完整版因式分解之十字相乘法专项练习题
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十字相乘法进行因式分解
1.二次三项式
多项式ax2 bx c,称为字母x的二次三项式,其中ax2称为二次项,bx为一次项,c
为常数项•例如,x2 2x 3和x2 5x 6都是关于x的二次三项式.
在多项式x2 6xy 8y2中,如果把y看作常数,就是关于x的二次三项式;如果把x 看作常数,就是关于y 的二次三项式.
在多项式2a2b2 7ab 3中,把ab 看作一个整体,即2(ab)2 7(ab) 3,就是关于ab 的二次三项式.同样,多项式(x y)2 7(x y) 12,把x+y 看作一个整体,就是关于x + y的二次三项式. 2.十字相乘法的依据和具体内容
利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用(ax+ b)(cx+ d)竖式乘法法则.它的一般规律是:
(1)对于二次项系数为1的二次三项式x2 px q,如果能把常数项q分解成两个因数a,
b的积,并且a+ b为一次项系数p,那么它就可以运用公式
2
x (a b)x ab (x a)(x b)
分解因式.这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项”.公式中的x可以表示单项式,也可以表示多项式,当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同;当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.
(2)对于二次项系数不是1的二次三项式ax2 bx c(a,b,c都是整数且a^0)来说,如
果存在四个整数a!,a2,c!,c2,使a
3.因式分解一般要遵循的步骤
多项式因式分解的一般步骤:先考虑能否提公因式,再考虑能否运用公式或十字相乘
法,最后考虑分组分解法.对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行.以上步骤可用口诀概括如下:“首先提取公因式,然后考虑用公式、十字相乘试一试,
分组分解要合适,四种方法反复试,结果应是乘积式”
【典型热点考题】
例 1 把下列各式分解因式:
(1)x2 2x 15 ;(2)x2 5xy 6y2.
解:
列各式分解因式:
例2 把
下
(1
)2x25x 3;(2) 3x2 8x 3
解:
点拨:二次项系数不等于 1 的二次三项式应用十字相乘法分解时,二次项系数的分解和常
数项的分解随机性较大,往往要试验多次,这是用十字相乘法分解的难点,要适当增加练习,积累经验,才能提高速度和准确性.
例 3 把下列各式分解因式:
(1)x4 10x2 9;(2)7(x y)3 5(x y)2 2(x y);
3) (a2 8a)2 22(a2 8a) 120 .
十字相乘法专项练习题 (1) a 2-7a+6 ;
(4) 20 -9y -20y 2;
(10)4m 2+8m+3 ;
(12)8m 2-22m+15 ;
(13)4n 2+4n -15 ;
(2)8x 2+6x -35;
(3)18x 2-21x+5 ;
(5)2x 2+3x+1 ; (6)2y 2+y -6;
(7)6x 2-13x+6 ;
(8)3a 2- 7a - 6;
(9)6x 2-11x+3 ; (11)10x 2-21x+2; (14)6a 2+a -35;
(16)4x 2+15x+9 ;
(15)5x 2-8x-13 ;
(18)6y 2+19y+10 ;
(17)15x 2+x-2;
(19) 2(a+b) 2 +(a+b)(a -b)- 6(a -b)2; 把下列各式分解因式:
(1) x 4 7x 2 6;
15.把下列各式分解因式:
2 2 2 2 2 2
2) x 2(x 2)2 9; ( 3) (3x 2 2x 1)2 (2x 2 3x 3)2;
4) (x 2 x)2 17(x 2 x) 60 ; 5) (x 2 2x)2 7(x 2 2x) 8 ;
3) 4x 4 65x 2y 2 16y 4;
6 3 3 6
4) a 6 7a 3b 3 8b 6 ;
5) 6a 4 5a 3 4a 2; 6) 4a 6 37a 4b 2 9a 2b 4.
(20)7(x -1)2 +4(x -1)-20;
42
2) x 4 5x 2 36 ;
1)(x 2 3)2 4x 2
;
6)(2a b)2 14(2a b) 48 .
(1) 2x2 15x 7 (2) 3a2 8a 4 (3) 5x2 7x 6 (4) 2
6y2 11y 10
(5) 5a2b2 23ab 10 (6) 3a2b2 17abxy 10x2y2(7) 22
x2 7xy 12y2
(8) x4 7x2 18 (9) 22
4m 8mn 3n (10) 5x5 15x3y 20xy2
六、解下列方程
22
( 1) x2 x 2 0 (2) x2 5x 6 0
2
(3) 3a 2 4a 4 0 2
(4)2b2 7b 15 0