【高考数学精准解析】多维层次练：第七章+第6节第1课时+利用空间向量证明平行与垂直

多维层次练43

[A级 基础巩固]

1．已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是( )

A．P(2，3，3) B．P(－2，0，1)

C．P(－4，－4，0) D．P(3，－3，4)

解析：逐一验证法，对于选项A，MP→＝(1，4，1)，

所以MP→·n＝6－12＋6＝0，所以MP→⊥n，所以点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．

答案：A

2．(2020·大连市月考)在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin α的值是( )

A.32

B.22

C.62 D.64

解析：如图所示，建立坐标系，易求点D32，12，1.

平面AA1C1C的一个法向量是n＝(1，0，0)， 所以cos〈n，AD→〉＝322＝64，即sin α＝64.

答案：D

3．如图所示，F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点．E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有( )

A．B1E＝EB B．B1E＝2EB

C．B1E＝12EB D．E与B重合

解析：分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方形的边长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，D1F→＝(0，1，－2)，DE→＝(2，2，z)，因为D1F→⊥DE→，所以D1F→·DE→＝0×2＋1×2－2z＝0，解得z＝1，所以B1E＝EB.

答案：A

4.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则：

①A1M∥D1P；

②A1M∥B1Q；

③A1M∥平面DCC1D1； ④A1M∥平面D1PQB1.

热点跟踪训练4

1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，AB＝BC＝1，∠BAD＝120°，PB＝PC＝2，PA＝2，E，F分别是AD，PD的中点．

(1)证明：平面EFC⊥平面PBC；

(2)求二面角A-BC-P的余弦值．

(1)证明：连接AC，

因为ABCD是平行四边形，AB＝BC＝1，

∠BAD＝120°，

所以∠ADC＝60°，所以△ADC是等边三角形，

因为E是AD的中点，所以CE⊥AD.

因为AD∥BC，所以CE⊥BC.

以C为坐标原点，分别以CE→，CB→的方向为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.

则C(0，0，0)，E32，0，0，A32，12，0，B(0，1，0)，D32，－12，0，

设P(x，y，z)(x<0，y>0，z>0)， 由|PB→|2＝|PC→|2＝2，|PA→|2＝4，

可得x＝－32，y＝12，z＝1，

所以P－32，12，1，

因为F是PD的中点，所以F0，0，12，

因为CB→·CF→＝0，所以CB⊥CF，

因为CE⊥BC，CE∩CF＝C，

所以BC⊥平面EFC，因为BC⊂平面PBC，

所以平面EFC⊥平面PBC.

(2)解：由(1)知，CB→＝(0，1，0)，CP→＝－32，12，1，

设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，

则CB→·n＝y＝0，CP→·n＝－32x＋12y＋z＝0，

令x＝－2，则z＝－3，y＝0，

则n＝(－2，0，－3)，

设m＝(0，0，1)，易知m是平面ABC的一个法向量，

所以cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝－217，

又易知二面角A-BC-P为钝二面角，

所以二面角A-BC-P的余弦值为－217.

2．(2020·安徽六安一中月考)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.

2013年高考数学总复习（山东专用）第七章第6课时 空间向量及其运算 课时闯关（含解析）

一、选择题

1．空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( )

A．垂直 B．平行

C．异面 D．相交但不垂直

解析：选B.由题意得

AB→＝(－3，－3,3)，CD→＝(1,1，－1)，

∴AB→＝－3CD→，

∴AB→与CD→共线，又AB→与CD→没有公共点．

∴AB∥CD.

2．已知O，A，B，C为空间四个点，又OA→，OB→，OC→为空间的一个基底，则( )

A．O，A，B，C四点不共线

B．O，A，B，C四点共面，但不共线

C．O，A，B，C四点中任意三点不共线

D．O，A，B，C四点不共面

解析：选D.OA→，OB→，OC→为空间的一个基底，所以OA→，OB→，OC→不共面，但A，B，C三种情况都有可能使OA→，OB→，OC→共面．

3．已知两空间向量m＝(cosθ，1，sinθ)，n＝(sinθ，1，cosθ)，则m＋n与m－n的夹角是( )

A.π2 B．－π2

C.π3 D.π4

解析：选A.由题意得(m＋n)²(m－n)＝m2－n2

＝cos2θ＋1＋sin2θ－(sin2θ＋1＋cos2θ)＝0，

∴(m＋n)⊥(m－n)，∴〈m＋n，m－n〉＝π2.

4．空间四点A(2,3,6)、B(4,3,2)、C(0,0,1)、D(2,0,2)的位置关系为( )

A．共线 B．共面

C．不共面 D．无法确定

解析：选C.∵AB→＝(2,0，－4)，AC→＝(－2，－3，－5)，AD→＝(0，－3，－4)．

假设四点共面，由共面向量定理得，存在实数x，y，

使AD→＝xAB→＋yAC→，即 2x－2y＝0， ①－3y＝－3， ②－4x－5y＝－4， ③

由①②得x＝y＝1，代入③式不成立，矛盾．

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核心考点·精准研析

考点一 利用空间向量证明空间的平行问题

1.若点A(1,-2,3)和点B(2,5,6)在直线l上,则直线l的一个方向向量是( )

A.(1,-2,3) B.(2,5,6)

C.(1,7,3) D.(-1,-7,3)

2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是 ( )

A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定

3.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为 ( )

A.(1,1,1)

B.,,1

C.,,1

D.,,1

4.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=-1,y,,已知α∥β,则x+y=________.

世纪金榜导学号

【解析】1.选C.因为=(1,7,3),又与平行的非零向量都可以作为直线l的一个方向向量.故只有C正确.

2.选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.因为A1M=AN=a,

所以M,N.

所以=.

又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以=(0,a,0).

所以·=0.所以⊥.

因为是平面BB1C1C的法向量,且MN⊄平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.

3.选C.建系如图,则A(,,0),B(0,,0),D(,0,0),

E(0,0,1),设M(a,a,1),则=(a-,a-,1),可求出平面BDE的一个法向量n=(1,1,),因为AM∥平面BDE,所以·n=0,可得a=,M的坐标为,,1.

4.因为α∥β,所以v∥u,所以==,

所以所以x+y=.