历年考研微积分(高数)填空题汇总(2004

B 2004 − 2 A2 =
．
⎛3 0 0 ⎞
【答】
⎜ ⎜
0
3
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 −1⎟⎠
【详解】因为
⎜⎛ −1 A2 = ⎜ 0
0 −1
0 ⎟⎞ 0⎟ ,
B 2004 = P −1 A2004 P .
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠
故
B 2004 = P −1 ( A2 )1002 P = P −1EP = E ,
∑ Y
=
1 n
n i =1
Xi
，
则
(A)
D( X 1
+
Y
)
=
n
+ n
2
σ
2
．
(B)
D( X 1
−Y)
=
n
+ n
2
σ2
．
(C)
Cov( X1,Y )
=
σ2 n
．
(D) Cov( X1,Y ) = σ 2 ．
【答】 [C]
【详解】 由于随机变量 X1, X 2 ,", X n (n > 1) 独立同分布, 于是可得
由极限的保号性，至少存在一点 x0 ∈ (a,b)
使得
f
(x0 ) x0
− −
f (a) a
>
0 ，即
f
(x0 )
>
f
(a) .
同理，至少存在一点 x0 ∈ (a,b) 使得 f (x0 ) > f (b) .
所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).
(12) 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价, 则必须 (A) 当| A |= a(a ≠ 0) 时, | B |= a . (B) 当| A |= a(a ≠ 0) 时, | B |= −a .

2004年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim0b x ae xxx，则a =______，b =______.(2) 设函数 f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) 0，则2fu v.(3) 设21,12121,)(2xx xex f x，则212(1)f x dx.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f 的秩为.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则}{DX XP _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和2,,21nY Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n iji j X X Y Y En n .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)函数2)2)(1()2sin(||)(xx x x x x f 在下列哪个区间内有界.(A) ( 1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ](8) 设f (x)在(, +)内有定义，且a x f x)(lim ，0,00,)1()(xx x f x g ，则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点. (D) g(x)在点x = 0处的连续性与a 的取值有关.[](9) 设f (x) = |x(1 x)|，则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (D) x = 0不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. [](10) 设有下列命题：(1) 若1212)(n n nu u 收敛，则1n n u 收敛.(2) 若1n n u 收敛，则11000n nu 收敛.(3) 若1lim1nn nu u ，则1n n u 发散.(4) 若1)(n n nv u 收敛，则1n n u ，1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).[](11) 设)(x f 在[a , b]上连续，且0)(,0)(b f a f ，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点),(0b a x ，使得)(0x f > f (a). (B) 至少存在一点),(0b a x ，使得)(0x f > f (b). (C) 至少存在一点),(0b a x ，使得0)(0x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ，使得)(0x f = 0.[ D ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||aa A 时, a B ||. (B) 当)0(||a a A 时, a B ||.(C) 当0||A 时, 0||B . (D) 当0||A 时, 0||B .[](13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax的基础解系(A) 不存在.(B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(α, 数αu 满足αu X P α}{,若αx X P }|{|, 则x 等于(A)2αu .(B)21αu. (C)21αu .(D)αu 1.[ ] 三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 222xx xx.(16) (本题满分8分)求Ddy yx)(22，其中D 是由圆422yx和1)1(22yx 所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足x ax adt t g dtt f )()(，x [a , b)，b ab adt t g dt t f )()(.证明：b ab adx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 5P ，其中价格P (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR (其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分)设级数)(864264242864x xxx的和函数为S (x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式. (20)(本题满分13分)设Tα)0,2,1(1, Tααα)3,2,1(2, T b αb α)2,2,1(3, Tβ)3,3,1(,试讨论当b a,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.(21) (本题满分13分)设n 阶矩阵111bb b b b b A.(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1为对角矩阵.(22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(A P , 31)|(A B P , 21)|(B A P , 令不发生，，发生，A A X0,1.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数XY ρ;(Ⅲ) 22Y XZ的概率分布.(23) (本题满分13分) 设随机变量X 的分布函数为，，，αxαx xαβαx F β0,1),,(其中参数1,0βα. 设n X X X ,,,21为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1α时, 求未知参数β的最大似然估计量;(Ⅲ) 当2β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2004年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim0b x ae xxx，则a =1，b =4.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为5)(cos sin lim0b x ae xxx ，且0)(cos sin lim 0b xx x，所以0)(lim 0a exx，得 a = 1. 极限化为51)(cos lim)(cos sin lim0b b x xx b x ae xxxx，得b = 4.因此，a = 1，b = 4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝A ，(1) 若g(x) 0，则f (x)0；(2) 若f (x)0，且A 0，则g(x)0.(2) 设函数 f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) 0，则)()(22v g v g vu f .【分析】令u = xg(y)，v = y ，可得到 f (u , v)的表达式，再求偏导数即可.【详解】令u = xg(y)，v = y ，则 f (u , v) =)()(v g v g u ，所以，)(1v g uf ，)()(22v g v g vu f .(3) 设21,12121,)(2xx xex f x，则21)1(221dxx f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x 1 = t ，121121221)()()1(dtx f dtt f dxx f ＝21)21(0)1(12121212dx dxxe x.