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精品高三复习练习题：基本不等式

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1.设点2(1)(0)2tPtt则|OP|(O为坐标原点)的最小值是(

)

A.3 B.5 C.3 D.5

答案:D

解析:由已知得|OP|22()12tt22(2)152tt当22tt即t=2时取得等号.

2.若a>0,b>0,a,b的等差中项是12且1aa1bb则的最小值为( )

A.2 B.3 C.4 D.5

答案:D

解析:因为a+b=1,

所以111111ababab1+15baab

故选D.

3.已知304x则函数y=5x(3-4x)的最大值为 .

答案:4516

解析:因为304x所以304x

所以y=5x(334)20()4xxx

2345420()216xx

当且仅当34xx即38x时等号成立.

4.如下图,某药店有一架不准确的天平(其两臂长不相等)和一个10克的砝码,一个患者想要买20克的中药,售货员先将砝码放在左盘上,放置药品于右盘上,待平衡后交给患者;然后又将砝码放在右盘上,放置药品于左盘上,待平衡后再交给患者.设患者此次实际购买的药量为m(克),则m 20克.(请选择填”>““<“或”=”)

答案:>

解析:设两次售货员分别在盘中放置1m、2m克药品,

则 12121010ambbmammm

前两个式子相乘,得12100abmmab

得12100mm因为12mm

所以1212220mmmmm所以填”>“.

题组一 利用基本不等式证明不等式

1.设a>b>0,则211()aabaab的最小值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

答案:D

解析:2110()abaabaab

2222222()()2aaaaabaababaab

2442aa.

2.已知a、b、(0)c且a+b+c=1,求证:111(1)(1)(1)8abc.

证明:∵a、b、(0)c且a+b+c=1,

∴111(1)(1)(1)abc

(1)(1)(1)abcabc

()()()bcacababc

2228bcacababc.

当且仅当13abc时取等号.

题组二 利用基本不等式求最值

3.设x、y均为正实数,且33122xy则xy的最小值为( )

A.4 B.43 C.9 D.16

答案:D

解析:由33122xy可得xy=8+x+y.

∵x,y均为正实数,

∴882(xyxyxy当且仅当x=y=4时等号成立),

即280xyxy

可解得4xy即16xy故xy的最小值为16.

4.已知xyR且满足134yx则xy的最大值为 .

答案:3

解析:因为x>0,y>0,所以234343yyxyxx即13xy解得3xy所以其最大值为3.

5.已知t>0,则函数241ttyt的最小值为 .

答案:-2

解析:241142(ttyttt∵t>0),当且仅当t=1时min2y.

6.若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)和函数1()1(0xfxaa且1)a的图象恒过同一个定点,则当11ab取最小值时,函数f(x)的解析式是 . 答案:1()(222)1xfx

解析:函数1()1xfxa的图象恒过(-1,2),故331111111()()222222baababababab.当且仅当22ba时取等号,将22ba代入112ab得222a故1()(222)1xfx.

题组三 基本不等式的实际应用

7.某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第n层楼时不满意度为8n则此人应选( )

A.1楼 B.2楼 C.3楼 D.4楼

答案:C

解析:应是不满意度之和最小,即8nn最小.当8nn最小时,有8222nnn.828,而n为整数,故取n=3.选C.

8.某公司租地建仓库,每月土地占用费1y与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费2y与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用1y和2y分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 千米处.

答案:5

解析:设仓库建在离车站d千米处,

由已知11210ky得120k∴120yd

22810yk得425k∴425yd

∴122042042855ddyydd

当且仅当2045dd即d=5时,费用之和最小.

9.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/米2水池所有墙的厚度忽略不计.

试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.

解:设污水处理池的宽为x米,则长为162x米.

则总造价2162()400(2)2482801621fxxxx 129610029612xx 960

=1 100296()12xx 960

1 100296212xx 960=38 880(元),

当且仅当100(0)xxx

即x=10时取等号.

∴当长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38 880元.

题组四 基本不等式的综合应用 10.若a是2b与2b的等比中项,则2abab的最大值为( )

A.2 B.1 C.24 D.22

答案:B

解析:∵a是2b与2b的等比中项,

∴222ab即222ab.

根据基本不等式知222212ababababab.

当且仅当a=b=1或a=b=-1时等号成立.

即2abab的最大值为1.

