【解析版】中考数学常考易错点：4.6《梯形》(原创)

第18讲 梯形考纲要求备考指津1.了解梯形的有关概念与分类，掌握梯形的性质与判定．2.能灵活添加辅助线，把梯形问题转化为三角形、平行四边形的问题来解决.等腰梯形的性质和判定是中考考查的重点，实际问题中往往和特殊三角形、特殊四边形的知识结合在一起综合运用．考点一 梯形的有关概念及分类1．一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．平行的两边叫做底，两底间的距离叫做梯形的高．2．两腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 3．梯形的分类梯形⎩⎨⎧一般梯形特殊梯形⎩⎪⎨⎪⎧直角梯形等腰梯形4．梯形的面积等于12(上底＋下底)×高．考点二 等腰梯形的性质与判定 1．性质：(1)等腰梯形的两腰相等，两底平行． (2)等腰梯形同一底上的两个角相等． (3)等腰梯形的对角线相等．(4)等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴． 2．判定：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形． (3)对角线相等的梯形是等腰梯形． 考点三 梯形问题的解决方法梯形问题常通过――→转化辅助线三角形或平行四边形来解答，转化时常用的辅助线有：1．平移一腰，即从梯形的一个顶点作另一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形．2．过顶点作高，即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形．3．平移一条对角线，即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形．4．延长梯形两腰使它们相交于一点，把梯形转化成三角形． 5．过一腰中点作辅助线．(1)过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形； (2)连接一底的端点与一腰中点，并延长与另一底的延长线相交，把梯形转化成三角形．1．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝30°，∠C ＝60°，AD ＝4，AB ＝33，则下底BC 的长为__________．2．等腰梯形的上底是 4 cm ，下底是10 cm ，一个底角是60°，则等腰梯形的腰长是__________ cm.3．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A ′处，若∠A ′BC ＝20°，则∠A ′BD 的度数为( )．A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°4．已知梯形的上底长为2，下底长为5，一腰长为4，则另一腰长x 的取值范围是__________．5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝AD ＝2，BC ＝4.求∠B 的度数及AC 的长．一、一般梯形的性质【例1】 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ＝CD ，∠BDC ＝90°，AD ＝3，BC ＝8，求AB 的长．解：如图，作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F .∴AE ∥DF ，∠AEF ＝90°.∵AD ∥BC ，∴四边形AEFD 是矩形． ∴EF ＝AD ＝3，AE ＝DF . ∵BD ＝CD ，DF ⊥BC ，∴DF 是△BDC 边BC 上的中线． ∵∠BDC ＝90°，∴DF ＝12BC ＝BF ＝4.∴AE ＝4，BE ＝BF －EF ＝4－3＝1.在Rt△ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2，∴AB ＝42＋12＝17.通过作辅助线，构造平行四边形和三角形，从而把分散的条件归结到平行四边形或三角形中．二、等腰梯形的性质与判定【例2】 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝AD ，BD ⊥CD ．(1)求sin∠DBC 的值；(2)若BC 长度为4 cm ，求梯形ABCD 的面积． 解：(1)∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABD ． ∵AD ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADB ＝∠ABD ． ∵在梯形ABCD 中，AB ＝CD ， ∴∠ABD ＋∠DBC ＝∠C ＝2∠DBC ． ∵BD ⊥CD ，∴3∠DBC ＝90°.∴∠DBC ＝30°.∴sin∠DBC ＝12.(2)如图，过点D 作DF ⊥BC 于F.在Rt △CDB 中，BD =BC ·cos ∠DBC =23， 在Rt △BDF 中，DF =BD ·sin ∠DBC =3， 在Rt △DFC 中，∵∠C =60°，∴CD =2.∴AD =2.∴S 梯形ABCD =12×(2+4)×3=3 3 (cm 2)．在应用等腰梯形性质时，常通过作出两高，平移一腰，延长两腰等辅助线将等腰梯形转化为三角形、平行四边形、矩形等来解决．如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C=60°，AD ∥BC ，且AD=DC ，E ，F 分别在AD ，DC 的延长线上，且DE=CF ，AF ，BE 交于点P.