【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f 的秩为2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f 323121232221222222x x x x x x x x x 于是二次型的矩阵为211121112A , 由初等变换得33021133330211A ,从而2)(A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f 323121232221222222x x x x x x x x x 2322321)(23)2121(2x x x x x 2221232y y , 其中,21213211x x x y 322x x y .所以二次型的秩为2.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则}{DX X P e1.【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】由于21λDX, X 的分布函数为.0,0,0,1)(xx e x F xλ故}{DX X P }{1DX X P }1{1λXP )1(1λF e1.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X En j jn i i.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为2121])(11[1σX X n E n ii, 2122])(11[2σY Y n E n j j,故应填2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)函数2)2)(1()2sin(||)(xx x x x x f 在下列哪个区间内有界.(A) ( 1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2). (D) (2 , 3).[ A ]【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限)(limx f ax与)(lim x f bx存在，则函数 f (x)在(a , b)内有界.【详解】当x 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而183sin )(lim1x f x，42sin )(limx f x，42sin )(limx f x，)(lim 1x f x，)(lim 2x f x，所以，函数f (x)在( 1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数 f (x)在闭区间[a , b]上连续，则f (x)在闭区间[a , b]上有界；如函数 f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限)(limx f ax与)(limx f bx存在，则函数 f (x)在开区间(a , b)内有界. (8) 设f (x)在(, +)内有定义，且a x f x)(lim ，,00,)1()(xx x f x g ，则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点. (D) g(x)在点x = 0处的连续性与a 的取值有关.[ D ]【分析】考查极限)(lim 0x g x是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元xu1，可将极限)(lim 0x g x转化为)(lim x f x.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 00u f xf xg ux x= a(令xu1)，又g(0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x，即g(x)在点x = 0处连续，当a 0时，)0()(lim 0g x g x，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9) 设f (x) = |x(1 x)|，则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (D) x = 0不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点.[ C ]【分析】由于 f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < < 1，当x(, 0) (0 , )时，f (x) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的极小值点.显然，x = 0是f (x)的不可导点. 当x (, 0)时，f (x) = x(1 x)，02)(x f ，当x(0 , )时，f (x) = x(1 x)，02)(x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查 f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(10) 设有下列命题：(1) 若1212)(n n nu u 收敛，则1n n u 收敛.(2) 若1n n u 收敛，则11000n nu 收敛.(3) 若1lim1nn nu u ，则1n n u 发散.(4) 若1)(n n nv u 收敛，则1n n u ，1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).[ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令nnu )1(，显然，1n n u 分散，而1212)(n n nu u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim1n n nu u 可得到n u 不趋向于零(n )，所以1n n u 发散.(4)是错误的，如令nv nu nn1,1，显然，1n n u ，1n n v 都发散，而1)(n n nv u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设)(x f 在[a , b]上连续，且0)(,0)(b f a f ，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点),(0b a x ，使得)(0x f > f (a). (B) 至少存在一点),(0b a x ，使得)(0x f > f (b). (C) 至少存在一点),(0b a x ，使得0)(0x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知)(x f 在[a , b]上连续，且0)(,0)(b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ，使得0)(0x f ；另外，0)()(lim)(axa f x f a f ax ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x 使得0)()(00ax a f x f ，即)()(0a f x f . 同理，至少存在一点),(0b a x 使得)()(0b f x f . 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||aa A 时, a B ||. (B) 当)0(||a a A 时, a B ||.(C) 当0||A 时, 0||B . (D) 当0||A 时, 0||B .[ D ]【分析】利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r 立即可得.【详解】因为当0||A 时, n A r )(, 又A 与B 等价, 故n B r )(, 即0||B , 故选(D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*A若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax的基础解系(A) 不存在.(B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ B ]【分析】要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】因为基础解系含向量的个数=)(A r n, 而且.1)(,0,1)(,1,)(,)(*nA r n A r n A r n A r 根据已知条件,0*A于是)(A r 等于n 或1n . 又b Ax有互不相等的解,即解不惟一, 故1)(nA r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(α, 数αu 满足αu XP α}{, 若αx X P }|{|, 则x 等于(A)2αu .(B)21αu. (C)21αu .(D)αu 1.[ C ]【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】由αx X P }|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P . 故正确答案为(C).【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分) 求)cos sin 1(lim 222xx xx.【分析】先通分化为“0”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】xx x x x xx xxx222220222sin cos sin lim)cos sin 1(lim =346)4(21lim 64cos 1lim44sin 212lim 2sin 41lim220230422xx xx xxx x x xx xx x.