一、相关概念
1.导数的概念： f （x 0）=0
lim →∆x x
y
∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。 注意：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。如果x
y
∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。 2．导数的几何意义
函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。 相应地，切线方程为y －y 0=f /
（x 0）（x －x 0）。 3.导数的物理意义
若物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s '（t ）。
若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v ′（t ）。
二、导数的运算
1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数）
②()1
;n
n x
nx
-'=
③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x
x
e e '=
⑥()ln x x
a a a '=;
⑦; ⑧()1
l g log a a o x e x
'=
. 2．导数的运算法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
()1
ln x x
'=
即： (.)'
''v u v u ±=±
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('
'
'
uv v u uv +=
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，
再除以分母的平方：='
⎪⎭
⎫
⎝⎛v u 2
''v uv v u -（v ≠0）。 3.复合函数的导数
形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤： 分解——>求导——>回代。
法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X 或者[()]()*()f x f x ϕμϕ'''=.
三、导数的应用
1.函数的单调性与导数
（1）设函数)(x f y =在某个区间（a ，b ）可导，如果'
f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数；如果'
f 0)(f 0)(=x ，则)(x f 为常数。 2．极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3．最值：
在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a ，b ）内连续函数f （x ）不一定有最大值，例如3
(),(1,1)f x x x =∈-。
（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。
（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。
四、定积分
1.概念
设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点a ＝x0＝(ξi)△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式In 的极限叫做函
∑n
i f
1
＝
数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即⎰b a dx
x
f)
(
＝
∑
=
∞
→
n
i
n
f
1
lim
(ξi)△x。
这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。
基本的积分公式：⎰dx0
＝C；＝＋C
（m∈Q， m≠－1）；dx＝ln ＋C；＝x e＋C；
⎰dx
a x
＝a
a x
ln＋C；⎰xdx
cos
＝sinx＋C；
⎰xdx
sin
＝－cosx＋C （表中C均为常数）。
2.定积分的性质
①
⎰⎰
=
b
a
b
a
dx
x
f
k
dx
x
kf)
(
)
(
（k为常数）；
②；
③（其中a＜c＜b。
3.定积分求曲边梯形面积
由三条直线x＝a，x＝b（ax
f
S)
(
。
如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b （ab
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f)
(
)
(
2
1。
4.牛顿——布莱尼茨公式
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
⎰b a dx
x
f)
(
⎰dx
x m1
1
1
+
+
m
x
m
⎰
x
1
x ⎰dx
e x
⎰⎰⎰±
=
±
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f)
(
)
(
)
(
)
(
⎰⎰⎰+
=
b
a
c
a
b
c
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f)
(
)
(
)
()
b
a
f x dx F b F a
=-
⎰()()()