(1)求证：AF=BE ；(2)请你猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论． 三、梯形问题的转化【例3】 如图，在梯形ABC D 中，AD ∥BC ，AB ⊥AC ，∠B ＝45°，AD ＝2，BC ＝42，求DC 的长．分析：由于△ABC是等腰直角三角形，且BC＝42，可得出BC边上的高．只要通过平移腰CD，就可与BC边上的高构成直角三角形，从而求出CD．解：过A作AE∥DC交BC于E，过A作AF⊥BC于F，如图所示．∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形．∴AE＝DC，AD＝EC＝ 2.又∵AB⊥AC，∠B＝45°，BC＝42，∴AB＝AC＝4.∴AF＝BF＝2 2.∴EF＝BC－BF－EC＝ 2.在Rt△AFE中，AE＝AF2＋EF2＝(22)2＋(2)2＝10，即DC＝10.解决梯形问题作辅助线的方法要结合题目的条件和要证结论的需要灵活运用．若题中已知两对角线的条件，可考虑平移对角线，使两对角线在同一个三角形中；若已知两腰的某些条件，可考虑平移一腰；若已知两底角互余，可平移一腰或延长两腰构成直角三角形；若要求梯形的面积，常作出梯形的高．1．(2012安徽)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2,4,3，则原直角三角形纸片的斜边长是( )．A．10 B．4 5 C．10或4 5 D．10或2172．(2011湖南邵阳)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2 cm，则上底DC的长是__________ cm.3．(2011广东湛江)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90°，CD＝5，AB＝11，点M，N分别为AB，CD的中点，则线段MN＝__________.4．(2012四川南充)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE＝C D．求证：∠B＝∠E.1．梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝4，∠C＝70°，∠B＝40°，则AB的长为( )．A．2 B．3 C．4 D．52．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2 cm，则梯形ABCD的面积为( )．A．3 3 cm2 B．6 cm2 C．6 3 cm2 D．12 cm23．把长为8 cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6 cm2，则打开后梯形的周长是( )．A．(10＋213) cm B．(10＋13) cm C．22 cm D．18 cm4．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝1 cm，AD＝6 cm，CD＝9 cm，则BC＝______ cm.5．直角梯形两腰的比为1∶2，则它的内角中锐角的度数为__________．6．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DCB＝90°，AB＝25 cm，BC＝24 cm，将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么梯形ABCD的面积为__________ cm2.7．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AD＝4，BC＝8，则AE＋EF等于__________．8．如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，过点C 作CE ⊥AC 且与AB 的延长线交于点E ，求证：四边形AECD 是等腰梯形．参考答案基础自主导学自主测试1．10 2.6 3.C 4.1＜x ＜75．解：分别作出AF ⊥BC ，DG ⊥BC ，F ，G 是垂足，如下图，∴∠AFB ＝∠DGC ＝90°. ∵AD ∥BC ，∴四边形AFGD 是矩形．∴AF ＝DG .∵AB ＝DC ，∴Rt △AFB ≌Rt △DGC . ∴BF ＝CG .∵AD ＝2，BC ＝4，∴BF ＝1.在Rt △AFB 中，∵cos B ＝BF AB ＝12，∴∠B ＝60°.∵BF ＝1，∴AF ＝ 3.∵FC ＝3，由勾股定理得AC ＝23， 即∠B ＝60°，AC ＝2 3. 规律方法探究变式训练 解：(1)证明：∵BA ＝CD ，AD ＝CD ， ∴BA ＝AD ，∠BAE ＝∠ADF .∵DE ＝CF ，AD ＝DC ，∴AE ＝DF ， ∴△BAE ≌△ADF .∴BE ＝AF . (2)解：猜想∠BPF ＝120°. 由(1)知△BAE ≌△ADF ， ∴∠ABE ＝∠DAF .∴∠BPF ＝∠ABE ＋∠BAP ＝∠BAE .而AD ∥BC ，∠C ＝∠ABC ＝60°.∴∠BPF ＝120°. 知能优化训练中考回顾1．C 2.2 3.34．证明：∵CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠E . ∵AD ∥BC ，∴∠CDE ＝∠DCB . ∴∠E ＝∠DCB .∵AB ＝DC ，∴∠B ＝∠DCB ，∴∠B ＝∠E . 模拟预测1．B 2.A 3.A 4．10 5.30° 6.384 7．10 8．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，∴∠CAE ＝12∠DAB ＝30°.又∵CE ⊥AC ，∴∠E ＝60°＝∠CBE .∴CE ＝BC ＝AD . ∵CD ∥AE ，AE ＝AB ＋BE ＝DC ＋BE ≠DC ， ∴四边形AECD 是等腰梯形．。