【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16) (本题满分8分) 求Ddy yx)(22，其中D 是由圆422y x 和1)1(22y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221yx y x D 减去小圆}1)1(|),{(222yx y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221y x y x D y x y x D ，由对称性，0D yd.21222222D D Ddy x dy x dy xcos 20223220220dr r d dr r d.)23(916932316所以，)23(916)(22Ddy yx .【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.(17) (本题满分8分)设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足x ax adt t g dtt f )()(，x [a , b)，b ab adt t g dt t f )()(.证明：b ab adx x xg dx x xf )()(.【分析】令F(x) = f (x) g(x)，x a dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解】令F(x) = f (x) g(x)，x adt t F x G )()(，由题设G(x) 0，x[a , b]，G(a) = G(b) = 0，)()(x F x G . 从而b ab ab ab ab adx x G dxx G x xG x xdG dxx xF )()()()()(，由于G(x) 0，x [a , b]，故有0)(b adx x G ，即0)(b adxx xF .因此b ab adx x xg dx x xf )()(.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 5P ，其中价格P (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR (其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0，所以dP dQQ P E d；由Q = PQ 及dPdQQ P E d可推导)1(d E Q dPdR .【详解】(I)PPdP dQ Q P E d20.(II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dPdQ PQ dPdR .又由120PPE d，得P = 10.当10 < P < 20时，d E > 1，于是0dPdR ，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.【评注】当d E > 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d.利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dRd )1(，Q E dpdR d )1(，p E dQdR d)11(，d E EpER 1(收益对价格的弹性).(19) (本题满分9分)设级数)(864264242864x xxx的和函数为S (x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式.【分析】对S (x)进行求导，可得到S (x)所满足的一阶微分方程，解方程可得S(x)的表达式.【详解】(I) 864264242)(864xxxx S ，易见S(0) = 0，642422)(753xxxx S )642422(642xxxx )](2[2x S xx .因此S(x)是初值问题0)0(,23y xxyy 的解.(II) 方程23xxyy 的通解为]2[3C dx exey xdxxdx22212xCex，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故12222x exy，因此和函数12)(222x exx S .【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题.(20)(本题满分13分)设Tα)0,2,1(1, Tααα)3,2,1(2, T b αb α)2,2,1(3, Tβ)3,3,1(,试讨论当b a,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk 332211是否有解的问题即易求解.【详解】设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk 332211. (*)记),,(321αααA. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有323032221111),(ba ab a βA 0101111ba b a . (Ⅰ) 当0a 时, 有11001111),(b βA .可知),()(βA r A r . 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ) 当0a, 且b a时, 有101111),(ba b a βA 01101011001aa3),()(βA r A r , 方程组(*)有唯一解：ak 111, ak 12,03k ．此时β可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为211)11(αa αa β．(Ⅲ) 当0ba 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有101111),(bab a βA 0111011001aa，2),()(βA r A r , 方程组(*)有无穷多解，其全部解为ak 111, c ak 12, c k 3，其中c 为任意常数．β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一,其表示式为321)1()11(αc αc aαa β．【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000).(21) (本题满分13分)设n 阶矩阵111bb b b b b A.(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P1为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程0||A Eλ和齐次线性方程组0)(x A E λ来解决.【详解】(Ⅰ)1当0b 时，111||λbbb λb b b λA Eλ＝1)]1(][)1(1[n b λb n λ,得A 的特征值为b n λ)1(11，b λλn 12．对b n λ)1(11，bn bbb bn b b b bn AEλ)1()1()1(1)1(111)1(111)1(n n n 0000111111111111n n n 000111111111111n n n 0000001111n n n n n 00110010101001解得Tξ)1,,1,1,1(1，所以A 的属于1λ的全部特征向量为Tk ξk )1,,1,1,1(1(k 为任意不为零的常数)．对b λ12，bbbb b b b b bAEλ200000111得基础解系为Tξ)0,,0,1,1(2，Tξ)0,,1,0,1(3，Tn ξ)1,,0,0,1(,．故A 的属于2λ的全部特征向量为nn ξk ξk ξk 3322(n k k k ,,,32是不全为零的常数)．2当0b时，nλλλλA Eλ)1(1010001||,特征值为11nλλ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ) 1当0b时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP ，则bbbn APP 11)1(112当0b时，E A，对任意可逆矩阵P , 均有E APP 1．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况.(22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(A P , 31)|(A B P , 21)|(B A P , 令不发生，，发生，A A X0,1.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数XY ρ;(Ⅲ) 22Y XZ的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】(Ⅰ) 因为121)|()()(A B P A P AB P ，于是61)|()()(B A P AB P B P ，则有121)(}1,1{AB P Y X P ，61)()()(}0,1{AB P A P B A P Y X P ，121)()()(}1,0{AB P B P B A P Y X P ，32)]()()([1)(1)(}0,0{AB P B P A P B A P B A P YXP ，( 或32121611211}0,0{YXP )，即),(Y X 的概率分布为：Y X10 13212161121(Ⅱ)方法一：因为41)(A P EX ，61)(B P EY ，121)(XY E ，41)(2A P EX ，61)(2B P EY，163)(22EX EXDX，165)(22EY EY DY，241)(),(EXEYXY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数1515151),(DYDX Y X Cov ρXY．