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量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著)习题答案

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第一章 量子力学的诞生 1.1设质量为m的粒子在谐振子势2221)(xmxV中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。

提示：利用 )]([2,,2,1,xVEmpnnhxdp

)(xV

解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为 ax （1）

其中a由下式决定：2221)(amxVEax。 a 0 a x 由此得 2/2mEa ， （2） ax即为粒子运动的转折点。有量子化条件

hnamamdxxamdxxmEmdxpaaaa222222222)21(22

得mnmnha22 （3） 代入（2），解出 ,3,2,1,nnEn

（4）

积分公式： cauauauduuaarcsin2222222

1.2设粒子限制在长、宽、高分别为cba,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为zyx,,轴方向，把粒子沿zyx,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有 ,3,2,1,xxxnhndxp

即 hnapxx2 （a2：一来一回为一个周期） ahnpxx2/,

同理可得， bhnpyy2/, chnpzz2/, ,3,2,1,,zyxnnn

粒子能量 

222222222222)(21cnbnanmpppmEzyx

zyxnnnzyx



,3,2,1,,zyxnnn 1.3设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。 提示：利用,,2,1,20nnhdp p是平面转子的角动量。转子的能量IpE2/2。 解：平面转子的转角（角位移）记为。 它的角动量.Ip（广义动量），p是运动惯量。按量子化条件 ,3,2,1,220mmhpdxp



mhp，

因而平面转子的能量 ImIpEm2/2/222

，

,3,2,1m 1.4有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.

(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是r,线速度是v,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是:

rmvcBev2 (1)

又利用量子化条件,令p电荷角动量 q转角 nhmrvmrvdpdq220 (2)

即 nhmrv (3) 由(1)(2)求得电荷动能=mcnBemv2212 再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能

=cBrevcc*****2场强线圈面积电流场强磁矩,v是电荷的旋转频率, rvv2,代入前式得 运动电荷的磁势能=mcnBe2 (符号是正的) 点电荷的总能量=动能+磁势能=E=mcnBe2 ( 3,2,1n )

1.5，1.6未找到答案

1.7（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律 2211sinsinnn

（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理0pdl 认为mvp则0pdl这将导得下述折射定律 1331sinsinnn

这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：2cEvp仍就成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有0pdl，你怎样解决矛盾？

（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A到定点B的路径是两段直线：光程

QBAQInn21 设A，B到界面距离是a,b(都是常量)有 2211secsecbaInn

又AB沿界面的投影c也是常数，因而1，2存在约束条件： cbtgatg21 （2）

求(1)的变分,而将1,2看作能独立变化的,有以下极值条件 0secsec22221111dtgbtgaIndn (3)

再求（2）的变分 0secsec222112cdbad (3)与(4)消去1d和2d得 2211sinsinnn (5)

[乙法]见同一图,取x为变分参数,取0为原点，则有: )(222221xcbxaInn

求此式变分,令之为零,有： 0)()(222221xcbxxcxaxxInn 这个式子从图中几何关系得知,就是(5). (2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度v应等于光波的群速度vG光程原理作0dlvG,依前题相速

vvGp

c2,而cncvvpG2,n是折射率,n是波前阵面更引起的,而波阵面速度则是相速度vp,这样最小作用

量原理仍可以化成最小光程原理. 0ndl

前一非难是将光子的传播速度v看作相速度vp的误解.

1.8对高速运动的粒子(静质量m)的能量和动量由下式给出:

222

1cvmcE (1)

2221cvmvp (2)

试根据哈密顿量 2242pccmEH (3) 及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.

