勾股定理的各类题型
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勾股定理各种题型:
一:勾股定理面积相等法:
方法1:
方法2:
方法3:
二:方程思想和勾股定理结合的题目
1.(2016春?宜春期末)一旗杆在其的B处折断,量得AC=5米,则旗杆原来的高度为()
A.米B.2米C.10米D.米
【考点】勾股定理的应用.
【分析】可设AB=x,则BC=2x,进而在△ABC中,利用勾股定理求解x的值即可.
【解答】解:由题意可得,AC2=BC2﹣AB2,即(2x)2﹣x2=52,解得x=,
所以旗杆原来的高度为3x=5,故选D.
【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形.
2.(2016春?防城区期中)如图,在△ABC中,∠B=40°,EF∥AB,∠1=50°,CE=3,EF
比CF大1,则EF的长为()
A.5 B.6 C.3 D.4
【考点】勾股定理;平行线的性质.
【分析】由平行线的性质得出∠A=∠1=50°,得出∠C=90°,设CF=x,则EF=x+1,根据勾股定理得出方程,解方程求出x,即可得出EF的长.
【解答】解:∵EF∥AB,
∴∠A=∠1=50°,
∴∠A+∠B=50°+40°=90°,
∴∠C=90°,
设CF=x,则EF=x+1,
根据勾股定理得:CE2+CF2=EF2,
即32+x2=(x+1)2,
解得:x=4,
∴EF=4+1=5,
故选:A.
【点评】本题考查了平行线的性质、直角三角形的判定、勾股定理;熟练掌握平行线的性质,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.
3.(2015春?蚌埠期中)已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折
叠,使点B与D重合,折痕为EF,则BE的长为()
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】根据折叠的性质可得BE=ED,设AE=x,表示出BE=9﹣x,然后在Rt△ABE中,利用勾股定理列式计算即可得解.
【解答】解:∵长方形折叠点B与点D重合,
∴BE=ED,
设AE=x,则ED=9﹣x,BE=9﹣x,
在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,
即32+x2=(9﹣x)2,
解得x=4,
∴AE的长是4,
∴BE=9﹣4=5,
故选C.
【点评】本题考查了翻折变换的性质,勾股定理的应用,根据勾股定理列出关于AE的长的方程是解题的关键.
4.(2008秋?奎文区校级期末)在我国古代数学着作《九章算术》中记载了一个有趣的问题,这个问题的意思是:有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如图所示,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面.那么水深多少芦苇长为多少
【考点】勾股定理的应用.
【分析】找到题中的直角三角形,设水深为x尺,根据勾股定理解答.
【解答】解;设水深为x尺,则芦苇长为(x+1)尺,
根据勾股定理得:,
解得:x=12(尺),
芦苇的长度=x+1=12+1=13(尺),
答:水池深12尺,芦苇长13尺.
【点评】此题是一道古代问题,体现了我们的祖先对勾股定理的理解,也体现了我国古代数学的辉煌成就.
三:勾股定理应用:求最短距离问题
1.(2014秋?环翠区期中)如图,长方体的底面边长为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B,那么所用细线最短需要()
A.12cm B.11cm C.10cm D.9cm
【考点】平面展开-最短路径问题.
【分析】要求所用细线的最短距离,需将长方体的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.
【解答】解:将长方体展开,连接A、B′,
则AA′=1+3+1+3=8(cm),A′B′=6cm,
根据两点之间线段最短,AB′==10cm.
故选C.
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题,本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”,用勾股定理解决.
2.(2016春?繁昌县期末)如图,是一长、宽都是3cm,高BC=9cm的长方体纸箱,BC上有一点P,PC=BC,一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是()
A.6cm B.3cm C.10cm D.12cm
【考点】平面展开-最短路径问题.
【分析】将图形展开,可得到安排AP较短的展法两种,通过计算,得到较短的即可.
【解答】解:(1)如图1,AD=3cm,DP=3+6=9cm,在Rt△ADP中,AP==3cm;(2)如图2,AC=6cm,CP=3+3=6cm,
Rt△ADP中,AP==6cm.
综上,蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是6cm.
故选A.
【点评】本题考查了平面展开﹣﹣最短路径问题,熟悉平面展开图是解题的关键.
3.(2016?大悟县二模)如图,小红想用一条彩带缠绕易拉罐,正好从A点绕到正上方B点共四圈,已知易拉罐底面周长是12cm,高是20cm,那么所需彩带最短的是()A.13cm B.4cm C.4cm D.52cm
【考点】平面展开-最短路径问题.
【分析】要求彩带的长,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果,在求线段长时,借助于勾股定理.
【解答】解:由图可知,彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处,将易拉罐表面切开展开呈长方形,则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长,
∵易拉罐底面周长是12cm,高是20cm,
∴x2=(12×4)2+202,
所以彩带最短是52cm.
故选D
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题,圆柱的侧面展开图是一个矩形,此矩形的长等于圆柱底面周长,高等于圆柱的高,本题就是把圆柱的侧面展开成矩形,“化曲面为平面”,用勾股定理解决.
4.(2016?游仙区模拟)长方体敞口玻璃罐,长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm,在罐内点E处有一小块饼干碎末,此时一只蚂蚁正好在罐外壁,在长方形ABCD中心的正上方2cm 处,则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少cm.()
A.7 B.C.24 D.
【考点】平面展开-最短路径问题.
【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内,在平面内线段最短,根据勾股定理即可计算.
【解答】解:①若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过,
蚂蚁到达饼干的最短距离如图1: