2.3 离散型随机变量的均值与方差（第1课时）
一、教学目标
1．核心素养
通过对离散型随机变量的均值的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力．
2．学习目标
（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的均值的概念；
（2）能计算简单离散型随机变量的期望，并能解决一些实际问题.
3．学习重点
离散型随机变量的期望的概念、公式及其应用.
4．学习难点
灵活利用公式求期望.
二、教学设计
1．预习任务
任务1
阅读教材P60－P63，思考：何为加权平均、权数？随机变量的均值（数学期望）的定义是什么？它反应了什么？
任务2
根据数学期望的计算过程，可得到它的什么性质？
任务3
何为两点分布？如果随机变量服从两点分布，则其数学期望有什么特点？
任务4
随机变量均值与样本的平均值有何联系与区别？
2．预习自测
1．已知X的分布列为
X －1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则E(X)等于( )
A．0.7 B．0.61 C．－0.3 D．0
2．设E(X)＝10，E(Y)＝3，则E(3X＋5Y)＝( )
A．45 B．40 C．30 D．15 3．若X～B(4，12)，则E(X)的值为( )
A．4 B．2 C．1 D.12
（二）课堂设计
1．知识回顾
（1）何为离散型随机变量．
（2）离散型性随机变量的分布列．
（3）何为样本平均值？怎么计算？．
（4）我们预习本课的数学期望是怎么定义的？怎么计算？
2.创设情境 引入新知
前面我们学习了离散性随机变量分布列的概念，研究了一些简单离散型随机变量的分布，建立了二项分布、超几何分布等应用广泛的概率模型.离散型随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律，但往往还需要进一步了解离散型随机变量取值的特征.
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珍贵文档 10．9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布
[知识梳理]
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P
p1 p2 … pi … pn
(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)D(X)＝i＝1n (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根DX为随机变量X的标准差．
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
X X服从两点分布 X～B(n，p)
E(X) p np
D(X) p(1－p) np(1－p)
4．正态曲线 专业文档
珍贵文档 (1)正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝12π·σe－x－μ22σ2 ，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
5．正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ
②P(μ－2σ
③P(μ－3σ
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珍贵文档 [诊断自测]
1．概念思辨
(1)随机变量不可以是负数，随机变量所对应的概率可以是负数，随机变量的均值不可以是负数．( )
第一课时 离散型随机变量的均值
[对应学生用书P31]
求离散型随机变量的均值
[例1] (重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额
一等奖 3红1蓝 200元
二等奖 3红0蓝 50元
三等奖 2红1蓝 10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与数学期望EX.
[思路点拨] (1)利用古典概型结合计数原理直接求解．
(2)先确定离散型随机变量的取值，求出相应的概率分布，进一步求出随机变量的期望值．
[精解详析] 设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0,1,2,3)与Bj(j＝0,1)独立．
(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝C13C24C37＝1835.
(2)X的所有可能值为0,10,50,200，且
P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝C33C37·13＝1105，
P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝C33C37·23＝2105，
P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝C23C14C37·13＝12105＝435，
P(X＝0)＝1－1105－2105－435＝67. 综上知，X的分布列为
X
0
10
50 200
P 67 435 2105 1105
从而有EX＝0×67＋10×435＋50×2105＋200×1105＝4(元)．
[一点通] 求离散型随机变量X的均值的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列(有时可以省略)；
(4)利用定义公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，求出均值．
课题 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 备注
三维
目标 掌握离散型随机变量的均值与方差，掌握两点分布与二项分布
的均值、方差求法，理解正态曲线相关性质：
培养学生理论联系实际的数学思想
重点 离散型随机变暈的均值与方差，掌握两点分布与二项分布的均
值、方差求法
难点 理解正态曲线相关性质：
辨析 (1) 随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确
定.(J )
(2) 随机变虽的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值
的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越 小.(V )
(3) 正态分布中的参数P和。完全确定了正态分布，参数P 是正态分布的期望，。是正态分布的标准差.(V )
(4) 一个随机变最如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然 因索作用结果Z和，它就服从或近似服从正态分布.(V )
(5) 期望是算术平均数概念的推广，与概率无关.(X )
考点
自测 1.某射手射击所得环数§的分布列如F：
§ 7 8 9 10
P X 0. 1 0. 3 y
已知§的均值£(f)=8.9,则y的值为()
A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9
2. 已知随机变量*服从正态分布M3, <72),且心5) =0.8, 则戶(1CK3)等于()
A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
1
3. 设随机变量§的分布列为P(§=Q=5(k=2,4,6,&10)则
A. 8 B. 5 C・ 10 D. 12
4.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某 运动员罚球命中的概率为0. 7,那么他罚球1次的得分尤的均值 是 _________ .
知识
梳理 1. 离散型随机变量的均值与方差
⑴均值
(2)方差
2. 均值与方差的性质
(1) E{aX+ 方)=也(力 + b.
(2) 〃(就+0)=晶7(乂)・力为常数)
3. 两点分布与二项分布的均值、方差