方法二：X, Y 的概率分布分别为X 01Y 01P4341P6561则61,41EYEX，163DX，DY=365, E(XY)=121,故241)(),(EYEX XY E Y X Cov ，从而.1515),(DYDX Y X Cov XY(Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{Y X P Z P ，41}1,0{}0,1{}1{Y X P Y X P Z P ，121}1,1{}2{YXP ZP ，即Z 的概率分布为：Z 0 12P3241121【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型(23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为，，，αxαx xαβαx F β0,1),,(其中参数1,0βα. 设n X X X ,,,21为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1α时, 求未知参数β的最大似然估计量;(Ⅲ) 当2β时, 求未知参数α的最大似然估计量. 【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数,从而先由分布函数求导得密度函数.【详解】当1α时, X 的概率密度为，，，101,),(1xx xββx f β(Ⅰ) 由于11,1);(ββdxxβxdxβx xf EX β令X ββ1,解得1X X β,所以, 参数β的矩估计量为1XX β.(Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21, 似然函数为ni i βn ni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他当),,2,1(1n i x i 时, 0)(βL , 取对数得ni i x ββn βL 1ln )1(ln )(ln ,对β求导数，得ni i x βn βd βL d 1ln )]([ln ，令0ln )]([ln 1ni ix βn βd βL d ，解得ni ix nβ1ln ，于是β的最大似然估计量为ni ix nβ1ln ?．( Ⅲ) 当2β时, X 的概率密度为，，，αxαx xαβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21, 似然函数为ni in nni n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他当),,2,1(n i αx i时, α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为},,,min{?21n x x x α,于是α的最大似然估计量为},,,min{?21n X X X α．。

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 若0sin lim(cos )5x x xx b e a→-=-，则a =，b =.(2) 设1ln arctan 22+-=x xxe e e y ，则1x dy dx ==.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4) 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100001010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵, 则200422B A -=．(5) 设()33⨯=ij a A 是实正交矩阵，且111=a ，Tb )0,0,1(=，则线性方程组b Ax =的解是．(6) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P .二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界( ) (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).(8) 设f (x )在(,)-∞+∞内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则( )(A)0x =必是()g x 的第一类间断点. (B) 0x =必是()g x 的第二类间断点. (C) 0x =必是()g x 的连续点.(D) ()g x 在点0x =处的连续性与a 的取值有关.(9) 设()(1)f x x x =-, 则 ( )(A) 0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. (B) 0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (C) 0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (D) 0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.(10) 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则 ( )(A) ()F x 在0x =点不连续.(B) ()F x 在(,)-∞+∞内连续，但在0x =点不可导. (C) ()F x 在(,)-∞+∞内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) ()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.(11) 设)(x f '在[,]a b 上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是( )(A) 至少存在一点0(,)x a b ∈，使得)(0x f >()f a . (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > ()f b . (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有( )(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B .(13) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于( ) (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1.(14) 设随机变量)1(,,,21>n X X X n Λ独立同分布，且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11，则( )(A) Cov(.),21nY X σ= (B) 21),(σ=Y X Cov .(C) 212)(σn n Y X D +=+. (D) 211)(σnn Y X D +=-.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设(,)f u v f (u , v )具有连续偏导数，且满足(,)(,)u v f u v f u v uv ''+=. 求),()(2x x f e x y x -=所满足的一阶微分方程，并求其通解. (18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中价格(0,20)P ∈，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分)设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-0,0,)(22x ex e x F x x ，S 表示夹在x 轴与曲线()y F x =之间的面积. 对任何0t >，)(1t S 表示矩形t x t -≤≤，0()y F x ≤≤的面积. 求(I) ()S t = S -)(1t S 的表达式； (II) ()S t 的最小值.(20) (本题满分13分)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++=+++,14)4()2(3,022,0432143214321x x μx λx x x x x x x μx λx 已知T)1,1,1,1(--是该方程组的一个解，试求(I) 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (II) 该方程组满足32x x =的全部解． (21) (本题满分13分)设三阶实对称矩阵A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值．若Tα)0,1,1(1=,T α)1,1,2(2=, T α)3,2,1(3--=, 都是A 的属于特征值6的特征向量．(I) 求A 的另一特征值和对应的特征向量； (II) 求矩阵A ．(22) (本题满分13分)设A ,B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求：(I) 二维随机变量),(Y X 的概率分布;(II) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (III) 22Y X Z +=的概率分布.(23) (本题满分13分)设随机变量X 在区间)1,0(内服从均匀分布，在)10(<<=x x X 的条件下，随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布，求(I) 随机变量X 和Y 的联合概率密度；(II) Y 的概率密度； (III) 概率}1{>+Y X P ．2004年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(1)【答案】1,4a b ==-【详解】本题属于已知极限求参数的反问题. 