)≈0.001,P (χ2≥6.635)≈0.01. 所以①②均正确． 二、填空题7．调查某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)显示,年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系,并由调查数据得到y 对x 的经验回归方程y ^＝0.254x ＋0.321.由经验回归方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加________万元．解析：由经验回归方程y ^＝0.254x ＋0.321,知x 每增加1,y 增加0.254.答案：0.2548．某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回归方程为y ^＝0.67x ＋54.9.零件数x (个) 10 203040 50 加工时间y (min) 62758189现发现表中有一个数据模糊看不清,请你推断出该数据的值为________． 解析：由表知x ＝30,设模糊不清的数据为m , 则y ＝15(62＋m ＋75＋81＋89)＝307＋m5,因为y ＝0.67x ＋54.9, 即307＋m5＝0.67×30＋54.9,解得m ＝68. 答案：689．假设关于某设备的使用年限x (单位：年)和所支出的维修费用y (单位：万元)有如下的统计资料：x /年 2 3 4 5 6 y /万元2.23.85.56.57.0若由资料可知y 对x 呈线性相关关系,且经验回归方程为y ＝a ＋b x ,其中已知b ^＝1.23,请估计使用年限为20年时,维修费用约为________万元．解析：由表中数据可知, x －＝2＋3＋4＋5＋65＝4,y －＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5.∵经验回归直线一定经过点(x －,y －), ∴5＝a ^＋1.23×4,∴a ^＝0.08, ∴经验回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08.故估计使用年限为20年时,维修费用约为y ＝1.23×20＋0.08＝24.68(万元)． 答案：24.68 三、解答题10．2020年某市开展了“寻找身边的好老师”活动,市六中积极行动,认真落实,通过微信关注评选“身边的好老师”,并对选出的五位“好老师”的班主任的工作年限和被关注数量进行了统计,得到如下数据：班主任工作年限x (单位：年)4681012被关注数量y (单位：百人)10 20 40 60 50(1)若“好老师”的被关注数量y 与其班主任的工作年限x 满足经验回归方程,试求经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^,并就此分析：“好老师”的班主任工作年限为15年时被关注的数量；(2)若用y i x i(i ＝1,2,3,4,5)表示统计数据时被关注数量的“即时均值”(四舍五入到整数),从“即时均值”中任选2组,求这2组数据之和小于8的概率．解：(1)因为x －＝8,y －＝36,所以b ^＝40＋120＋320＋600＋600－5×8×3616＋36＋64＋100＋144－5×82＝6, a ^＝36－6×8＝－12,所以y ^＝6x －12.当x ＝15时,y ^＝6×15－12＝78(百人)．(2)这5次统计数据,被关注数量的“即时均值”分别为3,3,5,6,4.从5组“即时均值”任选2组,共有C 25＝10种情况,其中2组数据之和小于8为(3,3),(3,4),(3,4)共3种情况,所以这2组数据之和小于8的概率为310.11．“双十一”已经成为网民们的网购狂欢节,某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查,用随机抽样的方法抽取了100人,其消费金额t (百元)的频率分布直方图如图所示：(1)求网民消费金额t 的平均值t －和中位数t 0.(2)把下表中空格里的数填上,并判断能否根据小概率值α＝0.001的独立性检验,认为网购消费与性别有关？消费金额性别合计男(Y ＝0) 女(Y ＝1)t ≥t 0(X ＝0)t <t 0(X ＝1)30 合计45解：(1)以每组的中间值代表本组的消费金额,则网民消费金额t 的平均值 t －＝2.5×0.2＋7.5×0.3＋12.5×0.2＋17.5×0.15＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝11.5.直方图中第一组,第二组的频率之和为0.04×5＋0.06×5＝0.5. 所以t 的中位数t 0＝10. (2)补充列联表如下：消费金额性别合计 男(Y ＝0) 女(Y ＝1) t ≥t 0(X ＝0) 25 25 50 t <t 0(X ＝1)20 30 50 合计4555100零假设为H 0：网购消费与性别独立,即网购消费与性别无关．根据列联表中的数据,经计算得到 χ2＝100×25×30－25×20250×50×45×55＝10099≈1.01<10.828＝x 0.001. 根据小概率值α＝0.001的独立性检验,没有充分证据推断H 0不成立,因此可以认为H 0成立,即认为网购消费与性别无关．12．某城市理论预测2015年到2019年人口总数与年份的关系如表所示：年份2015＋x (年) 0 1 2 3 4 人口数y (十万)5781119(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据,求出y 关于x 的经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)据此估计2022年该城市人口总数． 解：(1)作出散点图如图所示．(2)因为x －＝0＋1＋2＋3＋45＝2,y －＝5＋7＋8＋11＋195＝10,∑i ＝04x i y i ＝0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132,∑i ＝04x 2i ＝02＋12＋22＋32＋42＝30, 所以b ^＝132－5×2×1030－5×4＝3.2,a ^＝y －－b ^x －＝3.6,所以经验回归方程为y ^＝3.2x ＋3.6. (3)令x ＝7,则y ^＝3.2×7＋3.6＝26. 即估计2022年该城市人口总数为260万．。