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求函数值域的几种常见方法详解

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求函数值域的几种常见方法

1．直接法：利用常见函数的值域来求。

一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；

反比例函数)0(kxky的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；

二次函数)0()(2acbxaxxf的定义域为R，

当a>0时，值域为{abacyy44|2}；当a<0时，值域为{abacyy44|2}.

例1．求下列函数的值域

① y=3x+2 (-1x1) ②xxf42)( ③1xxy

解：①∵-1x1，∴-33x3，

∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]

②∵),0[4x ∴),2[)(xf

即函数xxf42)(的值域是 { y| y2}

③1111111xxxxxy

∵011x ∴1y

即函数的值域是 { y| yR且y1}（此法亦称分离常数法）（思考：如何使用口算法？）

2．二次函数在给定区间上的值域(最值)。

例2． 求下列函数的最大值、最小值与值域：

①142xxy； ②]4,3[,142xxxy；

③]1,0[,142xxxy； ④]5,0[,142xxxy；

解：①∵抛物线的开口向上，对称轴2x，函数的定义域R，

∴x=2时，ymin=-3 ,

∴函数的值域是{y|y-3 }.

②∵抛物线的开口向上，对称轴2x [3,4]， 321-1-2-3654321-1-2xOy此时142xxy在[3,4]

∴当x=3时，miny=-2 当x=4时，maxy=1

∴值域为[-2，1].

③∵抛物线的开口向上，对称轴2x [0,1]，

此时142xxy在[0,1]

∴当x=0时，maxy=1 当x =1时，miny=-2

∴值域为[-2，1].

④∵抛物线的开口向上，对称轴2x [0,5]，

∴当x=2时，miny=-3 当 x=5时，maxy=6（思考：为什么这里直接就说当 x=5时，maxy=6，而不去考虑x=0对应的函数值情况？答：因为观察图像可知x=5离对称轴较远，其函数值比x=0对应的函数值大）

∴值域为[-3，6].

注：对于二次函数)0()(2acbxaxxf,

⑴若定义域为R时，

①当a>0时，则当abx2时，其最小值abacy442min；

②当a<0时，则当abx2时，其最大值abacy442max.

⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其对称轴abx2是否属于区间[a,b].

①若2ba[a,b],则()2bfa是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)(),(bfaf的大小决定函数的最大（小）值.

②若2ba[a,b],则[a,b]是在)(xf的单调区间内，只需比较)(),(bfaf的大小即可决定函数的最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．有解判别法：

有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论

例3．求函数y=1122xxxx值域

解：原式可化为1)1(22xxxxy,

整理得2(1)(1)10yxyxy，

若y=1,即2x=0,则x=0；

若y1,由题0，

即0)14(-)1(22y-y,

解得331y且 y1.

综上：值域{y|331y}.

例4．求函数66522xxxxy的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）

解：把已知函数化为(2)(3)361(2)(3)33xxxyxxxx (x2且 x-3)

由此可得 y1

∵ x=2时 51y ∴ 51y

∴函数66522xxxxy的值域为 { y| y1且 y51}

说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称有解判别法.一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式并且分子、分母，没有公因式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.

4．换元法

例5．求函数xxy142的值域

解：设 xt1 则 t0 x=12t 代入得 tttf y4)1(2)(22242tt

开口向下，对称轴1t[0,)

∴1t时，max(1)4yf

∴值域为(,4]

5．分段函数

例6．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

解：将函数化为分段函数形式：21(2)3(12)21(1)xxyxxx，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.

说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.

★练习：

1、34252xxy

答案：值域是{05}yy.

2、求函数的值域

①xxy2； ②2yxx

答案：值域是（-，49]. 答案：值域是{2}yy

小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.