方法1：根据结论：)()(limx g x f ＝A ，(1) 若()0g x →，则()0f x →；(2) 若()0f x →，且0A ≠，则()0g x →因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以0)(lim 0=-→a e x x (否则根据上述结论(2)给极限是0，而不是5)，由 0lim()lim lim 10xxx x x e a e a a →→→-=-=-=得a = 1.极限化00sin lim(cos )lim (cos )151x x x x xx b x b b e x→→- -=-=-等价无穷小，得b = -4.因此，a = 1，b = -4.方法2：由极限与无穷小的关系，有sin (cos )5x xx b e aα-=+-，其中0lim 0x α→=，解出 (5)(cos )sin ,5x e x b xa αα+--=+上式两端求极限，000(5)(cos )sin (cos )sin limlim lim 10155x x x x x e x b x x b xa e ααα→→→+---==-=-=++ 把a = 1代入，再求b ，(5)(1)cos sin x e b x xα+-=-，两端同时对0x →取极限，得0(5)(1)lim(cos )sin x x e b x xα→+-=-000(5)(1)(5)limcos lim 1lim 15sin x x x x e x x x xαα→→→+-+=-=-=-4=- 因此，a = 1，b = -4.(2)【答案】211e e -+. 【详解】因为()()()222222111ln ln 12ln 1ln 11222x x xx x x e e e x e x e e ⎡⎤⎡⎤=-+=-+=-+⎣⎦⎣⎦+ 由 1ln arctan 22+-=x x xe e e y ，得 )1ln(21arctan 2++-=xx e x e y ，所以 222222222()1()1211112112111x x x x x xx x x x x xe e e e e e y e e e e e e '''=-+=-+=-+++++++，所以22222221111111111x x x x x x dye e e e e dxe e e e e ==⎛⎫-=-+=-+= ⎪+++++⎝⎭.(3)【答案】12- 【详解】方法1：作积分变换，令1x t -=，则11:2:122x t →⇒-→ 所以211122(1)()f x dx f t dt --=⎰⎰＝1121122()(1)f t dt dt -+-⎰⎰22211112222111122221111(1)(1)2222xx xxe dx dx e dx e ---=+-=--=-⎰⎰⎰11022=-=.(也可直接推出212120x xe dx -=⎰，因为21212x xe dx -⎰积分区间对称，被积函数是关于x 是奇函数，则积分值为零) 方法2：先写出的(1)f x -表达式()()21111,122(1)11,12x x e x f x x -⎧--≤-<⎪⎪-=⎨⎪- -≥⎪⎩即：2(1)13(1),22(1)31,2x x e x f x x -⎧-≤<⎪⎪-=⎨⎪-≥⎪⎩所以2322(1)2131222(1)(1)(1)x f x dx x edx dx --=-+-⎰⎰⎰2233(1)2(1)2211221311(1)22222x x e d x e --⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭⎰11441111()02222e e =--=-=-.(4)【答案】⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100030003【详解】因为2A 010010100100001001--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭100010001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，为对角阵，故有422100100()010*********A A E --⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以 211B P APP AP --=11()P A PP AP --=12,,P A P -=L200412004B P A P -=()50114P A P -=11P EP P P --==E =所以 200422B A -1002010001E -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭300030001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.(5)【答案】T)0,0,1( 【详解】方法1：设12132122233132331a a A a a a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，是正交矩阵，故的每个行(列)向量都是单位向量 所以有 22121311a a ++=，22213111a a ++=，得121321310,0.a a a a ====故 2223323310000A a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又由正交矩阵的定义T AA E =知A 是可逆矩阵，且1TA A -=. 则b Ax =，有唯一解.1x A b -=T A b =2232233310011000000a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法2：同方法1，求得111=a 的正交阵为2223323310000A a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 是正交阵，由正交矩阵的性质可知，11A =-或不等于零，故A 22231122233233323310(1)0a a a a a a a a +==-222332330a a a a =≠，即有222332330a a a a ≠，则原方程b Ax =为1222233322333100x a x a x a x a x =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解得1231,0x x x ===，即方程组有唯一解. (其中，由222332330a a a a ≠及齐次线性方程组0Ax =只有零解的充要条件是0A ≠，可知，方程组22223332233300a x a x a x a x +=⎧⎨+=⎩ 只有零解，故230x x ==. 进而1222233322333100x a x a x a x a x =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的解为1231,0x x x ===.)(6) 【答案】e1 【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算. 指数分布的概率密度为,0()00x e x f x x λλ-⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若若，其方差21λ=DX .于是，由一维概率计算公式，{}()bX aP a X b f x dx ≤≤=⎰，有}{DX X P >=dx e X P x ⎰+∞-=>λλλλ1}1{=11xe eλλ+∞--=二、选择题 (7)【答案】(A) 【详解】方法1：如果()f x 在(,)a b 内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数()f x 在(,)a b 内有界.当x ≠ 0 , 1 , 2时()f x 连续，而2211sin(2)sin(12)sin 3lim ()lim (1)(2)(11)(12)18x x x x f x x x x ++→-→------===-------，220sin(2)sin(02)sin 2lim ()lim (1)(2)(01)(02)4x x x x f x x x x --→→----===-----，22sin(2)sin(02)sin 2lim ()lim (1)(2)(01)(02)4x x x x f x x x x ++→→--===----， 22111sin(2)sin(12)lim ()limlim (1)(2)(1)(12)x x x x x f x x x x x →→→--===∞----，222222sin(2)sin(2)1lim ()limlim lim (1)(2)(2)2x x x x x x x f x x x x x x →→→→--====∞----， 所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).方法2：因为0lim ()x f x -→存在，根据函数极限的局部有界性，所以存在0δ>，在区间[,0)δ-上()f x 有界，又如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界，根据题设()f x 在[1,]δ--上连续，故()f x 在区间上有界，所以()f x 在区间(1,0)-上有界，选(A).(8)【答案】 (D) 【详解】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如果存在，是否等于g (0)，通过换元xu 1=， 可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.因为 011lim ()lim ()lim ()x x u g x f u f u x x→→→∞= = = a ，又(0)0g =，所以， 当0a =时，)0()(lim 0g x g x =→，即()g x 在点0x =处连续，当0a ≠时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即0x =是()g x 的第一类间断点，因此，()g x 在点0x =处的连续性与a 的取值有关，故选(D).