两点间的距离及点到直线的距离等教案

第二章 直线和圆的方程 2.3.3 点到直线的距离公式教学设计一、教学目标1.探索并掌握点到直线的距离公式.2.理解点到直线的距离公式的推导公式并学会应用. 二、教学重难点 1、教学重点点到直线的距离公式及应用. 2、教学难点点到直线的距离公式的推导. 三、教学过程 1、新课导入一点与直线的位置关系有哪几种呢？点在直线上和点在直线外两种，那么直线外的点到直线的距离怎么求得呢？带着这样的疑问来进行本节课的学习. 2、探索新知如图，点P 到直线l 的距离，就是从点P 到直线l 的垂线段PQ 的长度，其中Q 是垂足.因此，求出垂足Q 的坐标，利用两点间的距离公式求出||PQ ，就可以得到点P 到直线l 的距离.设0A ≠，0B ≠.由PQ l ⊥，以及直线l 的斜率为AB-，可得l 的垂线PQ 的斜率为B A，因此，垂线PQ 的方程为()00By y x x A -=-，即00Bx Ay Bx Ay -=-.解方程组000Ax By C Bx Ay Bx Ay ++=⎧⎨-=-⎩①.得直线l 与PQ 的交点坐标，即垂足Q 的坐标为2200002222,B x ABy AC ABx A y BC A B A B ⎛⎫---+- ⎪++⎝⎭. 于是22220000002222||B x ABy AC ABx A y BC PQ x y A B A B ⎛⎫⎛⎫---+-=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()200002222Ax By C Ax By CA B A B++++==++因此，点()00,P x y 到直线0:l Ax By C ++=的距离0022Ax By C d A B++=+.可以验证，当A =0，或B =0时，上述公式仍然成立.上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大、反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗？由此能否给出简化运算的方法？在上述方法中，若设垂足Q 的坐标为（x ，y ），则()()2200||PQ x x y y =-+-②.对于②式，你能给出它的几何意义吗？结合方程组①，能否直接求出()()2200x x y y -+-，进而求出||PQ 呢？我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离？如图，点P 到直线l 的距离，就是向量PQ 的模. 设M （x ，y ）是直线l 上的任意一点，n 是与直线l 的方向向量垂直的单位向量，则PQ 是PM 在n 上的投影向量，||||PQ PM =⋅n .如何利用直线l 的方程得到与l 的方向向量垂直的单位向量n ？ 设()111,P x y ，()222,P x y 是直线0:l Ax By C ++=上的任意两点，则()121212,PP x x y y =--是直线l 的方向向量，把110Ax By C ++=，220Ax By C ++=两式相减，得()()21210A x x B y y -+-=.由平面向量的数量积运算可知，向量(,)A B 与向量2121(,)x x y y --垂直，向量221(,)A B A B+就是与直线l 的方向向量垂直的一个单位向量，我们取221(,)A B A B=+n ，从而()00221,(,)PM x x y y A B A B⋅=--⋅+n ()()00221A x x B y y A B⎡⎤=-+-⎣⎦+()00221Ax By Ax By A B=+--+.因为点M （x ，y ）在直线l 上，所以0Ax By C ++=.所以Ax By C +=-.代入上式，得)00PM Ax By C ⋅=---n .因此||||||PQ PQ PM ==⋅=n比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？学习课本例题加深对知识的理解和掌握. 3、课堂练习1.已知点()(),20a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a 等于( )1 1D.2答案：B解析：由点到直线的距离公式，得1=，即|1|a +=0a >，1a ∴，故选B.2.点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为( )A ．1 BCD ．2答案：B解析：记点(01)A -，，直线(1)y k x =+恒过点(10)B -，，当AB 垂直于直线(1)y k x =+时，点(01)A -，到直线(1)y k x =+的距离最大，且最大值为||AB B.7.已知直线l 过点()3,4P 且与点()()2,2,4,2A B --等距离，则直线l 的方程为 . 答案：23180x y +-=或220x y --=解析：当直线斜率不存在时，直线方程为2x =-，不符合题意，设直线斜率为k ，则直线l 的方程为()34y k x =-+，整理得430kx y k -+-=，点A 到直线的距离为B=，求得2k =或23-，∴直线l 的方程为：23180x y +-=或220x y --=，故答案为：23180x y +-=或220x y --=. 4、小结作业小结：本节课学习了点到直线的距离公式及应用.作业：完成本节课课后习题. 四、板书设计2.3.3 点到直线的距离公式点()00,P x y 到直线0:l Ax By C ++=的距离d =.点P 到直线l 的距离，就是向量PQ 的模，设M （x ，y ）是直线l 上的任意一点，n 是与直线l 的方向向量垂直的单位向量，则PQ 是PM 在n 上的投影向量，||||PQ PM =⋅n .||||||PQ PQ PM ==⋅=n。

人教版高中数学第二册(上) 7.3两条直线的位置关系之四《点到直线的距离》课堂设计仁寿一中唐和平一、教学目标:1、知识目标：熟练掌握并能运用点到直线的距离公式、平行线间的距离公式。

