2017-2018学年高中数学阶段性检测北师大版必修4课件
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1 阶段性检测
时间：90分钟 分值：100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．cos113π的值为( )
A.12 B．－12
C.32 D．0
答案：A
解析：cos113π＝cos(4π－π3)＝cosπ3＝12.
2．已知角α的终边经过点P(－7a,24a)(a＜0)，则sinα＋cosα等于( )
A.1725 B.3125
C．－1725 D．－3125
答案：C
解析：求出|OP|，利用三角函数定义求值．
∵点P坐标为(－7a,24a)(a＜0)，
∴点P是第四象限角且|OP|＝－25a.
∴sinα＝24a－25a＝－2425，cosα＝－7a－25a＝725，
∴sinα＋cosα＝－2425＋725＝－1725.
3．设M和m分别表示函数y＝13cosx－1的最大值和最小值，则M＋m等于( )
A.23 B．－23
C．－43 D．－2
答案：D
解析：M＝13－1，m＝－13－1，
∴M＋m＝－23－43＝－2.
4．函数y＝cos(2x＋π2)的图像的一条对称轴方程是( )
A．x＝－π2 B．x＝－π4
C．x＝π8 D．x＝π
答案：B
解析：y＝cos(2x＋π2)＝－sin2x.函数图像的对称轴位置就是函数取最值的位置，验证即得．
5．sin2cos3tan4的值( ) 2 A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不确定
答案：B
解析：∵sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，∴sin2cos3tan4＜0.
6．函数y＝3tan(π3－2x)的最小正周期为( )
A.π4 B.π2
C．π D．2π
答案：B
解析：对于正切型函数T＝π|ω|＝π2，故选B.
7．为了得到函数y＝2sin(x3＋π6)(x∈R)的图像，只需把函数y＝2sinx(x∈R)的图像上所有的点( )
A．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)
B．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)
C．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
答案：C
8．已知点(tan5π4，sin(－π6))是角θ终边上一点，则tanθ等于( )
A．2 B．－32
C．－12 D．－2
答案：C
解析：点(tan5π4，sin(－π6))可化为点(1，－12)，则tanθ＝－12.
9．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2，x∈R)的部分图像如下图所示，则函数表达式为( )
A．y＝－4sin(π8x＋π4) 3 B．y＝4sin(π8x－π4)
C．y＝－4sin(π8x－π4)
D．y＝4sin(π8x＋π4)
答案：A
解析：先确定A＝－4，由x＝－2和6时y＝0可得T＝16，ω＝π8，φ＝π4.
10．已知集合E＝{θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F＝{θ|tanθ＜sinθ}，那么E∩F为区间为( )
A．(π2，π) B．(π4，3π4)
C．(π，3π2) D．(3π4，5π4)
答案：A
解析：如图，由图像可知集合E＝{θ|π4＜θ＜5π4}，
又因为θ在第一象限时，sinθ＜tanθ，
θ在第二象限时，sinθ＞0＞tanθ，
θ在第三象限时，tanθ＞0＞sinθ，
θ在第四象限时，sinθ＞tanθ(由三角函数线可知)，
∴F＝{θ|2kπ＋π2＜θ＜2kπ＋π或2kπ＋3π2＜θ＜2kπ＋2π，k∈Z}，
故E∩F＝(π2，π)，应选A.
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．
11．若sinα＝2cosα，则sinα－cosαsinα＋2cosα＝________.
答案：14
解析：sinα－cosαsinα＋2cosα＝2cosα－cosα2cosα＋2cosα＝14.
12．函数y＝tan(2x＋π3)的递增区间是________．
答案：(kπ2－5π12，kπ2＋π12)(k∈Z)
解析：由kπ－π2＜2x＋π3＜kπ＋π2，得kπ2－5π12＜x＜kπ2＋π12(k∈Z)．
13．函数f(x)＝1－sin2x＋sinx在(π4，7π6]上的值域是________．
答案：[14，54] 4 解析：f(x)＝1－sin2x＋sinx＝－(sinx－12)2＋54.∵π4＜x≤7π6，
∴－12≤sinx≤1，则当sinx＝12时，f(x)max＝54；当sinx＝－12时，f(x)max＝14.
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．求值：sin(－1200°)²cos1290°＋cos(－1020°)²sin(－1050°)＋tan945°.
解：原式＝－sin1200°²cos1290°＋cos1020°²(－sin1050°)＋tan945°
＝－sin120°²cos210°＋cos60°²sin30°＋tan225°
＝(－32)2＋12³12＋1＝2.
15．已知函数f(x)＝2cos(π3－x2)．
(1)求f(x)的最小正周期T；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解：(1)由已知f(x)＝2cos(π3－x2)＝2cos(x2－π3)，则T＝2πω＝4π.
(2)当2kπ－π≤x2－π3≤2kπ(k∈Z), 即4kπ－4π3≤x≤4kπ＋2π3(k∈Z)时，函数f(x)单调递增，
∴函数f(x)的单调递增区间为{x|4kπ－4π3≤x≤4kπ＋2π3(k∈Z)}．
16．已知f(x)＝2sin(2x＋π6)＋a＋1，(a∈R)．
(1)若x∈[0，π2]时，f(x)最大值为4，求a的值；
(2)在(1)的条件下，求满足f(x)＝1且x∈[－π，π]的x的集合．
解：(1)f(x)＝2sin(2x＋π6)＋a＋1
∵x∈[0，π2]，
∴2x＋π6∈[π6，7π6]，
∴f(x)在[0，π2]上的最大值为a＋3，
所以a＝1.
(2)f(x)＝1，∴sin(2x＋π6)＝－12，
即2x＋π6＝2kπ－π6或2x＋π6＝2kπ－5π6，此时x＝kπ－π6或x＝kπ－π2，
又因为x∈[－π，π]，
所以x∈{－π2，－π6，π2，5π6}．
5 17．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数在区间[－2,4]上的最大值和最小值以及对应的x的值．
解：(1)由题可知A＝2，T2＝6－(－2)＝8，∴T＝16，
∴ω＝2πT＝π8，则f(x)＝2sin(π8x＋φ)．
又图像过点(2，2)，代入函数表达式可得φ＝2kπ＋π4(k∈Z)．
又|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f(x)＝2sin(π8x＋π4)．
(2)∵x∈[－2,4]，∴π8x＋π4∈[0，3π4]，
当π8x＋π4＝π2，即x＝2时，f(x)max＝2；
当π8x＋π4＝0，即x＝－2时，f(x)min＝0.
18．设函数y＝f(x)＝sin(2x＋φ)，－π＜φ＜0，y＝f(x)的图像的一条对称轴是直线x＝π8.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像．
解：(1)因为x＝π8是函数y＝f(x)的图像的一条对称轴，
所以sin2³π8＋φ＝±1，
所以π4＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)．
因为－π＜φ＜0，所以φ＝－3π4.
(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y＝sin2x－3π4.
由题意得2kπ－π2≤2x－3π4≤2kπ＋π2(k∈Z)．
所以kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)．
即函数y＝sin2x－3π4的单调递增区间为kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)．
(3)由y＝sin2x－3π4知
x 0 π8 3π8 5π8 7π8 π
y －22 －1 0 1 0 －22
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像如图所示． 6