全国中考数学真题解析120考点汇编梯形一、选择题1.（2011•宁夏，3，3分）等腰梯形的上底是2cm，腰长是4cm，一个底角是60°，则等腰梯形的下底是（）A、5cmB、6cmC、7cmD、8cm考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质。

专题：计算题。

分析：过D作DE∥AB交BC于E，推出平行四边形ABED，得出AD=BE=2cm，AB=DE=DC，推出等边三角形DEC，求出EC的长，根据BC=EB+EC即可求出答案．解答：解：过D作DE∥AB交BC于E，∵DE∥AB，AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE=2cm，DE=AB=4cm，∠DEC=∠B=60°，AB=DE=DC，∴△DEC是等边三角形，∴EC=CD=4cm，∴BC=4cm+2cm=6cm．故选B．点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，全等等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，把等腰梯形转化成平行四边形和等边三角形是解此题的关键．2.（2011新疆乌鲁木齐，9，4）如图．梯形ABCD中，AD∥BC、AB＝CD，AC丄BD于点O，∠BAC＝60°，若BC＝6，则此梯形的面积为（）A、2B、1＋3C、62 D、2＋3考点：等腰梯形的性质；垂线；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理。

专题：计算题。

分析：过O作EF⊥AD交AD于E，交BC于F，根据等腰梯形的性质得出∠ABC＝∠DCB，证△ABC≌△DCB，推出∠DBC＝∠ACB，求出∠DBC＝∠ACB＝45°，根据直角三角形性质求出OF，根据勾股定理求出OB、OA，OE、AD，根据面积公式即可求出面积．解答：解：过O作EF⊥AD交AD于E，交BC于F，∵等腰梯形ABCD ，AD∥BC，AB ＝CD ，∴∠ABC＝∠DCB，∵BC＝BC ，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC＝∠ACB， ∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠DBC＝∠ACB＝45°，∴OB＝OC ， ∵OF⊥BC，∴OF＝BF ＝CF ＝21BC ＝26，由勾股定理得：OB ＝3， ∵∠BAC＝60°，∴∠ABO＝30°，由勾股定理得：OA ＝1，AB ＝2， 同法可求OD ＝OA ＝1，AD ＝2，OE ＝22， S 梯形ABCD ＝21（AD ＋BC ）•EF＝21×（62 ）×（22＋26）＝2＋3 故答案为：2＋3．点评：本题主要考察对等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂线，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．3.（2011•贵港）如图所示，在梯形ABCD 中，AB∥CD，E 是BC 的中点，EF⊥AD 于点F ，AD=4，EF=5，则梯形ABCD 的面积是（ ）A 、40B 、30C 、20D 、10考点：梯形；全等三角形的判定与性质。

4.5特殊的四边形易错清单1.矩形的性质.【解析】连接BE,设AB=3x,BC=5x,根据勾股定理求出AE=4x,DE=x,求出x的值,求出AB,BC,即可求出答案.【答案】如图,连接BE,则BE=B C.设AB=3x,BC=5x,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=3x,AD=BC=5x,∠A=90°.由勾股定理,得AE=4x,则DE=5x-4x=x,【误区纠错】本题考查了矩形的性质,勾股定理的应用,解此题的关键是求出x的值.2.菱形面积的计算.【例2】(2014·甘肃兰州)如果菱形的两条对角线的长为a和b,且a,b满足那么菱形的面积等于.【解析】根据非负数的性质列式求出a,b,再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解.【答案】由题意,得a-1=0,b-4=0,解得a=1,b=4,∵菱形的两条对角线的长为a和b,∴菱形的面积【误区纠错】本题考查了非负数的性质,菱形的性质,主要利用了菱形的面积等于对角线乘积的一半.3.正方形的性质.【例3】(2014·广东梅州)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证:CE=CF;(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?【解析】(1)由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD,从而证出CE=CF.(2)由(1)得,CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°.又∠GCE=45°,所以可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ECG≌△FCG,即EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立.【答案】(1)在正方形ABCD中,∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF.(2)GE=BE+GD成立.理由如下:∵由(1),得△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF.∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°,又∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,∴△ECG≌△FCG(SAS).∴GE=GF.∴GE=DF+GD=BE+GD.【误区纠错】本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想,在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段,从而证出关系是不是成立.名师点拨重点:特殊平行四边形的性质和判定的应用.难点:以特殊平行四边形为对象,进行图形变换(如旋转、翻折等),以及将图形问题与函数、方程综合应用的问题.提分策略1.在特殊平行四边形的背景中,探究与三角形相关的问题.以特殊平行四边形为原型,通过图形变换,构造出特殊三角形,提出与三角形相关的问题,解决此类问题的关键是适时添加辅助线,将四边形的问题转化为三角形的问题.【例1】如图,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,EH=12厘米,EF=16厘米,则边AD的长是().A. 12厘米B. 16厘米C. 20厘米D. 28厘米【解析】本题考查的是翻折变换及勾股定理、全等三角形的判定与性质,解答此题的关键是作出辅助线,构造出全等三角形,再根据直角三角形及全等三角形的性质解答.我们先求出△EFH是直角三角形,再根据勾股定理求出FH=20,再利用全等三角形的性质解答即可.【答案】设斜线上两个点分别为P,Q,如图.∵点P是点A对折过去的,∴∠EPH为直角,△AEH≌△PEH.∴∠HEA=∠HEP.同理∠PEF=∠BEF.∴∠PEH+∠PEF=90°.∴四边形EFGH是矩形.∴△DHG≌△BFE,△HEF是直角三角形.∴BF=DH=PF.∵AH=HP,∴AD=HF.∵EH=12cm,EF=16 cm,∴FH===20(cm).∴FH=AD=20cm.故选C.2.以三角形为基本图形,通过图形变换构造四边形问题.以三角形为起点,经历图形变换形成较为复杂的图形,提出与四边形相关的问题,解决此类问题的关键是明确四边形的形成过程,从而根据四边形的边、角及对角线的特性去判定四边形的形状.【例2】如图,已知△ABC,按如下步骤作图:①分别以A,C为圆心,以大于AC的长为半径在AC两边作弧,交于两点M,N;②连接MN,分别交AB,AC于点D,O;③过C作CE∥AB交MN于点E,连接AE,CD.(1)求证:四边形ADCE是菱形;(2)当∠ACB=90°,BC=6,△ADC的周长为18时,求四边形ADCE的面积.【解析】此题主要考查了菱形的判定以及对角线垂直的四边形面积求法,根据已知得出△ADO∽△ABC,进而求出AO的长是解题关键.(1)利用直线DE是线段AC的垂直平分线,得出AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°,进而得出△AOD ≌△COE,即可得出四边形ADCE是菱形.(2)利用当∠ACB=90°时,OD∥BC,即有△ADO∽△ABC,即可得出AC和DE的长即可得出四边形ADCE的面积.【答案】(1)由题意,知直线DE是线段AC的垂直平分线,∴AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°,且AD=CD,AO=CO.又CE∥AB,∴∠ADO=∠CEO.∴△AOD≌△COE.∴OD=OE.∴四边形ADCE是菱形.(2)当∠ACB=90°时,∵OD∥BC,∴△ADO∽△ABC.又BC=6,∴OD=3.又△ADC的周长为18,∴AD+AO=9,即AD=9-AO.∴AO=4.∴DE=6,AC=8.3.利用菱形、正方形的对称性进行解题.求线段和的最小值问题,就是利用轴对称的性质,解决的方法是先确定一点关于直线的对称点,连接另一点与对称点,即可得到线段和的最小值,而在“确定一点关于直线的对称点”时,就是利用了菱形、正方形的对称性.【例3】如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M,N分别是边AB,BC的中点,则PM+PN的最小值是.【解析】由对角线是6和8,知菱形边长为5,作M关于AC的对称点M',连接M'N交AC于点P,则此时PM+PN和最小为线段M'N的长,此时M'N=AB=5.【答案】 54.与正方形相关的综合性问题.由于正方形的特殊性质,可以借助正方形进行运动变化,从而使问题具有较强的探究性,也可以与方程、函数联系起来,即用方程或函数研究图形问题.【例4】已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N,AH⊥MN于点H.(1)如图(1),当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:;(2)如图(2),当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;(3)如图(3),已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论)【解析】(1)由三角形全等可以证明AH=AB.(2)延长CB至E,使BE=DN,证明△AEM≌△ANM,能得到AH=AB.(3)分别沿AM,AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,然后分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3,在Rt△MCN中,由勾股定理,解得x.