2、能力目标：(1) 掌握点到直线的距离公式及结构特点，能熟练运用公式解题；(2) 渗透数形结合、等价转化的思想，培养探究能力。

3、德育目标：在教学方式上，通过学生亲自推导公式，在做数学中学数学，发挥学生自主学习、在交流中互相帮助，互相促进。

二、教学重难点1、重点：掌握点到直线距离公式、平行线间的距离公式及应用；2、难点：点到直线距离公式的推导。

三、教法及学法：1、学情分析：(1) 学习与探求一个新知识对多数学生来说有一定的难度，故通过学习，有助于让学生在生活与工作中学会处理困难的能力；再者学生在此之前已经能够充分认识到用代数方法解几何问题的优越性，学生在学此节内容时会存在疑问：学习了点到直线的距离能够解决什么样的问题？因此在讲课前要将它的用途点明，充分激发学生的积极性和探知欲；(2) 学生在公式的推导过程中可能对直角三角形等积法求斜边上的高是怎么来的不太清楚，因此在课前要求学生复习平面几何中点到直线的距离及求距离的有关方法，在讲课时要重点强调这是数学上的一种等价转化的思想，此外点线距离转化为点点距离、平行线间的距离转化为点线距离同样渗透了这种思想。

2、教学方法：(1) 教具：由于本节课是数形结合的典范，故辅助使用Microsoft powerpoint课件,利用动画反映出图象的变化,其优点迅捷,形象生动；(2) 教法分析：高中数学新课程标准告诉我们：在教学方式上，要求发挥学生自主学习，在做数学中学数学，在交流中互相帮助，互相促进。

因此在课堂上引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，充分体现师生合作、师生互动的思想；(3) 学法指导：因为解析几何的特点,要求学生在学习中看、画、说、想、练五者有机的结合，“数有形，形有数，数形结合显神威”，所以数形结合法,练习法就成了本节课学生必采取的学习方法。

1.联系两点间距离公式的推导思路及公式推导的几何意义看点到直线距离公式的推导。

2.数形结合中对图的运用。

3.对建立直角三角形，运用勾股定理、等积法模型的熟悉程度。

4.对公式的理解，包括公式的特征及应用。

5.练习的完成程度。

1.解决问题思路多样性。

2.表述思路完整、有逻辑、表达清晰。

3.讨论积极主动，善于发现讨论过程中的问题。

4.课堂积极参与，提出问题。

1.生生互动，同学互相评价，提出问题。

2.师生互动，老师引导及最后补充和总结。

【温习旧知，建立新概念】1.回顾两点间的距离公式及公式推导的几何意义。

2.提出问题：“在铁路的附近，有一大型仓库。

现在要修建一条公路与之连接起来，那么怎样设计使公路最短？最短路程又是多少？”，根据学生已有的知识得到点到直线的距离的定义。

【设计意图】1.回顾两点间的距离公式及公式推导的几何意义，引导学生带着学过的知识看新的问题，进行知识迁移。

2.明确概念，增加学生探索新知的兴趣。

3.引导学生熟悉本堂内容与前沿知识的联系。

【学习目标，明确方向】1.展示本节课的学习目标：1、掌握点到直线的距离公式的推导过程。

2、能用点到直线的距离公式进行计算。

【设计意图】1.有利于学生后来有目的、有方向地学习，明确点到直线距离公式学习中的学习目标，调动积极性和主动性。

【讨论特例，得到思路】1.给出不含参数的特例题：已知点P（-1，2）和直线l：2x+y-10=0，求P点到直线l的距离。

让学生小组讨论得出思路。

2.学生对讨论出的思路进行评价，老师引导及最后补充和总结，思路不唯一。

【设计意图】1.由一道不含参的特例题引导学生得到解题思路，由易到难，保护学生兴趣，让更多的学生可以参与。

【特殊到一般，特例题的推广】1.从特殊到一般，将不含参的题目中已有的思路推广到一般情况。

2.重思路，轻计算。

让学生讲解自己的思路，如何得到各数据，但不计算，直接给出。

【设计意图】1.从特殊到一般，让学生更容易接受含参的问题。

两点间的距离公式教案【教案】教学目标：1.了解两点间距离的概念；2.掌握两点间距离公式的推导与应用；3.培养学生运用公式解决实际问题的能力。

教学重点：1.两点间距离公式的推导；2.两点间距离公式的应用。

教学难点：1.运用两点间距离公式解决实际问题；2.让学生理解公式的推导过程。

教学准备：1.教师准备悬挂式黑板和彩色粉笔；2.学生准备纸张和笔。

教学过程：Step 1: 引入新知1.教师可以通过两个同学之间的距离引入新知。

例如，让两名同学站在教室的两个不同角落，然后询问他们之间的距离是多少？为什么？2.引导学生思考和讨论两点间距离的概念和重要性。

Step 2: 推导两点间距离公式1.教师在黑板上写下两点的坐标，并标记为A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)。

2.引导学生思考如何计算两点间的距离，可以让学生想一想利用勾股定理是否可以解决这个问题。

3.提示学生使用勾股定理计算两点间的直线距离。

4.根据勾股定理，直线距离的平方等于两点之间的水平距离和垂直距离的平方之和。

即：d²=(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²。

5.教师可以解释勾股定理与两点间距离的关系，并引导学生将公式推导出来。

Step 3: 例题演练1.教师选择一些简单的例题进行讲解和演示，让学生理解并掌握两点间距离公式的运用。

2.学生可以互相出题，并在课堂上互相解答，以检验学生掌握程度。

Step 4: 实际问题应用1.教师提供一些实际问题，引导学生运用两点间距离公式解决问题，如：两个城市之间的直线距离、物体下落的距离等。

2.学生分组合作，解决实际问题，并向全班展示解题过程和答案。

Step 5: 总结反思1.教师与学生共同总结两点间距离公式的推导过程和应用方法。

2.教师引导学生思考如何运用所学知识解决更复杂的问题。

教学延伸：1.学生可以尝试将两点间距离公式推广到三维空间，探讨更复杂的问题。

2.学生可以进一步研究其他距离公式的推导和应用，如曲线上两点间的距离公式。