小微专题： 解三角形
【知识回顾】 1.正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===， 2.余弦定理：222
2222
22222
222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=
⎪⎧⎪=+-+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪
⎩+-⎪=⎪⎩
3.推论：正余弦定理的边角互换功能
① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =； ②sin 2a
A R =，sin 2b
B R =，sin 2c
C R
=； ③
sin sin sin a b c A B C ==
=sin sin sin a b c
A B C
++++=2R ；
④::sin :sin :sin a b c A B C =； ⑤222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+-； 222sin sin sin 2sin sin cos B C A C A B =+-；
222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-.
4.三角形中的基本关系式：sin()sin ,B C A +=cos()cos ,B C A +=-
sin
cos ,22B C A +=cos sin .22
B C A
+= 5.三角形面积：B ac A bc C ab sin 2
1sin 21sin 2121
s ===⨯=高底 6一个常用结论：
在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>sin 2sin 2,.2
A B A B A B π
==+=则或
7、三角形形状判断
在三角形形状判断时，将给定条件统一成边或统一成角，再作进一步判断。
（1）为等腰△△ABC B A B A B A ⇔=⇔=⇔=⇔=b a tan tan cos cos sin sin （2）2
222
2222
2
a b c Rt a b c a b c ABC ABC ABC △为△；
△为锐角△；
△为钝角△
【考点剖析】
考点一 ：正弦定理的简单应用
典例1、已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1，b
A +C =2
B ，则sin A =
选题意图：本题考查正弦定理的简单应用 典例2、在ABC ∆中.若1b =
，c =23
c π
∠=，则a = .
命题意图：本题考查了应用正弦定理求解三角形问题.
典例3、在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
，若a =
2b =
，sin cos B B +A 的大小为 .
选题意图：本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力，
变式1：已知ABC ∆的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．
选题意图：本题考查了正弦定理以及三角函数恒等变换等内容
考点二 ：余弦定理的简单应用
典例4、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，
，则
（ ）
A.a ＞b
B.a ＜b
C. a ＝b
D.a 与b 的大小关系不能确定
选题意图：本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题.
典例5：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S
为△ABC 的面积，满足2
22()4
S a b c =+-. （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin sin A B +的最大值.
选题意图：本题主要考查余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力.
选题意图：本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用.
典例6 、在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，3BC BD =，AD =
135ADB ο∠=.若AC =，则BD=____ _.
选题意图：本题考查了余弦定理
变式1：ABC ∆的面积是30，
内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12
cos 13
A =. （Ⅰ）求AC A
B ⋅；
（Ⅱ）若1c b -=，求a 的值.
选题意图：本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.
考点三 ：正余弦定理的综合应用
典例7、.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，
b ，
c ，设
22
(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ；
（22b c +=，求sinC ．
典例8、（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin
sin 2A C
a b A +=．
（1）求B ；
（2）若△ABC 为锐角三角形，且c=1，求△ABC 面积的取值范围．
典例9、（2017全国1理17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为
a ，
b ，
c ，已知△ABC 的面积为2
3sin a A
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长．
典例10、（2018全国1理）