(9) 【答案】C【详解】由于是选择题，可以用图形法解决，也可用分析法讨论.方法1：由于是选择题，可以用图形法解决, 令()(1)x x x ϕ=-，则211()24x x ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，是以直线12x =为对称轴，顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，开口向上的一条抛物线，与x 轴相交的两点坐标为()()0,0,1,0，()()y f x x ϕ==的图形如图.点0x =是极小值点；又在点(0,0)左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，所以点(0,0)是拐点，选C.方法2：写出()y f x =的分段表达式： ()f x =(1),10(1),01x x x x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩,从而()f x '=12,1012,01x x x x -+-<<⎧⎨-<<⎩, ()f x ''=2,102,01x x -<<⎧⎨-<<⎩,()0lim ()lim 1210x x f x x ++→→'=-=>，所以01x <<时，()f x 单调增， ()00lim ()lim 1210x x f x x --→→'=-+=-<，所以10x -<≤时，()f x 单调减， 所以0x =为极小值点.当10x -<<时, ()20f x ''=>，()f x 为凹函数； 当10x >>时,()20f x ''=-<，()f x 为凸函数, 于是(0,0)为拐点.(10)【答案】 (B)【详解】先求分段函数()f x 的变限积分⎰=xdt t f x F 0)()(，再讨论函数()F x 的连续性与可导性即可.方法1：关于具有跳跃间断点的函数的变限积分，有下述定理：设()f x 在[,]a b 上除点(),c a b ∈ 外连续，且x c =为()f x 的跳跃间断点，又设()()xcF x f t dt =⎰，则(1)()F x 在[],a b 上必连续；(2))()(x f x F ='，当[],x a b ∈ ，但x c ≠；(3)()F c '必不存在，并且()(),()()F c f c F c f c +-+-''= =直接利用上述结论，这里的0c =，即可得出选项(B)正确. 方法2：当0x <时，x dt x F x-=-=⎰0)1()(；当0x >时，x dt x F x==⎰01)(，当0x =时，(0)0F =. 即()F x x =，显然，()F x 在(,)-∞+∞内连续，排除选项(A)，又0(0)lim 10x x F x ++→-'==-，0(0)lim 10x x F x --→--'==--，所以在0x =点不可导. 故选 (B).(11)【答案】(D) 【详解】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，或应用举例法找出错误选项. 方法1：举例说明(D)是错误的. 例：2()4,11f x x x =--≤≤，11(1)220,(1)220x x f x f x =-=''-=-=>=-=-<.但在[1,1]-上()30f x ≥>.方法2：证明(A)、(B)、(C)正确.由已知)(x f '在[,]a b 上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ，所以选项(C)正确；另外，由导数的定义0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，根据极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >，所以选项(A)正确.同理，()()()lim 0x bf b f x f b b x-→-'=<-，根据极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以选项(B)正确，故选(D).(12)【答案】(D ) 【详解】方法1：矩阵等价的充分必要条件：矩阵A 与B 等价⇔A ,B 是同型矩阵且有相同的秩,故由A 与B 等价，知A 与B 有相同的秩.因此，当0||=A 时, n A r <)(, 则有n B r <)(, 即0||=B , 故选(D).方法2：矩阵等价的充分必要条件：A 与B 等价⇔存在可逆,P Q ，使得PAQ B =. 两边取行列式，由矩阵乘积的行列式等于行列式的积，得PAQ P A Q B ==. ,P Q 可逆，由矩阵A 可逆的充分必要条件：0A ≠，故00P Q ≠≠，但不知具体数值.由P A Q B =，知0A ≠时，B 不能确定.但0A =有0B =.故应选(D).方法3：由经过若干次初等变换变为矩阵的初等变换对矩阵的行列式的影响有：(1)A 中某两行(列)互换得B ，则B A =-. (2)A 中某行(列)乘(0)k k ≠得B ，则B k A =. (3)A 中某行倍加到另一行得B ，则B A =.又由A 与B 等价，由矩阵等价的定义：矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B ，则称A 与B 等价，知.B k A =±故当0A ≠时，0B k A =±≠，虽仍不等于0，但数值大、小、正负要改变，但0||=A ，则0B =，故有结论：初等变换后，矩阵的行列式的值要改变，但不改变行列式值的非零性，即若0||=A 0B ⇒=，若0A ≠0B ⇒≠.故应选(D).(13) 【答案】(C)【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性，对任何0x >有{}{}{}12P X x P X x P X x >=<-=>. 或直接利用图形求解. 方法1：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，αα=-<}{u X P ，于是}{2}{}{}{}{11x X P x X P x X P x X P x X P ≥=-≤+≥=≥=<-=-α即有 21}{α-=≥x X P ，可见根据分位点的定义有21α-=u x ，故应选(C). 方法2：图一 图二Oxy()f x{}P X u αα=Oxy{}P X x <=12α- ()f x如图一所示题设条件.图二显示中间阴影部分面积α，{}P X x α<=.两端各余面积12α-，所以12{}P X u αα-<=，答案应选(C).(14)【答案】A.【详解】由于随机变量)1(,,,21>n X X X n Λ独立同分布，所以必有：2, (,)0, i j i jCov X X i j σ⎧==⎨≠⎩又 222111()n n ni i i i i i i i D a X a D X a σ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑下面求1(,)Cov X Y 和1()D X Y +.而11,ni i Y X n ==∑故本题的关键是将Y 中的1X 分离出来，再用独立性来计算.对于选项(A)：1111112111(,)(,)(,)(,)n n i i i i Cov X Y Cov X X Cov X X Cov X X n n n ====+∑∑11DX n =21nσ=所以(A)对，(B)不对.为了熟悉这类问题的快速、正确计算. 可以看本题(C),(D)选项. 因为X 与Y 独立时，有()()()D X Y D X D Y ±=+. 所以，这两个选项的方差也可直接计算得到：22211222111(1)1()()n n n n D X Y D X X X n n n n n σσ++-+=+++=+L =222233σσn n nn n +=+， 222222111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -+-=----=-Λ=.222222σσn n nn n -=- 所以本题选 (A)三、解答题(15)【详解】求“∞-∞”型极限的首要步骤是通分，或者同乘、除以某一式以化简.22201cos lim()sin x x x x →- 通分222220sin cos lim sin x x x x x x →-sin x x :等价22240sin cos lim x x x x x →- 22401sin 24lim x x x x →-=洛()22041sin 24lim x x x x→'⎛⎫- ⎪⎝⎭'3012sin 42lim 4x x x x →-= 洛()0312sin 42lim 4x x x x →'⎛⎫- ⎪⎝⎭'201cos 4lim 6x x x →-=2202sin 2lim 6x x x →=sin 22x x :等2202(2)lim 6x x x →43=.(16)【详解】利用对称性与极坐标计算.方法1：令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，根据二重积分的极坐标变换：()()12{(,)|,}D x y r r r αθβθθ=≤≤≤≤，则：()()()()21,cos ,sin r r Df x y d f r r rdr βθαθσθθ=⎰⎰⎰⎰122D x y d σ+化为极坐标：221{(,)|4}{(,)|02,0D x y x y x y θπ=+≤=≤≤所以122D x y d σ+222220cos sin d r r rdr πθθθ=+⎰⎰2220d r dr πθ=⎰⎰；222D x y d σ+化为极坐标：2223{(,)|(1)1}{(,)|,02cos }22D x y x y x y r ππθθ=++≤=≤≤≤≤-所以222D x y d σ+32cos 222222cos sin d r r rdr πθπθθθ-=+⎰⎰32cos 222d r dr πθπθ-=⎰⎰所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d 22cos 33322020033r rd d θπππθθ-=-⎰⎰332288cos 233d ππθπθ-=⋅-⎰()32228821sin sin 33d πππθθ=⋅+-⎰332288sin 2sin 333ππθπθ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭16822333π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭)23(916932316-=-=ππ 区域D 关于x 轴对称，Dyd σ⎰⎰中被积函数y 为y 的奇函数，根据区域对称性与被积函数的奇偶性：设(),f x y 在有界闭区域D 上连续，若D 关于x 轴对称，(),f x y 对y 为奇函数，则(),0Df x y d σ=⎰⎰，所以0=⎰⎰Dyd σ所以22()Dx y y d σ+⎰⎰22DDx y d yd σσ=++⎰⎰16(32)9π=-. 方法2：22()Dx y y d σ++⎰⎰22DDx y d yd σσ=++⎰⎰22D 20x y d σ=++⎰⎰上半极坐标变换22222002cos 22[]d r dr d r dr πππθθθ-+⎰⎰⎰⎰2233202cos 2[]233r r d ππθπθ-=⋅+⎰32888cos 2333d πππθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰()2288161sin sin 333d ππππθθ=++-⎰ 321616sin sin 333πππθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭16(32)9π=-.(17)【详解】求复合函数的偏导数，求一阶线性微分方程的解 方法1：由2()(,)xy x ef x x -=，两边对x 求导有，222122(,)(,)(,)x x x y e f x x e f x x e f x x ---'''=-++()22122(,)(,)(,)x x e f x x e f x x f x x --''=-++()2122(,)(,)x y e f x x f x x -''=-++已知uv v u f v u f v u='+'),(),(，即12(,)(,)f u v f u v uv ''+=，则212(,)(,)f x x f x x x ''+=. 因此，()y x 满足下述一阶微分方程为 x e x y y 222-=+'.由一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx+=通解公式：()()()()P x dx P x dx f x e C Q x e dx -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 这里()()222,x P x Q x x e -= =，代入上式得：2222()dx dxx y e x e e dx C --⎰⎰=+⎰2222()x x x e x e e dx C --=+⎰22()xex dx C -=+⎰323xx eC -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(C 为任意常数). 方法2：由2()(,)xy x ef x x -=有 2(,)()x f x x e y x = (1)已知(,)f u v 满足 (,)(,)u v f u v f u v uv ''+= (2)这是一个偏微分方程，当,u x v x ==时(2)式变为212(,)(,)f x x f x x x ''+=2(,)df x x x dx= 以(1)代入，有 22(())xe y x x '=，即2222()()xxe y x e y x x '+=， 化简得 22()2()xy x y x x e -'+=，由通解公式得x dxx dx e C x C dx e e x e y 232222)31()(---+=+⎰⎰=⎰(C 为任意常数).(18)【详解】(I) 由于需求量对价格的弹性d E > 0，所以dPdQQ P E d =1005Q P =-()10051005P P P '--20P P -=-(0,20)P ∈ 20P P -； (II) 由R PQ =，得dR dP ()d PQ dP =dQ Q P dP =+(1)P dQ Q Q dP =+(1)20PQ P-=+-(1)d Q E =-要说明在什么范围内收益随价格降低反而增加，即收益为价格的减函数，0<dPdR，即证(1)01d d Q E E -<⇒>，换算成P 为120PP>-，解之得：10P >，又已知(0,20)P ∈，所以2010P >>，此时收益随价格降低反而增加.(19)【详解】当0x >时，0x -<，所以()()22()x x F x ee F x ---===，同理：当0x <时，x->，所以()()22()x xF x e e F x---===，所以()y F x=是关于y轴对称的偶函数.又2lim()lim0xx xF x e-→+∞→+∞==，2lim()lim0xx xF x e→-∞→-∞==，所以x轴与曲线()y F x=围成一无界区域，面积S可用广义积分表示.()y F x=图形如下：(I) ()S F x dx+∞-∞=⎰()F x偶函数22xe dx+∞-⎰2(2)xe d x+∞-=--⎰201xe+∞-=-= )(1tS表示矩形t x t-≤≤，0()y F x≤≤的面积，所以ttetS212)(-=，因此21()()12tS t S S t te-=-=-，(0,)t∈+∞.(II) 由于tettS2)21(2)(---='，令()0S t'=，得()S t的唯一驻点为21=t，又()S t''()22(12)tt e-'=--222448t t te e te---=+-28(1)tt e-=-，04)21(>=''eS，所以eS11)21(-=为极小值，它也是最小值.(20)【详解】已知T)1,1,1,1(--是该方程组的一个解，故可将T)1,1,1,1(--代入方程组，有110,21120,3(2)(4)41,λμλμ-+-=⎧⎪-++=⎨⎪-+++-=⎩解得μλ=．代入原方程，并对方程组的增广矩阵A施以初等行变换, 得1102112032441Aλλλλ⎛⎫⎪= ⎪⎪++⎝⎭1101(-2),(-3)0121200230224211λλλλλλ⎛⎫⎪--⎪⎪--⎝⎭u u u u u u u u u u u u u u u u r行乘分别加到，行110110(-1)012120001311 3013110121200λλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭u u u u u u u u u r u u u u u u u r2行2，3行加到行互换1102(21)013113002(21)2121λλλλλλ⎛⎫⨯- ⎪⎪ ⎪---⎝⎭u u u u u u u u u u u u u u r 行加到行 ()I 当21≠λ时，有 A 3(21)λ÷-u u u u u u u u u u u u u u r 行 1100131100211λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故43)()(<==A r A r . 定理：设A 是m n ⨯矩阵，方程组Ax b =，则，(1)有唯一解()()r A r A n ⇔==；(2)有无穷多解()()r A r A n ⇔=<；(3)无解：()1()r A r A ⇔+=，故方程组有无穷多解.所以，该方程组有无穷多解，对应的齐次线性方程组同解方程组为1234234343020x x x x x x x x x λλ+++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩ 由于此方程组的系数矩阵的秩为3，则基础解系的个数为43n r -=-=1，故有1个自由未知量.选2x 为自由未知量，取21x =-，得方程组的基础解系为Tη)2,1,1,2(--=，取非齐次方程的一个特解为0(1,0,0,1)Tξ=-，故方程组的全部解为0k ηξ+(k 为任意常数)．当21=λ时，有 11110220131100000A ⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪ ⎪⎪⎝⎭， 可知，42)()(<==A r A r ，所以该方程组有无穷多解，对应的齐次线性方程组的同解方程组为12342341102230x x x x x x x ⎧+++=⎪⎨⎪++=⎩ 则基础解系的个数为42n r -=-=2，故有2个自由未知量.选34,x x 为自由未知量，将两组值：(1,0),(0,2)代入，得方程组的基础解系为Tη)0,1,3,1(1-=，Tη)2,0,2,1(2--=，取非齐次方程的一个特解为0(1,0,0,1)Tξ=-，故方程组的全部解为0112212(1,0,0,1)(1,3,1,0)(1,2,0,2)T T T k k k k ξξηη=++=-+-+--(21,k k 为任意常数)．()II 当21≠λ时，方程组的通解为 0(1,0,0,1)(2,1,1,2)(21,,,21)T T T k k k k k k ξξη=+=-+--=---+若32x x =，即k k =-得0k =，故原方程组满足条件32x x =的全部解为(1,0,0,1)T-.当21=λ时，方程组的通解为 0112212(1,0,0,1)(1,3,1,0)(1,2,0,2)T T T k k k k ξξηη=++=-+-+--=121212(1,32,,21)Tk k k k k k ----+若32x x =，即 12132k k k --=，得212k k =-，代入通解，得满足条件32x x =的全部解为1(3,1,14)(1,0,0,1)T Tk -+-(21)【分析】由矩阵A 的秩为2, 立即可得A 的另一特征值为0. 再由实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量正交可得相应的特征向量, 此时矩阵A 也立即可得.【详解】()I A 的秩为2，于是0||=A ，所以|0|0E A A ⋅-==，因此A 的另一特征值03=λ．