专题55 一次函数中的构造等腰直角三角形(解析版)

专题55 一次函数中的构造等腰直角三角形

1、如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．

求证：△BEC≌△CDA；

解：（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等），

∴OE＝AD，

∵k＝﹣1，

∴y＝﹣x+4，

∴B（0，4），

∴OB＝4，

∵BE＝3，

∴OE＝，

∴AD＝；

（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，

∴A（3，0），

①当BM⊥AB，且BM＝AB时， 过点M作MN⊥y轴，

∴△BMN≌△ABO（AAS），

∴MN＝OB，BN＝OA，

∴MN＝4，BN＝3，

∴M（4，7）；

②当AB⊥AM，且AM＝AB时，

过点M作x轴垂线MK，

∴△ABO≌△AMK（AAS），

∴OB＝AK，OA＝MK，

∴AK＝4，MK＝3，

∴M（7，3）；

③当AM⊥BM，且AM＝BM时，

过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，

∴△BMG≌△AHM（AAS），

∴BG＝AH，GM＝MH，

∴GM＝MH，

∴4﹣MH＝MH﹣3，

∴MH＝，

∴M（，）；

综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）； （3）当k＞0时，AO＝，

过点Q作QS⊥y轴，

∴△ABO≌△BQS（AAS），

∴BS＝OA，SQ＝OB，

∴Q（4，4﹣），

∴OQ＝，

∴当k＝1时，QO最小值为4；

当k＜0时，Q（4，4﹣），

∴OQ＝，

∴当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，

∴OQ的最小值为4．

2、已如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），点C在y轴上，作直线AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，连接CB′．

（1）写出点B′的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；

（2）点D在线段AC上，连接DB、DB′、BB′，当△DBB′是等腰直角三角形时，求点D坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，到达点O时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．

解：（1）∵A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），

∴OA＝6，OB＝8，

∵∠AOB＝90°，

∴AB＝10，

∵B与B'关于直线AC对称，

∴AC垂直平分BB'， ∴BC＝CB'，AB'＝AB＝10，

∴B'（﹣4，0），

设点C（0，m），

∴OC＝m，

∴CB'＝CB＝8﹣m，

∵在Rt△COB'中，∠COB'＝90°，

∴m2+16＝（8﹣m）2，

∴m＝3，

∴C（0，3），

设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），

把A（6，0），C（0，3）代入可得k＝﹣，b＝3，

∴y＝﹣x+3；

（2）∵AC垂直平分BB'，

∴DB＝DB'，

∵△BDB'是等腰直角三角形，

∴∠BDB'＝90°，

过点D作DE⊥x轴，DF⊥y轴，

∴∠DFO＝∠DFB＝∠DEB'＝90°，

∵∠EDF＝360°﹣∠DFB﹣∠DEO﹣∠EOF，∠EOF＝90°，

∴∠EDF＝90°， ∴∠EDF＝∠BDB'，

∴∠BDF＝∠EDB'，

∴△FDB≌△EDB'（AAS），

∴DF＝DE，

设点D（a，a）代入y＝﹣x+3中，

∴a＝2，

∴D（2，2）；

（3）同（2）可得∠PDF＝∠QDE，

∵DF＝DE＝2，∠PDF＝∠QDE，

∴△PDF≌△QDE（AAS），

∴PF＝QE，

①当DQ＝DA时，

∵DE⊥x轴，

∴QE＝AE＝4，

∴PF＝QE＝4， ∴BP＝BF﹣PF＝2，

∴点P运动时间为1秒；

②当AQ＝AD时，

∵A（6，0）、D（2，2），

∴AD＝2，

∴AQ＝2，

∴PF＝QE＝2﹣4，

∴BP＝BF﹣PF＝10﹣2，

∴点P的运动时间为5﹣秒；

③当QD＝QA时，

设QE＝n，

则QD＝QA＝4﹣n，

在Rt△DEQ中，∠DEQ＝90°，

∴4+n2＝（4﹣n）2，

∴n＝1.5，

∴PF＝QE＝1.5，

∴BP＝BF+PF＝7.5，

∴点P的运动时间为3.75秒，

∵0≤t≤4，

∴t＝3.75，

综上所述：点P的运动时间为1秒或5﹣秒或3.75秒．

3、定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．

（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；

（2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．

①求y与x的函数关系式；

①若直线DM与x轴相交于点F，当①MEF为直角三角形时，求点D的坐标．

解：（1）①3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，

①点B是A、C的“美妙点”；

（2）设点D（m，m+2），

①①M是点D、E的“美妙点”． ①x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+m+2）＝m+6，

故m＝x﹣3，

①y＝（x﹣3）+6＝x+3；

①由①得，点M（9+3m，m+6），

如图1，当①MEF为直角时，则点M（3，4），

①9+3m＝3，解得：m＝﹣2；

①点D（﹣2，）；

当①MFE是直角时，如图2，

则9+3m＝m，解得：m＝﹣，

①点D（﹣，）；

当①EMF是直角时，不存在，

综上，点D（﹣2，）或（﹣，）．

4、如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点． （1）求k的值；

（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．

（i）若直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；

（①）连接AD，若①ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．

解：（1）将点A的坐标代入一次函数y＝kx+6并解得：

k＝﹣3；

（2）一次函数y＝﹣3x+6分别与x轴，y轴相交于B，C两点，

则点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，6）；

（i）S①BCO＝OB×CO＝2×6＝6，

直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，

则S①CDE＝2或4，

而S①CDE＝×CD×xE＝4×xE＝2或4，

则xE＝1或2， 故点E（1，3）或（2，0），

将点E的坐标代入直线l表达式并解得：

直线l的表达式为：y＝±x+2；

（①）设点E（m，﹣3m+6），而点A、D的坐标分别为：（1，3）、（0，2），

则AE2＝（m﹣1）2+（3﹣3m）2，AD2＝2，ED2＝m2+（4﹣3m）2，

当AE＝AD时，（m﹣1）2+（3﹣3m）2＝2，解得：m＝或；

当AE＝ED时，同理可得：m＝；

综上，点E的坐标为：（，）或（，）或（，）．

5、建立模型：

如图1，等腰Rt①ABC中，①ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD①ED于D，过C作CE①ED于E．则易证①ADB①①BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角①ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．

模型应用：

（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），①ABC是等腰直角三角形．

①若①ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；

①若AB为直角边，求点C的坐标；

（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若①MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．

解：（1）①过点C作CD①x轴于点D，

①①BDC＝90°＝①AOB，

①①BCD+①DCB＝90°，

①①ABC＝90°，

①①ABO+①DBC＝90°，

①①ABO＝BCD，

①AB＝BC，

①①AOB①①BDC（AAS），

DC＝OB＝3，BD＝OA＝4，故点C（7，3）；

①若AB为直角边，则除了①的情况以外，另外一个点C（C′）与①中的C关于点B对称，

故点C′（﹣1，﹣3）；

故点C的坐标为：（7，3）或（﹣1，﹣3）； （2）如图2，当①MGP＝90°时，MG＝PG，

过点P作PE①OM于E，过点G作GH①PE于H，

①点E与点M重合，①GF＝AB＝4

设G点坐标为（x，2x﹣6），6﹣（2x﹣6）＝4，得x＝4，

易得G点坐标（4，2）；

如图3，当①MGP＝90°时，MG＝PG时，同理得G点坐标（，），

综上可知，满足条件的点G的坐标分别为（4，2）或（，）．

6、如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．

（1）求出点A，点B的坐标．

（2）P是直线AB上一动点，且①BOP和①COP的面积相等，求点P坐标．