【答案】(1)AH=AB.(2)数量关系成立.如图(4),延长CB至E,使BE=DN.∵ABCD是正方形,∴AB=AD,∠D=∠ABE=90°.∴Rt△AEB≌Rt△AND.∴AE=AN,∠EAB=∠NAD.∴∠EAM=∠NAM=45°.∵AM=AM,∴△AEM≌△ANM.∵AB,AH是△AEM和△ANM对应边上的高,∴AB=AH.(4)(5)(3)如图(5)分别沿AM,AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND.∴BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°.分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD.由(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD.设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3.在Rt△MCN中,由勾股定理,得MN2=MC2+NC2.∴52=(x-2)2+(x-3)2.解得x1=6,x2=-1(不符合题意,舍去).∴AH=6.专项训练一、选择题1. (2014·江苏常熟二模)如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6cm, 8cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是().(第1题)(第2题)2.(2014·广西梧州模拟)如图,矩形纸片ABCD中,AD=4,CD=3,折叠纸片使AB边与对角线AC 重合,折痕为AE,记与点B重合的点为F,则△CEF的面积与矩形纸片ABCD的面积的比为().3.(2013·江苏扬州弘扬中学二模)如图所示,如果将矩形纸沿虚线①对折后,沿虚线②剪开,剪出一个直角三角形,展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是().(第3题)A. 2+B. 2+2C. 12D. 184. (2013·山西中考模拟六)在下列命题中,正确的是().A. 一组对边平行的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形二、填空题5. (2014·广东深圳模拟)如图, 点A在双曲线上,点B在双曲线上,且AB∥x 轴,点C,D在x轴上,若四边形ABCD为矩形, 且它的面积为3,则k= .(第5题)(第6题)6. (2013·辽宁铁岭模拟)如图,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B,D作DE⊥a 于点E,BF⊥a于点F,若DE=4,BF=3,则EF的长为.三、解答题7. (2014·安徽安庆一模)如图,n×n的正方形网格.请按图形的规律,探索以下问题:(第7题)…(1)第④个图形中阴影部分小正方形的个数为;(2)是否存在阴影部分小正方形的个数是整个图形中小正方形的个数的?如果存在,是哪个图形,如果不存在,请说明你的理由.参考答案与解析1. D[解析] AC,BD的长分别为6cm, 8cm,2. B[解析] AF=AB=3, CF=AC-AF=5-3=2,设BE=x, 则CE=4-x, EF=x,∴x2+22=(4-x)2.3. B[解析]可以自己动手折一下得出正确的答案.4. C[解析]一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;有一个角是直角的平行四边形是小学+初中+高中矩形;对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.6. 7[解析]可证△ABF≌△DAE,则AF=DE,BF=AE,所以EF=AF+AE=3+4=7.7. (1)22个(2)存在.解得n1=10,n2= (舍去).所以第⑩个图形存在.小学+初中+高中。

梯形一、选择题1．下列结论正确的是（）A．四边形可以分成平行四边形和梯形两类B．梯形可分为直角梯形和等腰梯形两类C．平行四边形是梯形的特殊形式D．直角梯形和等腰梯形都是梯形的特殊形式2．四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C：∠D=2：2：1：3，则这个四边形是（）A．梯形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．任意四边形3．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC，BD相交于O点，∠BCD=60°，则下列说法错误的是（）A．梯形ABCD是轴对称图形B．BC=2ADC．梯形ABCD是中心对称图形D．AC平分∠DCB二、填空题4．等腰梯形ABCD对角线交于O点，∠BOC=120°，∠BDC=80°，则∠DAB= ．5．一梯形是上底为4cm，过上底的一顶点，作一直线平行于一腰，并与下底相交组成一个三角形，若三角形的周长为12cm，则梯形的周长是．6．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，BC=5，AD=3，则CD= ．7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC上一点，DE∥AB，AD的长为1，BC的长为2，则CE的长为．8．梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为．三、解答题9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，求证：BM=MC．10．