11.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为(10)xx层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用)购地总费用建筑总面积

解:设将楼房建为x层,则每平方米的平均购地费用为4216010108002000xx.

∴每平方米的平均综合费用

108002255604856048()yxxxx.

∵x>0,

∴225225230xxxx

当且仅当225xx即x=15时,等号成立.

所以当x=15时,y有最小值为2 000元.

因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最小.

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基本不等式习题及答案

基本不等式习题及答案

基本不等式习题及答案

基本不等式习题及答案

不等式是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的大小关系。在初等数学中，我们学习了许多基本的不等式，它们在解决实际问题和推导其他数学知识时起着重要的作用。在本文中，我们将探讨一些基本的不等式习题，并给出相应的答案。

1. 习题一：证明对于任意的正实数a和b，有(a+b)² ≥ 4ab。

解答：我们可以使用平方差公式来证明这个不等式。根据平方差公式，我们有(a+b)² = a² + 2ab + b²。由于a和b都是正实数，所以a²和b²都大于等于0。因此，我们只需要证明2ab大于等于0即可。

由于a和b都是正实数，所以它们的乘积ab也是正实数。根据乘法的性质，正实数的乘积仍然是正实数，因此2ab大于等于0。所以，我们证明了(a+b)²

≥ 4ab。

2. 习题二：证明对于任意的正实数a，b和c，有(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。

解答：我们可以使用AM-GM不等式来证明这个不等式。根据AM-GM不等式，对于任意的正实数x和y，有(x+y)/2 ≥ √(xy)。

将x替换为a+b，y替换为b+c，我们有(a+b+b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。进一步简化得到(a+2b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。

同样地，将x替换为b+c，y替换为c+a，我们有(b+c+c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。进一步简化得到(2b+2c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。

将x替换为c+a，y替换为a+b，我们有(c+a+a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。进一步简化得到(2c+2a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。 将上述三个不等式相乘，我们得到((a+2b+c)/2)((2b+2c+a)/2)((2c+2a+b)/2) ≥

(√((a+b)(b+c)))(√((b+c)(c+a)))(√((c+a)(a+b)))。

高中试卷-2.2 基本不等式 练习(1)(含答案)

高中试卷-2.2 基本不等式 练习(1)(含答案)

第二章　一元二次函数、方程和不等式

2.2等式性质与不等式性质（共2课时）

（第1课时）

一、选择题

1．（2019·内蒙古集宁一中高一期末）下列不等式一定成立的是（ ）

A．𝑎𝑏

2≥

𝑎𝑏 B．𝑎𝑏

2≤―

𝑎𝑏 C．𝑥+1

𝑥≥2

D．𝑥2

+1

𝑥

2≥2

【答案】D

【解析】当𝑎,𝑏,𝑥都为负数时，A,C选项不正确.当𝑎,𝑏为正数时，B选项不正确.根据基本不等式，有

𝑥2

+1

𝑥

2≥

2

𝑥2⋅1

𝑥2=2，故选D.

2．

（2019山东师范大学附中高一期中）已知x＞0，函数9

yx

x=+

的最小值是（ ）

A．2B．4C．6D．8【答案】C

【解析】∵x＞0

，∴函数99

26yxx

xx=+³×=

，当且仅当x=3时取等号，

∴y的最小值是6．故选：C．

3.（2019广东高一期末）若正实数a，b满足𝑎+𝑏=1，则下列说法正确的是( )

A．ab有最小值1

4B．𝑎+

𝑏有最小值

2

C．1

𝑎+1

𝑏有最小值4D．𝑎2

+

𝑏2

有最小值2

2

【答案】C

【解析】∵a>0，b>0，且a+b=1；∴1=a+b≥2ab；

∴ab≤1

4；∴ab有最大值1

4，∴选项A错误；

𝑎+𝑏2

=𝑎+𝑏+2

𝑎𝑏=1+2

𝑎𝑏≤

1+21

4=2，∴

𝑎+

𝑏≤

2，即

a+

b有最大值

2，

∴B项错误.