(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:pqiiH,本题中vqi,ppi,因而

224222242

pccmpcpccmpv (4)

从前式解出p(用v表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式. 其次求粒子速度v和它的物质波的群速度vG间的关系.运用德氏的假设: kp于(3)式右方, 又用 E

于(3)式左方,遍除h:

)(22242kkccm

按照波包理论，波包群速度vG是角频率丢波数的一阶导数：

222

42kccmkvG

=22422222422pccmpckccmkc

最后一式按照（4）式等于粒子速度v，因而vvG。 又按一般的波动理论，波的相速度vG是由下式规定

kvp



（是频率）

利用（5）式得知

cckcmvp222

42

 （6）

故相速度（物质波的）应当超过光速。 最后找出vG和vp的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设：

vG

cvckpE22， vvGpc2 （7）

补充： 1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，

axaxxxV0,0,0,

)(

试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2nna

na/2 （1）

又据de Broglie关系 /hp

（2）

而能量

,3,2,12422/2/2222222222n

manam

nh

mmpE

（3）

[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(xmxV] (解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式:nhpdq

在量子化条件中,令xmp为振子动量,xq 为振子坐标,设总能量E 则 22222xmmPE )2(222xmEmp

代入公式得: nhdxxmEm)2(222 量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅OA的四倍,要决定振幅a,注意在A或B点动能为0,2221amE,(1)改写为: nhdxxamaa222 (2)

积分得:nham2 遍乘21得 

nh

E

2

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曾谨严量子力学习题解答4

曾谨严量子力学习题解答4


(
)
提示：由于 [ A, B ] = 0 ，可以找它们的共同本征函数。
B 解：（a） 如存在Hermite算符 A 、 ，使 U = A + iB ，则：
U + = A iB
容易解出
A= 1 + (U + U ) , 2
B=
i (U + U ) 2
B 显然这样确定的 A、 都是Hermite算符。
)
因此，利用波函数的正交性
(φm , φn ) = δ mn 和上式结果，有：
n ( n 1)δ m,n 2
x2 ) (
mn
= (φm , x 2φn )
= 1 2α 2
( n + 1)( n + 2 )δ m,n+ 2 + ( 2n + 1) δ mn +
4.《曾 p.244-46》
En = En
( 0)
n
q 2ε = mω 2
q 2ε 2 2mω 2
（2）
(0 En ) 为 ε = 0 时的能级，即自由谐振子的能级：
1 ( En0) = n + hω , n = 0,1, 2,L 2 将式（3）代入式（2），最后得到能级公式：
（3）
1 q 2ε 2 En = n + hω 2 2mω 2
En λ = λ m
积分，即得
En =
λ2
2m
+C
（3）
( 0) ( 0) C 为积分常数。由于 λ = 0 时，H = H 0 , En = En ，所以 C = En ，代入式（3）
即得:
( En = En0)
λ2
曾谨言量子力学练习题答案

曾谨言量子力学练习题答案

曾谨言量子力学练习题答案量子力学是物理学中描述微观粒子行为的一门基础理论，它在20世纪初由普朗克、爱因斯坦、波尔、薛定谔、海森堡等科学家共同发展起来。

曾谨言教授的量子力学练习题是帮助学生深入理解量子力学概念和计算方法的重要工具。

以下是一些练习题及其答案的示例：练习题1：波函数的归一化某粒子的波函数为 \( \psi(x) = A \sin(kx) \)，其中 \( A \) 和\( k \) 是常数。

求波函数的归一化常数 \( A \)。

答案：波函数的归一化条件为 \( \int |\psi(x)|^2 dx = 1 \)。

将\( \psi(x) \) 代入归一化条件中，得到：\[ \int |A \sin(kx)|^2 dx = 1 \]\[ A^2 \int \sin^2(kx) dx = 1 \]利用三角恒等式 \( \sin^2(kx) = \frac{1 - \cos(2kx)}{2} \)，积分变为：\[ A^2 \int \frac{1 - \cos(2kx)}{2} dx = 1 \]\[ A^2 \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin(2kx)}{4k} \right] = 1 \]由于波函数在 \( x = 0 \) 到 \( x = \frac{\pi}{k} \) 之间归一化，所以：\[ A^2 \left[ \frac{\pi}{2k} - 0 \right] = 1 \]\[ A = \sqrt{\frac{2k}{\pi}} \]练习题2：薛定谔方程的解考虑一个一维无限深势阱，其势能 \( V(x) = 0 \) 当 \( 0 < x < a \)，\( V(x) = \infty \) 其他情况下。