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，那么四边形BCED是什么形状的图形呢？11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=，BC=4，求DC的长．12．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8．求：梯形两腰AB、CD的长．13．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，CE∥DA，交AB于E，且△BCE的周长为7cm，CD为3cm，求梯形ABCD的周长．14．如图所示，在梯形ABCD中，上底AD=1cm，下底BC=4cm，对角线BD⊥AC，交点为E，且BD=3cm，AC=4cm．（1）求ABCD面积；（2）求△BEC面积．15．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．16．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．梯形参考答案与试题解析一、选择题1．下列结论正确的是（）A．四边形可以分成平行四边形和梯形两类B．梯形可分为直角梯形和等腰梯形两类C．平行四边形是梯形的特殊形式D．直角梯形和等腰梯形都是梯形的特殊形式【考点】多边形．【分析】平行四边形和梯形是特殊的四边形，直角梯形和等腰梯形是特殊的梯形，平行四边形是两边互相平行的四边形，梯形是一组对边互相平行，另一组对边不平行的四边形．【解答】解：A、四边形可以分成平行四边形和梯形两类，说法错误；B、梯形可分为直角梯形和等腰梯形两类，说法错误；C、平行四边形是梯形的特殊形式，说法错误；D、直角梯形和等腰梯形都是梯形的特殊形式，说法正确；故选：D．【点评】此题主要考查了多边形，关键是掌握梯形、平行四边形、直角梯形、等腰梯形与四边形的关系．2．四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C：∠D=2：2：1：3，则这个四边形是（）A．梯形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．任意四边形【考点】直角梯形．【分析】设四角的度数分别为：2X，2X，X，3X，根据四边形的内角和公式即可求得各角的度数，从而便可求得该四边形的形状．【解答】解：由题意，设四角的度数分别为：2X，2X，X，3X，由四边形的内角和为360°，得X+2X+2X+3X=360°，解得X=45°，四角分别为：90度，90度，45度，135度，有两个邻角为90度，所以是直角梯形．故选C．【点评】本题通过设适当的参数，根据四边形的内角和建立方程，求得各角的度数进行判定．3．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC，BD相交于O点，∠BCD=60°，则下列说法错误的是（）A．梯形ABCD是轴对称图形B．BC=2ADC．梯形ABCD是中心对称图形D．AC平分∠DCB【考点】梯形．【专题】压轴题．【分析】利用已知条件，对四个选逐个验证，即可得到答案．【解答】解：A、根据已知条件AB=CD，则该梯形是等腰梯形，等腰梯形是轴对称图形，正确；B、过点D作DE∥AB交BC于点E，得到平行四边形ABED和等边三角形CDE．所以BC=2AD，正确；C、根据中心对称图形的概念，等腰梯形一定不是中心对称图形，错误；D、根据等边对等角和平行线的性质，可得AC平分∠BCD，正确．故选C．【点评】要熟悉这个上底和腰相等且底角是60°的等腰梯形的性质；理解轴对称图形和中心对称图形的概念．二、填空题4．等腰梯形ABCD对角线交于O点，∠BOC=120°，∠BDC=80°，则∠DAB= 110°．【考点】等腰梯形的性质．【分析】首先根据题意画出图形，分别从AD∥BC与AB∥CD去分析求解，由图（1）可证得△ABC≌△DCB，即可求得∠ACB的度数，继而可求得答案；由图（2）可得不符合要求．【解答】解：如图（1），若AD∥BC，AB=CD，则AC=BD，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ACB=∠DBC，∠BAC=∠BDC=80°，∵∠BOC=120°，∴∠ACB=30°，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=110°．如图（2），若AB∥CD，AD=BC，则AC=BD，在△ACD和△BDC中，，∴△ACD≌△BDC（SSS），∴∠ACD=∠BDC=80°，∴∠BOC=∠BDC+∠ACD=160°≠120°（不符合要求，舍去）．故答案为：110°．【点评】此题考查了等腰梯形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．5．一梯形是上底为4cm，过上底的一顶点，作一直线平行于一腰，并与下底相交组成一个三角形，若三角形的周长为12cm，则梯形的周长是20cm ．【考点】梯形．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】首先根据题意画出图形，由一梯形是上底为4cm，过上底的一顶点，作一直线平行于一腰，并与下底相交组成一个三角形，易得四边形AECD是平行四边形，又由△BCE的周长为12cm，CD为4cm，即可得形ABCD的周长=△BCE的周长+AE+CD．【解答】解：如图，∵梯形ABCD中，AB∥CD，CE∥DA，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE=CD=4cm，CE=AD，∵△BCE的周长为12cm，即CE+BE+CD=12cm，∴AD+BE+BC=12cm，∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=AD+AE+BE+BC+CD=AD+BE+BC+4+4=12+4+4=20（cm）．