1

a+1

b=ab

ab=1

ab≥4，∴1

a+1

b有最小值4，∴C正确；

𝑎2

+𝑏2

=(𝑎+𝑏)2

―2𝑎𝑏=1―2𝑎𝑏≥1―2×1

4=1

2,∴a2

+b2

的最小值是1

2，不是2

2，∴D错误．

4．（2019·柳州市第二中学高一期末）若𝑥>―5，则𝑥+4

𝑥5的最小值为（ ）

A．-1 B．3 C．-3 D．1【答案】A

【解析】𝑥+4𝑥

5=𝑥+5+4𝑥

5―5≥2×2―5=―1

，当且仅当𝑥=―3

时等号成立，故选A.

5．（2019吉林高一月考）若1

2fxx

x=+

- (2)x>

在xn=

处取得最小值，则n=

（ ）

A

．5

2 B．3 C

高考数学经典专题：三元基本不等式习题(含详解答案)

高考数学经典专题：三元基本不等式习题(含详解答案)

高考经典专题：三元基本不等式习题

1．设0x，则2142fxxx的最大值为（ ）

A．242 B．42 C．不存在 D．52

2．函数230yxxx的最小值是 ( )

A．33218 B． C． D．

3．若2,3ab，则1(2)(3)abab的最小值为________.

4．（1）已知,,xyz均为正数，且1864xyz，求证：(82)(82)(82)27xyz；

（2）已知实数,mn满足m1，12n，求证：222224142mnmnmnmn.

5．已知正数x、y、z，且1xyz.

（1）证明：222yxyzxzyzxzxy；

（2）证明：22212xyyzzx.

6．已知,,abc为正数，且1abc，求证333()()()24abacbc．

7．已知a，b，c为一个三角形的三边长.证明：

（1）3bcaabc；

（2）22abcabc.

8．（选修4-5：不等式选讲）

已知0,0,0xyz，且1xyz，求证：333xyzxyyzxz

参考答案

1．D32221115444322222222xxxxfxxxxx

当21222xxx即1x时等号成立

2．A函数2322333333182233222xxyxxxxxx，当且仅当232xx，即x＝3122时取等号，故函数230yxxx的最小值是33182．

3．8令2,3atbm2,3ab，20,30ab，即0,0tm，

所以31115358(2)(3)abtmtmabtmtm，

当且仅当1tmtm，即123(2)(3)abab，即当3,4ab时等号成立.

基本不等式练习题

基本不等式练习题

基本不等式练习题

一、选择题

1. 若a、b均为正数，则下列不等式中正确的是（ ）

A. (a+b)/2 ≥ √(ab)

B. (a+b)/2 ≤ √(ab)

C. a^2 + b^2 ≥ 2ab

D. a^2 + b^2 ≤ 2ab

2. 已知x > 0，则下列不等式中正确的是（ ）

A. x + 1/x ≥ 2

B. x + 1/x ≤ 2

C. x 1/x ≥ 0

D. x 1/x ≤ 0

3. 若a、b、c均为正数，且a+b+c=1，则下列不等式中正确的是（ ）

A. a^2 + b^2 + c^2 ≥ 1/3

B. a^2 + b^2 + c^2 ≤ 1/3

C. a^3 + b^3 + c^3 ≥ 1/3

D. a^3 + b^3 + c^3 ≤ 1/3

二、填空题

1. 若a、b均为正数，且a+b=1，则a^2 + b^2 的取值范围是______。

2. 已知x > 0，则x + 1/x 的最小值是______。 3. 若a、b、c均为正数，且a+b+c=abc，则a+b+c 的最小值是______。

三、解答题

1. 设x、y均为正数，证明：x^2 + y^2 ≥ 2xy。

2. 已知a、b均为正数，且a+b=1，求证：(a^2 + b^2) / (a + b)

≥ 1/2。

3. 设x、y、z均为正数，证明：(x+y+z) / (1/x + 1/y + 1/z)

≤ (x^2 + y^2 + z^2) / (x + y + z)。

4. 已知a、b、c均为正数，且a+b+c=3，求证：a^2 + b^2 + c^2

≥ 3。

5. 设x、y均为实数，证明：(x+y)^2 ≤ 2(x^2 + y^2)。

四、应用题

1. 在一个矩形中，长比宽大2厘米，如果矩形的周长不超过20厘米，求矩形面积的最大值。

2. 某企业生产两种产品A和B，生产每吨A产品可获利1000元，生产每吨B产品可获利1500元。若企业每月的生产能力为生产A产品10吨和B产品8吨，且每月的总利润不少于12000元，求该企业每月生产A、B产品的最佳利润分配方案。