2-13xOy

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函数值域求法十一种精编版

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1 函数值域求法十一种

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x1y的值域。

解：∵0x

∴0x1

显然函数的值域是：),0()0,(

例2. 求函数x3y的值域。

解：∵0x

3x3,0x

故函数的值域是：]3,[

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x,5x2xy2的值域。

解：将函数配方得：4)1x(y2

∵]2,1[x

由二次函数的性质可知：当x=1时，4ymin，当1x时，8ymax

故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

例4. 求函数22x1xx1y的值域。

解：原函数化为关于x的一元二次方程

0x)1y(x)1y(2

（1）当1y时，Rx

0)1y)(1y(4)1(2

解得：23y21

（2）当y=1时，0x，而23,211 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

2 故函数的值域为23,21

例5. 求函数)x2(xxy的值域。

解：两边平方整理得：0yx)1y(2x222（1）

∵Rx

∴0y8)1y(42

解得：21y21

但此时的函数的定义域由0)x2(x，得2x0

由0，仅保证关于x的方程：0yx)1y(2x222在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

求值域的方法

求值域的方法

求值域的方法

求值域的方法有：直接法：从自变量的范围出发，推出值域；配方法，求出最大值还有最小值；观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域，等。

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。

2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。

3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。

例题：y=x^2+2x+3x∈（-1，2）

先配方，得y=x+1^2+1

∴ymin=-1+1^2+2=2

ymax=2+1^2+2=11

4.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。

5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。

6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。

8.换元法：适用于有根号的函数

例题：y=x-√（1-2x

设√（1-2x=tt≥0

∴x=1-t^2/2

∴y=1-t^2/2-t

=-t^2/2-t+1/2

=-1/2t+1^2+1 ∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）

9：图像法，直接画图看值域

这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。

10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。

例题：y=3x-1/3x-2

先求反函数y=2x-1/3x-3

明显定义域为x≠1

所以原函数的值域为y≠1

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每天练一练 函数值域十三种求法

1. 直接观察法

利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,

其值域可通过观察直接得到。

例1. 求函数x1y的值域

解：∵0x

∴0x1

显然函数的值域是：),0()0,(

例2. 求函数x3y的值域

解：∵0x

3x3,0x

故函数的值域是：]3,[

2. 配方法

二次函数或可转化为形如cxbfxfaxF)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(xf的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x,5x2xy2的值域

解：将函数配方得：4)1x(y2

∵]2,1[x

由二次函数的性质可知：当x=1时，4ymin，当1x时，8ymax

故函数的值域是：[4，8]

评注：配方法往往需结合函数图象求值域．

3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R时才可直接用)

对于形如21112222axbxcyaxbxc（1a，2a不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简

如: 爱拼才会赢

每天练一练 .112..22222222ba y型：直接用不等式性质k+xbxb. y型,先化简，再用均值不等式xmxnx1 例：y1+xx+xxmxnc y型 通常用判别式xmxnxmxnd. y型 xn 法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉xx1（x+1）（x+1）+1 1 例：y（x+1）1211x1x1x1

例说求函数值域的十种基本方法

例说求函数值域的十种基本方法

例说求函数值域的十种基本方法

1、利用非负数的性质

根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。

例1、(1)求函数216xy的值域。

(2)求函数1322xxy的值域。

解析：(1)161602x， 41602x

故 所求函数的值域为 40，y。

(2)012x，原函数可化为 3)1(22xxy，即 3)1(2yyx，

当1y时，yyx132， 02x，013yy，解得13y

又 1y， 所以 13y，

故 所求函数的值域为 ），13[y。

2、利用函数的图象

对于含有绝对值（或分段）函数，若函数图象比较易作出，则利用函数图象能较快的求出其值域。

例2、求函数|1||2|xxy的值域。

解析：去掉绝对值符号得 ：

)1(3)1(2)21(12)1(2)2(3)1(2xxxxxxxxxxy。

画出函数的图象（如图）：由函数的图象可得，原函数的值域为]33[，y。

3、利用二次函数的性质

对于二次函数或与二次函数相关的函数，在求其值域时常用此法。

例3、(1)求函数]22[2，，xxxy的值域。

(2)求函数]231[27，，xxxy的值域。

解析：(1)41)21(22xxxy，]22[，x，416y

故 所求函数的值域为 ]416[，y (2)849)471(2722727222xxxxxxxy，

]231[，x，4273y解得：,

故 所求函数的值域为 ]4273[，y。

4、利用互为反函数的性质

因为原函数的值域与其反函数的定义域相同，所以可由求其反函数的定义域来确定原函数的值域。

例4、求函数)10(aaaaaayxxxx且的值域。