故答案为：20cm．【点评】此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．6．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，BC=5，AD=3，则CD= 2 ．【考点】梯形．【分析】已知∠B=50°，∠C=80°，过A点作AE∥CD，交BC于E点，利用平移将两个角“移”到同一个三角形中，证明△ABE为等腰三角形，得出线段的相等关系及和差关系．【解答】解：过A点作AE∥CD，交BC于E点，∵AD∥BC，∴四边形ADCE为平行四边形，CD=AE，AD=EC；又∵∠C=80°，∴∠AEB=80°，在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠AEB=50°∴AE=BE，CD=BE=BC﹣EC=BC﹣AD=2．【点评】本题考查了梯形常用的作辅助线的方法：平移一腰，等腰三角形的判定及性质的运用．7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC上一点，DE∥AB，AD的长为1，BC的长为2，则CE的长为 1 ．【考点】梯形．【分析】根据已知证明四边形ABED为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得BE=AD，从而可求CE．【解答】解：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，BE=AD，∴CE=BC﹣BE=BC﹣AD=2﹣1=1．【点评】本题考查了梯形常用的作辅助线的方法，平行四边形的判定与性质．8．梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 6 ．【考点】梯形中位线定理．【分析】结合梯形的中位线定理以及梯形的面积公式，得梯形的面积等于中位线长和高的乘积．【解答】解：根据题意，得该梯形的面积为3×2=6．【点评】熟记梯形的面积公式：梯形的面积=两底和的一半×高=梯形的中位线×高．三、解答题9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，求证：BM=MC．【考点】等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】欲证MB=MC，可利用等腰梯形的性质“两腰相等；同一底边上的两个角相等”证△ABM≌△DCM，然后由全等三角形对应边相等得出．【解答】证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠A=∠D．∵M是AD的中点，∴AM=DM．在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SAS）．∴MB=MC．【点评】本题主要考查等腰梯形的性质的应用．10．（2011秋•安溪县校级期末）如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，那么四边形BCED是什么形状的图形呢？【考点】等腰梯形的判定．【分析】根据已知条件中AD=AE及∠B=∠C可推得∠ADE=∠B，则DE∥BC．而由∠B=∠C，可得AB=AC，又因为BD与CE交于点A，故BD不平行与CE，所以四边形BCED是等腰梯形．【解答】可以猜测四边形BCED是等腰梯形．解：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠A），又∵∠B=∠C=（180°﹣∠A），∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC．由BD与CE交于点A，∴BD不平行与CE，∴四边形BCED是梯形．∵∠B=∠C，∴AB=AC，又∵AD=AE，∴BD=CE，∴四边形BCED是等腰梯形．【点评】此题主要考查了等腰梯形的判定．要说明四边形BCED是等腰梯形必须先说明BCED是梯形，根据梯形的定义，论证DE∥BC，同时要说明DB与EC不平行，这一点容易被遗漏．11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=，BC=4，求DC的长．【考点】梯形；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性质．【分析】要求DC的长，根据已知条件可将它转化为直角三角形的边，由勾股定理即可求得．【解答】解：解法一：如图1，分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．∴AE∥DF．又AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形．∴EF=AD=．∵AB⊥AC，∠B=45°，BC=4，∴AB=AC．∴AE=EC=BC=2．∴DF=AE=2，CF=EC﹣EF=在Rt△DFC中，∠DFC=90°，∴DC=．解法二：如图2，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4=4在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=，∴DE=AE=1．∴CE=AC﹣AE=3．在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC=．【点评】统观北京及全国各地中考试卷，几何中的计算往往会与两个知识点有关：①圆；②梯形．