(线性代数)矩阵秩的8大性质、重要定理以及关系

公共基础课部
0 3 1 2 2 0 4 4 0 1 5 3
2014秋季
线性代数
1 1 1 0 0 1 r2 2 r1 r3 3r1 r4 r1 0 0 2 0 0 2
0 3 1 2 2 0 4 4 0 1 5 3
矩阵 B 具有如下特点: (1) 可划出一条阶梯线, 线的下方全为零; (2) 每个台阶只有一行, 台阶数即为非零行的行数, 阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元, 即非零
行的第一个非零元.
称这样的矩阵为阶梯形矩阵.
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对矩阵 B 继续进行初等行变换:
1 1 1 0 3 1 0 0 1 2 2 0 B 0 0 0 3 9 3 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 3 1 0 0 1 2 2 0 r3 r4 B. 0 0 0 3 9 3 0 0 0 0 0 0
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1 1 1 0 3 1 0 0 1 2 2 0 B 0 0 0 3 9 3 0 0 0 0 0 0
r(A) r(PA)
所以 r(PA) = r(A) ;
同理可证明其他情形.
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例6 设A为 mn 矩阵，且 m<n，证明：|ATA |=0.
证 由于
r(ATA) r(A) min{m, n}= m<n, 而 AT A是 n 阶矩阵, 故 AT A 是不可逆矩阵, 于是 | AT A |=0.
• 矩阵的秩 =矩阵的行秩 =矩阵的列秩 =矩阵的非零子式的最高阶数 • 初等变换不改变矩阵的秩
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线性代数

求 R( A).
1 0 2 −4 1 0 2 −4 −4 → 0 1 −1 2 r 2r ， 解 A 2 − 0 1 −1 2 r1 → r3 + 1 0 −1 1 − 2 0 0 0 0
R(A) = 2
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1 −1 1 2 例5 设A = 3 λ −1 2, 且R（A） 2 = ，求λ, µ 5 3 µ 6
∴ R( A) = 3
A为满秩方阵。
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若求A 若求 的标准型矩阵
1 − 2 1 − 4 0 −1 −1 3 → 0 0 1 9 0 0 0 0
2 1 1 0 →0 2 0 0
0 −1 2 1 0 0
4 0 12 3 1 9 2 0 0 0
矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素 所构成的二阶子式为
2 −1 D2 = 0 −1
3 5 为 A 的一个三阶子式。
而
1 2 D3 = 4 6
1 0 −1
k k m× n 矩阵 A 共有 cmcn 个 k 阶子式。 显然，
4
设
A = (aij )m×n 当 A＝0 时，它的任何子式都为零。
⑤ R（AB）≤ min{R（A），R（B）} ⑥ 若 Am×nBn×s=0，则 R（A）+R（B）≤n
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例8
设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n 证： ∴ 而 ∴ ∵ （A+E）+（E-A）=2E r（A+E）+ r（ E-A ）≥ r（2E）=n r（ E-A ）= r（ A-E ） r（A+E）+r（A-E）≥n
7
矩阵秩的求法 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法 定义 。 、子式判别法(定义 定义)。

矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。

基于矩阵的秩在高等代数学中的重要性，本文系统总结了矩阵的秩的基本性质,以及对矩阵的秩在满秩分解,公式和一类恒等式等方面的应用。

关键词：矩阵；秩；分块矩阵；初等变换
ABSTRACT
The matrix rank is refers to the matrix the line (or row) the vector groups order, usually is refers to the matrix with it equal view is not zero minor highest exponent number, is one of matrix most important digit characteristics .Based on the matrix rank in higher algebras importance, this article summed up matrix rank some nature, as well as decomposes to the matrix rank in the non-singular, aspect and so on a formula and kind of identical equation applications.
Key word: matrix; rank; partitioned matrix; elemetary operation。

矩阵的秩的运算法则矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以帮助我们判断矩阵的性质和解决一些实际问题。

在矩阵的秩的运算中，有一些基本的法则和规则，下面我将为大家介绍一下。

首先，我们需要明确什么是矩阵的秩。

矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。

换句话说，矩阵的秩就是矩阵中非零行或非零列的最大个数。

我们用r(A)表示矩阵A的秩。

接下来，我们来看一下矩阵的秩的运算法则。

首先是矩阵的加法。

如果两个矩阵A和B的秩相等，即r(A) = r(B)，那么它们的和矩阵A + B的秩也相等，即r(A + B) = r(A) = r(B)。

这个法则告诉我们，矩阵的秩在加法运算中是保持不变的。

其次是矩阵的乘法。

如果两个矩阵A和B相乘，那么它们的秩满足以下关系：r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}。

也就是说，两个矩阵相乘后的秩不会超过原矩阵的秩的较小值。

这个法则告诉我们，矩阵的秩在乘法运算中是有限制的。

再次是矩阵的转置。

如果矩阵A的秩为r(A)，那么它的转置矩阵A^T的秩也为r(A^T) = r(A)。

这个法则告诉我们，矩阵的秩在转置运算中是保持不变的。

最后是矩阵的行变换。

对于一个矩阵A，我们可以进行一系列的行变换，如交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍等。

这些行变换不会改变矩阵的秩。

也就是说，经过行变换后的矩阵与原矩阵的秩相等。

综上所述，矩阵的秩的运算法则包括矩阵的加法、乘法、转置和行变换。

在矩阵的加法中，秩保持不变；在矩阵的乘法中，秩有一定的限制；在矩阵的转置中，秩保持不变；在矩阵的行变换中，秩也保持不变。

矩阵的秩的运算法则在线性代数的学习和应用中起着重要的作用。

通过运用这些法则，我们可以更好地理解和分析矩阵的性质，解决实际问题。

同时，这些法则也为我们提供了一些计算矩阵秩的方法和技巧，使我们能够更加高效地进行矩阵的秩运算。

总之，矩阵的秩的运算法则是线性代数中的重要内容，它们帮助我们理解和分析矩阵的性质，解决实际问题。