数形结合例题选集
数形结合
一、在一些命题证明中的应用举例： 1、 证明勾股定理：
2
222
c b a b a 0.5ab 4=+=-+⨯）（）（
解析：上图中，四个小三角形（阴影部分）的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积，化简后得到勾股定理222c b a =+。 2、 证明乘法公式（平方差与完全平方）：
）
）（（b a b a b a 22-+=-
2ab
b a b a 222
++=+）（
解析：在上图中，利用正方形和小正方形面积的转化，能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。 3、 证明基本不等式：
解析：如上图所示，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，长度为
2
b
a +，根据直角三角形的相似关系，可以得到直角三角形斜边上的高的长度为a
b ，显然在直角三角形中，斜边上的中线的长度会大于等于高，利用这样简洁明了的几何图解，对基本不等式的理解也就更加简单了。 4、 证明正（余）弦定理：
解析：
（1）如上图所示，csinB bsinC bsinC a 2
1
h a 21S ABC =⇒⋅=⋅=
∆的面积； 即sinC
c sinB b sinA a sinC c sinB b ===，同理可得； 根据圆的性质（等弧对等角）2R sinA
a
2R a sinD sinA D A ===∠=∠，即，；
综上，得正弦定理：
2R sinC c
sinB b sinA a ===。 （2）根据勾股定理2
2222222cosB c a b cosB c c CE AC BE AB ）（）（，即⋅--=⋅--=-；
整理可得余弦定理：2ac
b c a cosB 2
22-+=；同理得出cosA 、cosC 的余弦定理。
5、 证明结论），（，2
0x sinx x x tan π
∈>>
二、在考试中的具体应用：
1、与函数的综合运用，主要体现在求零点、交点、解的个数及参数范围等方面： 例1 （14奉贤）已知定义在R 上的函数y=f （x ）对任意x 都满足f （x+2）=-f
（x ），当，若函数）（时，3x x f 1x 1-=<≤x log x f x g a -=）（）（只有四个零点，
则a 的取值范围是
答案：）
，（），（533
1
51⋃ 解析：根据已知条件，f （x ）的周期为4，先画f （x ）一个周期图像，当1≤x<3
时，2
22x -x f x -f 2x 2x f ）
（）（），（）（）（-==-=-，由此画出[-1，3）的图像，此为一个周期，图像如下，x log x f x g a -=）（）（只有四个零点即f （x ）与y=x log a 只有四个交点，需分类讨论： （1）当0此时5个交点，代入点（-5，-1），解得a=5
1
此时3个交点，代入点（3，-1），解得a=3
1
（2）当a>1时，也有两个界值，如下图所示：
此时3个交点，代入（-3，1），解得a=3。
评注：数形结合体型，一定要结合图像分析，并且一些用于定位的特殊点要善于把握；另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质及函数图像的变换。
例2 （14闵行）⎪
⎩⎪
⎨⎧>+-<<=4
x 370
8x x 324x 0x log x f 22，，）（，若a 、b 、c 、d 互不相同，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=f （d ），则abcd 的取值范围是
答案：（32，35）
解析：根据题意，如下图所示，ab=1，abcd=cd=2c 12c 12c -=-）（
，4评注：这类题出现很多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图像及相关性质，尤其是对称性和周期性；在草稿纸上作图时，虽说是草图，但有必要做出一些特殊点进行定位；写区间时，务必考虑区间的开闭情况。
变式 已知函数f （x ）=||x-1|-1|，若关于x 的方程f （x ）=t （t ∈R ）恰有四个互不相等的实数根432143214321x x x x x x x x x x x x ⋅++<<<），则（、、、的取值范围是 答案：（3，4）
解析：根据题意，如下图所示，）（，3343432121x 4x x x x x x x 0x x -⋅=⋅=⋅++=+
=），（，21x x 4x 32
33∈-。
例3 （14杨浦）定义一种新运算：⎩⎨⎧<≥=⊗b a a b
a b b a ，，。已知函数f （x ）=（1+
x log x
4
2⊗）
，若函数g （x ）=f （x ）-k 恰有两个零点，则k 的取值范围是（ ）
A.（1，2]；
B.（1，2）；
C.（0，2）；
D.（0，1） 答案：B
解析：⎪⎩⎪⎨⎧≤<>+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+≥+=⊗+=4x 0x log 4
x x 41x
41x log x log x 41x log x 4
1x log x 41x f 22222，，，，）（）（，如下图
所示：
令g （x ）=f （x ）-k=0，问题转化为函数y=f （x ）与函数y=k 有两个交点，则
k ∈（1，2）。
评注：本题考查分段函数表达式求法，函数零点问题转化成两函数交点问题，数形结合很容易求解，可以作适当的延伸，比如，有一个零点，求k 的取值范围等。
例4 （14宝山）关于函数f （x ）=
1
x x -，给出下列四个命题：
①当x>0时，y=f （x ）单调递减且无最值； ②方程f （x ）=kx+b （k ≠0）一定有解；
③如果方程f （x ）=k 有解，则解的个数一定是偶数； ④y=f （x ）是偶函数且有最小值。 则其中真命题是
