基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合_曾清红

python 移动最小二乘法移动最小二乘法（Moving Least Squares，简称MLS）是一种数学优化技术，用于拟合数据点。

它通过在数据点之间移动一个窗口来拟合数据，从而得到一个平滑的曲线。

这种方法可以有效地处理噪声和异常值，提高拟合精度。

在Python中，可以使用numpy和scipy库实现移动最小二乘法。

以下是一个简单的示例：import numpy as npfrom scipy.optimize import curve_fit# 定义拟合函数，这里以二次多项式为例def func(x, a, b, c):return a * x**2 + b * x + c# 生成模拟数据x_data = np.linspace(0, 10, 100)y_data = 3 * x_data**2 + 2 * x_data + 1 + np.random.normal(0, 5, 100)# 使用curve_fit进行移动最小二乘拟合popt, pcov = curve_fit(func, x_data, y_data)# 输出拟合参数print("拟合参数：", popt)# 绘制原始数据和拟合曲线import matplotlib.pyplot as pltplt.plot(x_data, y_data, 'bo', label='原始数据')plt.plot(x_data, func(x_data, *popt), 'r-', label='拟合曲线')plt.legend()plt.show()在这个示例中，我们首先导入了`numpy`和`scipy.optimize`中的`curve_fit`函数。

然后，我们定义了一个二次多项式作为拟合函数。

接下来，我们生成了一些模拟数据，并使用`curve_fit`函数进行移动最小二乘拟合。

基于移动最小二乘法的点云叶面三维重建刘俊焱;云挺;周宇;薛联凤【摘要】利用地面激光扫描仪获取户外树木的大量点云数据，从中截取树叶点云数据并以此进行曲面拟合，构建树叶真实的三维模型。

主要针对空间散乱点云数据的曲面拟合方法进行研究，并利用Delaunay三角剖分构建树叶三维模型。

在移动最小二乘法的二维曲面拟合方法基础上，针对空间散乱点云数据，提出了新的曲面拟合方法。

通过移动最小二乘法对点云数据曲面拟合，得到了理想的效果后再利用三角剖分重建叶面三维模型。

%A large quantity of point cloud data of outdoor trees are obtained by a terrestrial laser scanner(TLS),with leaf-related point cloud data intercepted from it for blade curve surface fitting and real 3D model construction. The curve surface fitting method for point cloud data scattered in space is mainly studied,and Deluanay triangulation is used to construct a three-dimensional model. Based on the two-dimensional curve surface fitting method of moving least square,in view of the point cloud data scattered in space,a new curve surface fitting method is presented. Through the curve surface fitting of point cloud data based on moving least square,a lead 3D model is reconstructed using Deluanay triangulation after a desired result is obtained.【期刊名称】《林业机械与木工设备》【年(卷),期】2014(000)009【总页数】6页(P37-41,47)【关键词】激光扫描仪;点云数据;曲面拟合;移动最小二乘法;Delaunay三角剖分【作者】刘俊焱;云挺;周宇;薛联凤【作者单位】南京林业大学信息科学技术学院，江苏南京 210037;南京林业大学信息科学技术学院，江苏南京 210037;南京林业大学信息科学技术学院，江苏南京 210037;南京林业大学信息科学技术学院，江苏南京 210037【正文语种】中文【中图分类】TS512Abstract：A large quantity of point cloud data of outdoor trees are obtained by a terrestrial laser scanner（TLS），with leaf-related point cloud data intercepted from it for blade curve surface fitting and real 3D model construction.The curve surface fittingmethod for point cloud data scattered in space is mainlystudied，and Deluanaytriangulation is used toconstruct a three-dimensional model.Based on the two-dimensional curve surface fitting method of moving least square，in viewof the point cloud data scattered in space，a newcurve surface fittingmethod is presented.Through the curve surface fitting of point cloud data based on moving least square，a lead 3D model is reconstructed using Deluanay triangulation after a desired result is obtained.Key words：terrestrial laser scanner；point cloud data；curve surface fitting；movingleast squares；Delaunaytriangulation取的点云数据分布不均和含有噪声或误差。

§2 多项式拟合函数
例3.1 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差
x 1 23 4 6 7 8 y 2 36 7 5 3 2
解: step1: 描点
7
*
step2: 从图形可以看出拟
6 5
*
合曲线为一条抛物线：
4
y c0 c1 x c2 x2
3 2 1
* *
* * *
step3: 根据基函数给出法
法
18
定理 法方程的解是存在且唯一的。
证： 法方程组的系数矩阵为
(0 ,0 ) (1 ,0 )
G
(0
,1
)
(1 ,1 )
(0 ,n ) (1 ,n )
(n ,0 )
(
n
,
1
)
(n ,n )
因为0( x),1( x), ...,n( x)在[a, b]上线性无关，
所以 G 0,故法方程 GC F 的解存在且唯一。
第三章 曲线拟合的最小二乘法
2
最小二乘拟合曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
3
三次样条函数插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
4
Lagrange插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
5
一、数据拟合的最小二乘法的思想
已知离散数据： ( xi , yi ), i=0,1,2,…,m ,假设我们用函
便得到最小二乘拟合曲线
n
* ( x) a*j j ( x) j0
为了便于求解，我们再对法方程组的导出作进一步分析。
第三章 曲线拟合的最小二乘

fpga最小二乘法拟合曲线FPGA最小二乘法拟合曲线FPGA（Field Programmable Gate Array）是一种可编程逻辑器件，具有高度的灵活性和可重构性。

在数字信号处理领域，FPGA被广泛应用于实现各种算法和信号处理任务。

其中，最小二乘法拟合曲线是一种常见的数据处理方法，可以用于数据拟合、信号滤波、图像处理等领域。

最小二乘法是一种数学优化方法，用于寻找一条曲线，使得该曲线与给定数据点的误差平方和最小。

在FPGA中，最小二乘法可以通过硬件实现，具有高速度和低功耗的优点。

下面将介绍FPGA最小二乘法拟合曲线的实现方法和应用。

一、FPGA最小二乘法的实现方法FPGA最小二乘法的实现方法主要包括以下几个步骤：1. 数据采集：将待拟合的数据点采集到FPGA芯片中，可以通过外部ADC芯片或者FPGA内部ADC模块实现。