特征值的性质：若i λ是矩阵A 的k 重特征值，则矩阵A 属于的线性无关的特征向量的个数不超过k 个又621==λλ是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量个数2≤. 因此123,,ααα必线性相关.由题设知T α)0,1,1(1=，T α)1,1,2(2=为A 的属于特征值6的线性无关的两个特征向量.定理：实对称矩阵对应与不同特征值的特征向量是正交的.设03=λ所对应的特征向量为Tx x x α),,(321=,所以，01=ααT，02=ααT，即⎩⎨⎧=++=+,02,032121x x x x x则基础解系的个数为32n r -=-=1，故有1个自由未知量. 选2x 为自由未知量，取21x =得方程组的基础解系为Tα)1,1,1(-=，故A 的属于特征值03=λ全部特征向量为T k αk )1,1,1(-= (k 为任意不为零的常数)．()II 令矩阵),,(21αααP =，求1P -121100111010011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M M 1211001(1)2012110011001-⎛⎫ ⎪⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭MM u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r M 行加到行 12110012012110003111-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭M M u u u u u u u u u u u u r M 行加到行1211000121100011/31/31/3-⎛⎫ ⎪÷-- ⎪ ⎪-⎝⎭M M u u u u u u u r M 3行3 1211000101/31/32/30011/31/31/3-⎛⎫ ⎪⨯--- ⎪⎪-⎝⎭M M u u u u u u u u u u u u u u u u r M 3行(-2)+2行10001120101/31/32/30011/31/31/3-⎛⎫ ⎪⨯--- ⎪ ⎪-⎝⎭M Mu u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r M 3行，2行依次加到1行， 1000112(1)0101/31/32/30011/31/31/3-⎛⎫ ⎪⨯-- ⎪ ⎪-⎝⎭M M u u u u u u u u u u r M 行则 1P -=011112333111333⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0661AP P ，所以 1066-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=P P A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3131313231311100661********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=422242224．(22)【分析】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意。

微积分第一章 函数、极限与连续一：选择、填空（2014）1．设0≠=∞→a ann lim ，则当n 充分大时，下列正确的有（ ）（A ）2a a n > （B ）2a a n <（C ）n a a n 1-> (D)na a n 1+<（2014）2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin+=（2014）3．设32dx cxbx a x P +++=)(，则当0→x 时，若x x P tan )(-是比3x 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（ ）（A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）61=d（2013）当0→x 时，用)(x o 表示比x 的高阶无穷小，则下列式子中错误的是（ ）A 、)()(32x o x o x =⋅ B 、)()()(32x o x o x o =⋅ C 、)()()(222x o x o x o =+ D 、)()()(22x o x o x o =+（2013）设函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点个数为( )A.0B.1C.2D.3（2013）设曲线)(x f y =和x xy -=2在点（0,1）处有公共的切线，则)2(lim +∞→n n nf n =______.（2012）（1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（ ）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3（2012）（9）1cos sin 4lim(tan )x xx x π-→（2011）(1) 已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与是kcx等价无穷小，则(A) 1,4k c == (B) 1,4k c ==- (C) 3,4k c == (D) 3,4k c ==-（2011）(9) 设0()lim (13)x tt f x x t →=+，则'()f x =______.（2010）(1) 若011lim ()1xx a exx→⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦，则a 等于 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（2010）(4) 设10()lnf x x =，()g x x =,10()x h x e =,则当x 充分大时有（）（A ）()()()g x h x f x << （B ）()()()h x g x f x << （C ）()()()f x g x h x << （D ）()()()g x f x h x <<（2009）（1）函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为(A)1. (B)2.(C)3.(D)无穷多个.（2009）（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x xbx =-是等价无穷小，则(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，16b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，16b =.（2009）（9）cos 0x x →= .（2008）（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（ ）（A ）跳跃间断点. （B ）可去间断点.（C ）无穷间断点.（D ）振荡间断点.（2008）（9）设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .（2007）(1) 当0x +→（A ）1- （B ）ln(1 （C 1 （D ）1-（2007）(2) 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是（）（A ）若0()limx f x x→存在，则(0)0f =（B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =（C ）若0()lim x f x x→存在，则'(0)f 存在（D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则'(0)f 存在（2007）(6) 曲线1ln(1),xy e x=++渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（2007）(11) 3231lim(sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+. （2006）(1) ()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭（2006）(2) 设函数()f x 在2x =的某邻域内可导，且()()e f xf x '=，()21f =，则()2____.f '''=（2006）(3) 设函数()f u 可微，且()102f '=，则()224z f xy =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z =（2005）(1) 极限22lim sin1x xx x →∞=+______.（2004）(1) 若()0sin lim cos 5x x x x b e a→-=-，则a =______，b =______.（2004）(7) 函数()()()()2sin 212x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界.（A ）()1,0- （B ）()0,1 （C ）()1,2 （D ）()2,3（2004）(8) 设()f x 在(),-∞+∞内有定义，且()lim x f x a →∞=，()1,0,0,0,f xg x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩则 （A ）0x =必是()g x 的第一类间断点 （B ）0x =必是()g x 的第二类间断点 （C ）0x =必是()g x 的连续点 （D ）()g x 在点0x =处的连续性与a 的值有关.二：解答题（2014）15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．（2013）（本题满分10分）当时，与为等价无穷小，求与的值。