高考数学-立体几何知识点与例题讲解-题型方法

立体几何知识点例题讲解

一、知识点

常用结论

1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.

2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.

3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.

4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.

5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.

7.夹角公式 ：设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，则cos〈a，b〉=112233222222123123abababaaabbb.

8．异面直线所成角：cos|cos,|abrr=121212222222111222||||||||xxyyzzababxyzxyzrrrr

（其中（090oo）为异面直线ab,所成角，,abrr分别表示异面直线ab,的方向向量）

9.直线AB与平面所成角：sin||||ABmarcABmuuururuuurur(mur为平面的法向量).

10、空间四点A、B、C、P共面OCzOByOAxOP，且 x + y + z = 1

11.二面角l的平面角

cos||||mnarcmnurrurr或cos||||mnarcmnurrurr（mur，nr为平面，的法向量）.

12.三余弦定理：设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2，AO与AC所成的角为．则12coscoscos. 13.空间两点间的距离公式 若A111(,,)xyz，B222(,,)xyz，则,ABd=||ABABABuuuruuuruuur222212121()()()xxyyzz.

14.异面直线间的距离： ||||CDndnuuuruurr (12,ll是两异面直线，其公垂向量为nr，CD、分别是12,ll上任一点，d为12,ll间的距离).

15.点B到平面的距离：||||ABndnuuuruurr（nr为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.

16.三个向量和的平方公式：2222()222abcabcabbccarrrrrrrrrrrr

2222||||cos,2||||cos,2||||cos,abcababbcbccacarrrrrrrrrrrrrrr

17. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、、，夹角分别为123、、,则有2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

18. 面积射影定理 'cosSS.(平面多边形及其射影的面积分别是S、'S，它们所在平面所成锐二面角的).

19. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,

正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a,外接球的半径为64a.

20. 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）

21. 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）

〈二〉温馨提示：

1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义？

① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次. ② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．

③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．

〈三〉解题思路：

1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面

线面平行的判定：

abbaa∥，面，∥面 a

b



线面平行的性质：

∥面，面，∥bab

三垂线定理（及逆定理）：

PAAOPO⊥面，为在内射影，面，则a

aOAaPOaPOaAO⊥⊥；⊥⊥

a P

O

线面垂直：

abacbcbcOa⊥，⊥，，，⊥ a

O

α b c

面面垂直：

aa⊥面，面⊥

面⊥面，，，⊥⊥llaaa

α a

l

β

abab⊥面，⊥面∥

面⊥，面⊥∥aa a b

 2、三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

＝时，∥或0bob

（）二面角：二面角的平面角，30180loo

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。

二、题型与方法

【考点透视】

不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成。

求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。

【例题解析】

考点1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.

例1如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2，D为1CC中点．

（Ⅰ）求证：1AB⊥平面1ABD；

（Ⅱ）求二面角1AADB的大小；

（Ⅲ）求点C到平面1ABD的距离．

考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的

大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维

能力和运算能力．

解答过程：解法一：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．

ABCQ△为正三角形，AOBC⊥．

Q正三棱柱111ABCABC中，平面ABC⊥平面11BCCB，

AO⊥平面11BCCB．

连结1BO，在正方形11BBCC中，OD，分别为

1BCCC，的中点， 1BOBD⊥， 1ABBD⊥．

在正方形11ABBA中，11ABAB⊥， 1AB⊥平面1ABD．

（Ⅱ）设1AB与1AB交于点G，在平面1ABD中，作1GFAD⊥于F，连结AF，由（Ⅰ）得1AB⊥平面1ABD．

1AFAD⊥， AFG∠为二面角1AADB的平面角．

在1AAD△中，由等面积法可求得455AF，

又1122AGABQ， 210sin4455AGAFGAF∠．

所以二面角1AADB的大小为10arcsin4．

（Ⅲ）1ABD△中，1115226ABDBDADABS△，，，1BCDS△．

在正三棱柱中，1A到平面11BCCB的距离为3． A

B C D 1A

1C

1B

A

B C D 1A

1C

1B O F 设点C到平面1ABD的距离为d．

由11ABCDCABDVV，得111333BCDABDSSdgg△△，

1322BCDABDSdS△△．

点C到平面1ABD的距离为22．

解法二：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．

ABCQ△为正三角形，AOBC⊥．

Q在正三棱柱111ABCABC中，平面ABC⊥平面11BCCB，

AD⊥平面11BCCB．

取11BC中点1O，以O为原点，OBuuur，1OOuuuur，OAuuur的方向为xyz，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B，，，(110)D，，，1(023)A，，，(003)A，，，1(120)B，，，

1(123)ABuuur，，，(210)BDuuur，，，1(123)BAuuur，，．

12200ABBDuuuruuurQg，111430ABBAuuuruuurg，

1ABBDuuuruuur⊥，11ABBAuuuruuur⊥．

1AB⊥平面1ABD．

（Ⅱ）设平面1AAD的法向量为()xyz，，n．

(113)ADuuur，，，1(020)AAuuur，，． ADuuurQ⊥n，1AAuuur⊥n，

100ADAAuuurguuurg，，nn3020xyzy，，03yxz，．

令1z得(301)，，n为平面1AAD的一个法向量．

由（Ⅰ）知1AB⊥平面1ABD，

1ABuuur为平面1ABD的法向量．

cosn，1113364222ABABABuuuruuurguuurggnn．

二面角1AADB的大小为6arccos4．

（Ⅲ）由（Ⅱ），1ABuuur为平面1ABD法向量， x z

A

B C

D 1A

1C

1B O F

y