平面向量复习提纲

新民高中2012届高三备战高考复习提纲-----平面向量 编撰人：王海军、孔凡杰

第1页

平面向量基本知识点及解题方法

基本知识点：

一. 向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.

(2)向量的表示：几何AB；字母a；坐标a＝xiyj＝（ｘ，ｙ）.

(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.

(4)零向量a＝0｜a｜＝O.

(5)向量a为单位向量｜a｜＝1.

与非零向量a同向的单位向量0||aaa，叫做a的单位向量。

与a反向的单位向量为 0||aaa，而0a都与a共线.

(6)相等的向量：大小相等，方向相同(x1，y1)＝（x2，y2）2121yyxx

(6) 相反向量：大小相等，方向相反 0abbaab

(7)平行向量(共线向量)：记作a∥b.平行向量也称为共线向量.

二. 向量的运算

运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质

向量的

加法 1.平行四边形法则

2.三角形法则 1212(,)abxxyy

abba

()()abcabc

ACBCAB 新民高中2012届高三备战高考复习提纲-----平面向量 编撰人：王海军、孔凡杰

第2页

向量的

减法 三角形法则 1212(,)abxxyy ()abab

ABBA,

ABOAOB

数

乘

向

量 a是一个向量,

满足:||||||aa

>0时, aa与同向

<0时, aa与异向

=0时, 0a. (,)axy ()()aa

()aaa

()abab

//abab

向

量

的

数

量

积 ab是一个数

1.00ab或时，0ab.

2.00||||cos(,)abababab且时， 1212abxxyy abba

()()()ababab()abcacbc

2222||||=aaaxy即||||||abab

向量的运算分坐标运算和线性运算

给坐标就以坐标运算为主；没给坐标就考虑向量的分解，分解的基底以已知夹角和已知长度的向量为主；

向量分解：三角形的中线；起点相同终点共线的三个向量的关系；

平面几何题型概述

一、向量的有关概念

1 给出下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②若,ABDC则ABCD为平行四边形；③若//,//,abbcac则；④若//,//,//abbcac则。其中正确命题的个数是 新民高中2012届高三备战高考复习提纲-----平面向量 编撰人：王海军、孔凡杰

第3页 二、向量的线性运算

1.如图，正六边形ABCDEF中，BACDEF=

A．0 B．BE C．AD D．CF

2.在正三角形ABC中，D是BC上的点，3,1ABBD，则ABAD 152 。

3.ABCV中，点D在AB上，CD平分ACB．若CBauur，CAbuur，1a，2b，则CDuuur （A）1233ab （B）2133ab （C）3455ab （D）4355ab

三、向量的模问题

1.已知单位向量1e，2e的夹角为60°，则122ee 【答案】3

2.若a，b，c均为单位向量，且0ba，0)()(cbca，则||cba的最大

值为 （A）12 （B）1 （C）2 （D）2 【答案】B

3.已知直角梯形ABCD中，AD//BC,090ADC,2,1ADBC,P是腰DC上的动点，则3PAPB的最小值为____________.【答案】5

四、平面向量夹角问题：

1、当是非坐标形式时，求的夹角。需求得及或得出它们的关系。

2、若已知的坐标，直接利用公式

注：平面向量的夹角

1．已知三点A(2,3)，B(－1，－1)，C(6，k)，其中k为常数．若|AB→|＝|AC→|，则AB→与AC→的夹角的余弦值为( )

A．－2425 B．0或2425 C.2425 D．0或－2425

2．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )

A．[0，π6] B．[π3，π] C．[π3，2π3] D．[π6，π]

3.若平面向量a，b满足|a|=1，|b|≤1，且以向量a，b为邻边的平行四边形的 新民高中2012届高三备战高考复习提纲-----平面向量 编撰人：王海军、孔凡杰

第4页 面积为12，则a与b的夹角的取值范围是 。【答案】5[,]66

五、向量的射影：a在b上的正射影

（1）利用射影定义：cos,aab

（2）利用数量积运算：abb

（3）利用图形：,ab为锐角时等于OA，,ab为钝角时为OA

例．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2，则向量b在向量a方向上的射影是( )

A．－12 B.－1 C.12 D.1

六、重要定理、公式

（1）直线l的向量参数方程：A、P、B三点共线 则OBtOA)t(OP1

（2）若A、M、B三点共线，::ADnmAMMBmnABACmnmn

（3）在ΔABC中，M为BC中点1122AMABAC

（4）在ΔABC中,AD为∠A平分线，则ABBDACCD

（5）平面向量基本定理；如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，满足a=λ11e+λ22e

例1.如图：在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，

已知,,AMcANd试用,cd表示,ABAD。

（6）向量的坐标：根据平面向量基本定理，任一向量a与有序数对

(λ1,λ2)一一对应，当取{,ij}为单位正交基底（其中,ij分别表示与x轴、y轴正方向同向的单位向量）时定义(λ1，λ2)为向量a新民高中2012届高三备战高考复习提纲-----平面向量 编撰人：王海军、孔凡杰

第5页

的平面直角坐标。向量的坐标形式是其分解形式xiyj的简记.

向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则OA=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=(x2-x1,y2-y1)

（7）两个向量平行的充要条件

a∥b，b≠0a=λb， a∥b x1y2-x2y1=0

当a与b同向时，λ>0；当a与b异向时，λ<0。|λ|=|b||a|，λ的大小由a及b的大小确定。因此，当a，b确定时，λ的符号与大小就确定了。

例.已知向量a=（3，1），b=（0，-1），c=（k，3）。若a-2b与c共线，则k= 1 。

（8）两个向量垂直的充要条件

a⊥ba〃b=0， a⊥bx1x2+y1y2=0

例.已知21,ee是夹角为32的两个单位向量，,,22121eekbeea若0ba，则k的值为 . 【答案】45

七、平面向量的应用

1. 已知O是△ABC所在平面内一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，判断△ABC形状

2.已知P为ΔABC内一点，满足230PAPBPC,则ΔABP, ΔBCP和ΔACP的面积之比为

3.平面上O,A,B三点不共线，设,OA=aOBb，则△OAB的面积等于

A222|||()|abab B 222|||()|ababC 2221|||()2|ababD 2221|||()2|abab

【答案】C