求数列的前n项和常用方法

方法
解读
适合题型
分组求和法
把一个数列分成几个可以 直接减法
适用于一个等差数列和一 个等比数列（公比不等于 1）对应项相乘构成的数 列求和
小结

解决数列求和问题，一般首先确定数列的 通项公式，然后根椐其结构形式，采用相 适应的求解方法，有时几种方法同时集中 在一道题目中，要细致观察通项的特征， 灵活运用求解方法。
数列求和的方法最常见的有以下三种：
方法一：分组法 方法二：裂项相消法 方法三：错位相减法
类型一：分组法求和

类型二：裂项相消法求和

常见的裂项公式有：
类型三：错位相减法求和

注意两个 式子要对 齐
错位相减法的适用题目及注意事项
适用范围
注意事项
(2)注意讨论公 比q是否等于1 的情况
常见数列求和的常用方法
龙海一中
徐艺凤
求数列前N项和的三种 常 见方法
高考地位

数列是高中数学的重要内容，又是高中数学与 高等数学的重要衔接点，其涉及的基础知识， 数学思想与方法，在高等数学的学习中起着重 要的作用，因而成为历年高考久考不衰的热点 题型。此类问题除了利用等差数列和等比数列 求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的 技巧。下面我们通过几个例子来谈谈数列求和 的基本方法和技巧。

求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n kS nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-13. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例5] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…[例6] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新 料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯求数列前 N 项和的七种方法点拨 :中心提示： 求数列的前 n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在剖析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列乞降，或转变为基本数列乞降。

当碰到详细问题时，要注意察看数列的特色和规律，找到合适的方法解题。

1. 公式法等差数列前 n 项和：n(a 1 a n )n(n 1)S nna 1d22特其余， 目前 n 项的个数为奇数时， S 2 k 1 (2 k 1) a k 1 ，即前 n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在好多时候能够简化运算。