求粒子的能级。

答案：在无限深势阱中，薛定谔方程为：\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]设 \( \psi(x) = \sin(kx) \)，其中 \( k = \frac{n\pi}{a} \)，\( n \) 为正整数。

附量子力学答案 曾谨言

附量子力学答案 曾谨言


目录 退出 16
二．普朗克量子论的提出
Planck量子论:
对于一定频率的辐射，物体只
能以 能量单位h 不连续地发射或吸
收辐射能量。h 为Planck常数,能量单
位h 称为能量子。
Planck于1900年12月14日在德
国物理学会上报告了这个理论的推导，
以及根据辐射实验定出了Planck常
数。这日被定为量子理论的诞生日。
1 uv2 2
hv w0
阿尔伯特-爱因斯坦(1879-1955） 因发现光电效应定律，荣获了1921年 诺贝尔物理学奖 目录 退出 20
0.1.3 原子问题——Bohr(玻尔)的原子理论
一、原子模型问题
1、汤姆逊（J. J. Thomson）的原子模型：
正电荷均匀分布在原子中，而电子则以某种规律镶嵌其中。 ——局限在于无法解释原子散射实险中的大角度偏转现象。
该公式在低频段部分与实验曲线相符合，而在高频段有明显偏离（当 v 时，
Ev 成为发散的，即紫外发散困难）。
目录 退出 14
（三）普朗克（Planck）公式 普朗克分别从瑞利公式和维恩公式求出其能量的涨落，并将二者
相加作为插值公式的能量涨落，从而得出插值公式，即普朗克公式：
Evdv
c1v3dv exp(c2vT )
2、卢瑟福（E. Rutherford）的有核原子模型：
卢瑟福于1911年用 粒子对原子的散射，提出了有核原子模型：
原子的正电荷及大部分质量都集中在很小的原子中心，形成原子核，而电
子则围绕原子核旋转，该模型能很好地解释 粒子的大角度偏转问题，但
不能解释原子的稳定性问题和原子的大小问题。
目录 退出 21
量子力学 (Quantum Mechanics)
量子力学曾谨言习题解答第四章

量子力学曾谨言习题解答第四章

（12）
这个叠加式中，D和 都有两个指标，第一个是量子数 ，第二个是量子数 ，从（12）可以看出在 的状态中， 取各种可能测值的几率如下表：
的本征值
2
0
-
-2
相应的几率
+
+
+
诸D的计算有两种方法，第一法是直接法，此法是从方程组（7）中解出，我们需要的 ，而用 的本征函数 ， ， 的项表示它，这方法是初等的，结果
再将文字A，B对易得
（5）证明
（证明）本题的证法与题四的第一法完全相同，只是条件A，B与[A，B]对易一点不能使用，即
从原来的对易式经过总数n-1次运算后，得
取A=q，B=p，注意[q，p]=hi代入前一式后，有
(6)证明 是厄密算符
证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质
是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。
当
因此：
现在利用前二式来证明题给一式的x分量的关系成立，该式左方：
86-87
利用（1）和（2）得
同理可得
综合3式得
[4]设算符A，B与它们的对易式[A，B]都对易。证明
(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：
按题目假设
另一方法是根据厄密算符的定义：
用于积分最后一式：
前式=
说明题给的算符满足厄密算符定义。
（7）证 (A等是实数)是厄密算符
（证明）此算符F( )不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则
运用这个关系于下面的计算：
满足厄密算符的定义。
（8）证明 （ 实数）是厄密算符。
（证明）方法同前题，假定已经证明 , 都是厄密算符，即：