本题考点：等腰直角三角形的性质、特殊四边形的性质、勾股定理．12．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8．求：梯形两腰AB、CD的长．【考点】梯形．【分析】平移一腰，得到平行四边形和30°的直角三角形，根据它们的性质进行计算．【解答】解：作DE∥AB交BC于点E，则四边形ABED是平行四边形．∴AB=DE，AD=BE，∠DEC=∠B=60°，∵∠C=30°，∴∠EDC=180°﹣60°﹣30°=90°，∵CE=BC﹣BE=BC﹣AD=6，∴DE=3，CD=3，即AB=3，CD=，【点评】本题考查与梯形有关的问题，平移一腰是梯形中常见的辅助线，再根据平行四边形的性质和三角形的性质进行分析．13．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，CE∥DA，交AB于E，且△BCE的周长为7cm，CD为3cm，求梯形ABCD的周长．【考点】梯形．【专题】计算题．【分析】首先根据题意画出图形，由梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，CE∥DA，易得四边形AECD是平行四边形，又由△BCE的周长为7cm，CD为3cm，即可得形ABCD的周长=△BCE的周长+AE+CD．【解答】解：如图，∵梯形ABCD中，AB∥CD，CE∥DA，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE=CD=3cm，CE=AD，∵△BCE的周长为7cm，即CE+BE+CD=7cm，∴AD+BE+BC=7cm，∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=AD+AE+BE+BC+CD=AD+BE+BC+3+3=7+3+3=13（cm）．【点评】此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．14．如图所示，在梯形ABCD中，上底AD=1cm，下底BC=4cm，对角线BD⊥AC，交点为E，且BD=3cm，AC=4cm．（1）求ABCD面积；（2）求△BEC面积．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；梯形．【分析】（1）首先过点D作DF∥AC交BC的延长线于F点．易证得四边形ACFD为平行四边形．由BD⊥AC，即可得BD⊥DF，又由在Rt△BDF中，BD=3cm，DF=4cm，BF=5cm，即可求得BC边上的高，继而求得四边形ABCD面积；（2）由AD∥BC，即可证得△ADE∽△CBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BE与CE的长，继而求得△BEC面积．【解答】解：（1）过点D作DF∥AC，交BC的延长线于F点．∵AD∥BC，∴四边形ACFD为平行四边形．∴DF=AC=4cm，AC∥DF，CF=AD=1cm，∴BF=BC+CF=4+1=5（cm），∵AC⊥BD，∴BD⊥DF，在Rt△BDF中，BD=3cm，DF=4cm，BF=5cm，∴BC边上的高h为：（cm），∴S四边形ABCD=（AD+BC）h=×（1+4）×=6（cm2）；（2）∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∴，∴，，∴DE=cm，AE=cm，∴BE=3﹣DE=3﹣（cm），EC=4﹣AE=（cm），S△BEC=BE•EC=（cm2）．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．15．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．【考点】直角梯形．【专题】证明题．【分析】延长CE交BA的延长线于点G，那么可得△CED≌△GEA，那么CE=GE，AE=DE，进而可得BC=BG，那么CE⊥BE．【解答】证明：延长CE交BA的延长线于点G，即交点为G，∵E是AD中点，∴AE=ED，∵AB∥CD，∴∠CDE=∠GAE，∠DCE=∠AGE，∴△CED≌△GEA，∴CE=GE，AG=DC，∴GB=BC=3，∴EB⊥EC．【点评】考查梯形的常用辅助线方法的应用；碰到中点问题时构造全等三角形是常用的辅助线方法．16．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．【考点】全等三角形的判定与性质；梯形．【专题】证明题．【分析】（1）由CF平分∠BCD可知∠BCF=∠DCF，然后通过SAS就能证出△BFC≌△DFC．（2）要证明AD=DE，连接BD，证明△BAD≌△BED则可．AB∥DF⇒∠ABD=∠BDF，又BF=DF⇒∠DBF=∠BDF，∴∠ABD=∠EBD，BD=BD，再证明∠BDA=∠BDC则可，容易推理∠BDA=∠DBC=∠BDC．【解答】证明：（1）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF．在△BFC和△DFC中，∴△BFC≌△DFC（SAS）．（2）连接BD．∵△BFC≌△DFC，∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB．∴∠ABD=∠FBD．∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC．∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC．∴∠BDA=∠BDC．又∵BD是公共边，∴△BAD≌△BED（ASA）．∴AD=DE．【点评】这道题是主要考查全等三角形的判定和性质，涉及的知识比较多，有点难度．。