等比数列前 n 项和： q=1 时， S nna 1a 1 qnq 1， S1，特别要注意对公比的议论。

n1 q其余公式：n 1、 S nk 11n(n 1) 2、 S nn1n(n 1)( 2n 1)kk 22 k 16n[ 1n(n 3、 S nk 3 1)] 2k 12[例 1] 已知 log 3 x1 ，求 x x2 x3 x n的前 n 项和 .log 2 3解：由 log 3 x1log 3 xlog 3 2x 12log 2 3由等比数列乞降公式得Sx x 2x 3x n（利n用常用公式）1(1 1)＝1－ 1＝ x(1 x n ) ＝2 2n1 x 1 1 2n2[例 2] S n＝ 1+2+3+ ⋯+n ， n∈N * ,求f (n)(n S n 的最大 .32) S n 1解：由等差数列乞降公式得S n 1 n(n 1) ，S n 11( n 1)(n 2)（利2 2 用常用公式）∴ f ( n)S n ＝n2 34n 64( n 32)S n 1 n＝1＝1 164 8 50 n ( n ) 2 5034nn8，即 n＝ 8 ，f (n)max1∴ 当n50n2.错位相减法种方法是在推等比数列的前n 和公式所用的方法，种方法主要用于求数列{a n·b n} 的前 n 和，此中 { a n } 、 { b n } 分是等差数列和等比数列 .[例 3] 乞降： S n 1 3x 5x 2 7 x3 (2n 1) x n 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①解：由可知， { (2n 1) x n 1 } 的通是等差数列{2n － 1} 的通与等比数列 { x n 1 } 的通之xS n 1x 3x2 5x3 7 x4 (2n 1) x n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯. ②①－②得(1 x)S n 1 2x 2x 2 2x3 2x4 2x n 1 (2n 1)x n（错位相减）再利用等比数列的乞降公式得：(1 x)S n 11 x n 11) xn 2x 1 x (2n∴S n (2n 1)x n 1 (2n 1) x n (1 x)(1 x) 2[例 4] 求数列2,42 ,63, ,2nn , 前 n 的和 .2 2 2 2解：由 可知，2n1{} 的通 是等差数列 {2n} 的通 与等比数列 {2n } 的通 之2n S n2 4 6 2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ①2 2 2 232n12462n2Sn22 232 42n 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②（设制错位）1 2 222 2 2n①－②得(1 ) S n2 2223242n2n 12（错位相减 ）12n22n 12 n 1n2∴S n 4 2n 1：求： S n =1+5x+9x 2+······ +(4n-3)xn-1解：S n =1+5x+9x 2 +······+(4n-3)x n-1 ①①两边同乘以 x ，得x S n =x+5 x 2 +9x 3+······+(4n-3)x n②① - ②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ x n ）- （4n-3）x n 当 x=1 时， S n =1+5+9+······+（4n-3） =2n 2 -n当 x ≠1 时， S n = 1 1-x [ 4x(1-xn) 1-x +1-（4n-3） x n ]3. 反序相加法乞降是推 等差数列的前 n 和公式 所用的方法， 就是将一个数列倒 来摆列 （反序），再把它与原数列相加，就能够获得n 个 (a 1 a n ) .[例 5] 求 sin 2 1sin 2 2 sin 2 3 sin 2 88 sin 2 89 的解： S sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3sin 2 88 sin 2 89 ⋯⋯⋯⋯. ①将①式右 反序得S sin 289 sin 288222⋯⋯⋯⋯ .. ②s i n 3s i n 2 s i n 1（反序）又因 sin x cos(90x), sin 2 x cos 2 x 1①+②得（反序相加）2S (sin 2 1cos 2 1 ) (sin 2 2 cos 2 2 ) (sin 2 89 cos 2 89 ) ＝ 89∴S ＝4. 分组法乞降有一类数列，既不是等差数列， 也不是等比数列， 若将这种数列合适打开， 可分为几个等差、等比或常有的数列，而后分别乞降，再将其归并即可 .[例 6] 求数列的前 n 项和： 11,14,17, , 13n 2 ，aa 2 a n 1解：设11132)(1 1) ( a4)(a 27)(a n 1nS n将其每一项打开再从头组合得S n(1 1 11 ) (1 4 73n2)a a 2a n 1（分组）当 a ＝ 1 时，S nn(3n 1)n(3n 1)n（分2 ＝2组乞降）11(3n 1) na a 1 na n当 a1 时， S n2＝11 1a a[例 7] 求数列 {n(n+1)(2n+1)} 的前 n 项和 .解：设 akk k k2 k3 k 2 k(1)( 2 1)3nn∴ S nk (k 1)(2k 1) ＝ (2k 3 3k 2 k)k 1k 1将其每一项打开再从头组合得S n＝（分组）＝ 2(1323n 3 ) 3(12 22 n 2 )n 2 (n 1)2＝2（分组乞降）(3n 1)n2n n n2k 33k 2kk 1k1k 1(1 2n)n(n 1)(2n1) n( n 1)22＝ n(n 1) 2 (n 2)2练习：求数列 11 ,2 1 ,31,, (n1n),的前 n 项和。

求数列前N 项和的七种方法点拨:1.公式法等差数列前n 项和：n(a 1+a n ) y 亠 n(n +1) _, Si — — na q 十 d2 ' 2特别的，当前n 项的个数为奇数时，S 2k 岀=（2k +1）_a k 41，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n 项和： q=1 时，q H 1, s n = a1 " q），特别要注意对公比的讨论。

其他公式:用常用公式）1 1迂R _ 1丄 1一丄—2n21、S nn=Z k kd ：3、S n [例1]弓（卄）2、 n =送k 3 k=12 计+1)] 2 1S n=!： k =-n(n+1)(2n+1)6—1 2 3 已知 log 3 X = - 7，求 X + X + X +…+log 23 x n +…的前n 项和.解：由log 3—1 =log 3 X = —log s 2 = log 2 3 1 x =— 2 由等比数列求和公式得S n = X + X 2 +（利_ x(1 -x n) —1-x［例 2］设 S n = 1+2+3+ …+n , n € N *,求 f (n)= S n(n + 32)S n屮 的最大值.解: 由等差数列求和公式得 1 1S n = — n(n +1) , S n* = -(n +1)(n + 2)2 2 （利用常用公式）f(n)= S n(n + 32)盼 2n 2 + 3 4n+64□ +34+^ (屛--)2+5O 50 •••当亦=2，即 n = 8 时，f(n)max\l n 50 2.错位相减法这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 ｛a n • b n ｝的前n 项和，其中｛ a n ｝、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列［例 3］求和：S n =1+3x+ 5x 2+7x 3 + ”””+(2n - 1)x n " 解：由题可知，｛ （2 n- 1）x n 』｝的通项是等差数列｛2n — 1｝的通项与等比数列｛x n」｝的 通项之积设 xS n =1x+3x 2+5x 3+7x 4 + …+(2门_〔以 ①一②得(1-x)S n =1+2X +2X 2+2x 3+2x 4 + …+2x n 」一(2 门_ 1)x n（错位相减）nJ1 — x n再利用等比数列的求和公式得： （1 -x ）S n =1+2x ・ -（2 n -1）x n1-x G (2n - 1)x n +—(2n + 1)x n +(1 +x)Sn =(1-x)2［例4］求数列贪…前n项的和.解：由题可知，｛2n2n ｝的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列｛右｝的通项之积 设S =2+土 十-6+ …+空以6--2小32n（错位相减）练习：求：S n =1+5x+9x 2+ ....... +(4n-3)x n "1解：Si=1+5x+9)(+ ........ +(4n-3)x n-1①两边同乘以X ，得23X S n =x+5 X +9x + ...... +(4 n-3)x①-②得,(1-x ) S=1+4(X+ X 2+X 3+当 x=1 时，S=1+5+9+ ......... + (4n-3)3.反序相加法求和再把它与原数列相加，就可以得到n 个（印+ a n ）•［例 5］求sin 21 +sin 22 + sin 23 + …+sin 288 +sin 289 的值20 20 2 0 2 0 2解：设 S =sin 1 +sin 2 +sin 3 + …+sin 88 +sin 89将①式右边反序得S =si n 289 +si n 2 88 +…+sin3 +sin2 +si n 1（反序）2 2又因为 sinx=cos(90 -x),sin x + cosx=1 ①（反序相加）2S=(sin 21 +cos 21)+(sin 2 2 + cos 22 ) + …+ (sin 289 +cos 289 ) = 89S= 44.5担=；2（设制错位）十243 十2642n+(^1)Sn2+&p.,2_2n 22=2S n =41-产 n +2-尹2n 2n + =2n-n nx ) - (4n-3) x当X 工1时，S= I4x(1-x n)1-x(4n-3)这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序），4.分组法求和有一类数列，既不是等差数列， 也不是等比数列， 若将这类数列适当拆开, 可分为几个组求和）将其每一项拆开再重新组合得（分组）=2(13 +23+…+n 3) +3(12 +22+ …+门2)+(1 + 2+…+n)2 2n 2(n +1)2 十 n(n +1)(2n +1)十 n(n + 1)（分组求和）n(n +1)2( n +2)等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可［例6］求数列的前n 项和：1+1, 1+4, ［ +7，…,n-2 ,-a a a 解: 1 1 1设 S n = (1 +1) +(- +4) +(p +7) + …”+(—+3n -2)a a a将其每一项拆开再重新组合得S n = (1 + 1a+…+1n」)+(1 +4 + 7+…+3n -2) a（分组）当a= 1时, S n=n+(3n—1)n(3n+ 1)n（分当a H 1时,-7 十(3n —1)n2a -a 1』+ (3n -1)n a —1［例7］求数列｛n （n+1）（2n+1）｝的前n 项和.解：设 a k =k(k +1)(2k +1) =2k 3+ 3k 2+kS n =2 k(k+1)(2k+1)=k 吕nZ (2k 3+3k 2+k)kTS nn2Z k3k 3 n+32：［例10］在数列｛a n ｝中，a n =n +1 n +1 乙+…，又b n =—2一，求数列｛b n ｝的前an r a n +n +11 1 1 1练习：求数列12，24,38^**（^2^）^*啲前n 项和。