2. 数据预处理：对采集到的数据进行预处理，包括去噪、滤波、归一化等操作，以提高数据的质量和准确性。

3. 系数计算：根据最小二乘法的原理，计算出拟合曲线的系数，包括截距和斜率等参数。

4. 曲线生成：根据计算出的系数，生成拟合曲线，并将其输出到外部设备或者FPGA内部存储器中。

二、FPGA最小二乘法的应用FPGA最小二乘法可以应用于各种数据处理和信号处理任务中，下面将介绍其在数据拟合和图像处理中的应用。

1. 数据拟合：FPGA最小二乘法可以用于数据拟合，例如对温度、湿度、压力等传感器采集到的数据进行拟合，以得到更加准确的数据模型。

2. 图像处理：FPGA最小二乘法可以用于图像处理，例如对图像中的曲线进行拟合，以实现图像的平滑处理和边缘检测等功能。

三、总结FPGA最小二乘法拟合曲线是一种高效、快速、低功耗的数据处理方法，可以应用于各种数据处理和信号处理任务中。

在实际应用中，需要根据具体的需求和场景选择合适的硬件平台和算法实现方法，以达到最佳的性能和效果。

最小二乘曲面拟合插值法1. 引言1.1 背景介绍最小二乘曲面拟合插值法是一种重要的数学建模方法，它在实际工程和科学问题中具有广泛的应用。

背景介绍将从最小二乘法和曲面拟合的基本概念入手，引出最小二乘曲面拟合插值法的重要性和必要性。

在数学建模中，最小二乘法是一种用于拟合数学模型与实际数据之间关系的经典方法。

通过最小化误差的平方和，最小二乘法能够找到最佳的拟合曲线或曲面，从而准确描述数据的分布规律。

曲面拟合则是在二维或三维空间中，用曲面来逼近一组离散数据点的方法，它在地理信息系统、图像处理、计算机辅助设计等领域有着广泛的应用。

最小二乘曲面拟合插值法结合了最小二乘法和曲面拟合的优势，能够更加灵活地适应不规则数据的拟合需求。

通过在曲面上插值数据点，可以得到更加平滑和连续的曲面模型，提高了数据的分析和预测精度。

在接下来的将详细介绍最小二乘曲面拟合插值法的原理、算法流程、应用领域以及优缺点，以便更好地理解和运用这一重要的数学建模方法。

1.2 研究目的研究目的是通过最小二乘曲面拟合插值法，实现对给定数据集的曲面拟合，从而可以更准确地预测未知数据点的值。

目前，曲面拟合在许多领域都有着广泛的应用，比如地理信息系统中的地形建模、工程领域中的曲面设计等。

我们的研究目的是探讨最小二乘曲面拟合插值法的原理和方法，分析其在实际应用中的优缺点，为实际工程和科学研究提供一种更精确的曲面拟合方法。

我们希望通过本研究，能够为相关领域的研究者和实践者提供一个有效的工具，帮助他们更好地解决曲面拟合问题，提高数据预测的准确性和可靠性。

最终的目的是推动科学技术的发展，促进社会的进步和发展。

2. 正文2.1 最小二乘曲面拟合方法最小二乘曲面拟合方法是一种在数学建模和数据分析中常用的技术，它可以通过拟合数据点来找到最佳的曲面模型。

最小二乘曲面拟合方法的核心思想是通过最小化误差的平方和来求解最优的曲面参数，从而使得拟合曲面与实际数据点尽可能接近。

最小二乘法的曲线拟合曲线拟合是在给定一组离散数据的情况下，通过一个函数来逼近这些数据的过程。

最小二乘法是一种常用的拟合方法，它通过最小化实际观测值与拟合值之间的误差平方和，来确定最佳的曲线拟合。

在进行最小二乘法的曲线拟合之前，我们首先需要明确拟合的目标函数形式。

根据实际问题的不同，可以选择线性拟合函数、多项式拟合函数或者其他非线性拟合函数。

然后，我们通过求解最小二乘问题的优化方程，来得到拟合函数的系数。

最小二乘法的核心思想是将拟合问题转化为一个优化问题。

我们需要定义一个损失函数，用来衡量观测值与拟合值之间的差异。

常见的损失函数有平方损失函数、绝对损失函数等。

在最小二乘法中，我们选择平方损失函数，因为它能够更好地反映误差的大小。

具体来说，我们假设待拟合的数据点为{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，拟合函数为f(x)。

则拟合问题可表示为以下优化方程：min Σ(yi-f(xi))^2通过求解优化方程，即求解拟合函数的系数，我们可以得到最佳的曲线拟合。

最小二乘法的优势在于它能够考虑所有观测值的误差，并且具有较好的稳定性和可靠性。

在实际应用中，最小二乘法的曲线拟合被广泛应用于各个领域。

例如，在物理学中，可以利用最小二乘法来分析实验数据，拟合出与实际曲线相符合的函数。

在经济学中，最小二乘法可以用来估计经济模型中的参数。

在工程领域，最小二乘法可以用于信号处理、图像处理等方面。

总而言之，最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，通过最小化观测值与拟合值之间的误差平方和，来确定最佳的拟合函数。

它具有简单、稳定、可靠的特点，在各个领域都有广泛的应用。

ϕ
r
2.70 480
2.00 670
1.61 830
1.20 1080
1.02 1260
变形为: 解:变形为: 1 = 1 − e cosϕ, 则有如下数据
r
p
p
1 y= r
0.370370 0.669131
0.50000 0.390731
0.621118
0.83333
0.980392
t = cosϕ
其矩阵形式为 Ax = b 方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩不相等时， 当方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩不相等时， 方程组无解，此时方程组称为矛盾方程组 矛盾方程组。 方程组无解，此时方程组称为矛盾方程组。对于 的矛盾方程组（ ），我 rankA＝n（A的秩为n）的矛盾方程组（N>n），我 们寻求其最小二乘意义下的解。 们寻求其最小二乘意义下的解。
k
(2)矩阵
∂2 f 2 ∂x1 P 0 2 ∂ f M = ∂x2∂x1 P 0 ⋮ 2 ∂ f ∂x ∂x n 1 P0
P 0
∂2 f ∂x1∂x2
P 0
∂2 f 2 ∂x2 P 0 ⋮ ∂2 f ∂xn∂x2 P
0
P 0 2 ∂ f ⋯ ∂x2∂xn P 0 ⋱ ⋮ ∂2 f ⋯ 2 ∂xn P 0 ∂2 f ⋯ ∂x1∂xn
1.最小二乘原则 1.最小二乘原则
由于矛盾方程组的精确解不存在， 由于矛盾方程组的精确解不存在，我们转而 寻求其某种意义下，即最小二乘意义下的解。 寻求其某种意义下，即最小二乘意义下的解。 n 令 δi = ∑aij xj −bi (i =1,2,⋯, N) 偏差。 称 δi 为偏差。 工程实际中的许多问题都可以归结为矛盾方程组， 工程实际中的许多问题都可以归结为矛盾方程组， 实际中需要寻求矛盾方程组的一组解， 实际中需要寻求矛盾方程组的一组解，以使得偏差的 N 尽可能地小。 绝对值之和 ∑δi 尽可能地小。为了便于分析

的误差或距离最小。按照这种误差最小原则构造的逼近函数 称为拟合函数，构造拟合函数的过程称为曲线拟合。
第六章 最小二乘法与曲线拟合
从给定的一组实验数据( xi , yi ) (i 1,2,, n) 出发，寻求一 个逼近函数 y ( x) ，使得逼近函数从总体上来说产生的偏 差按照某种方法度量能达到最小而又不一定过全部的实验数 据点 ( xi , yi ) ，这就是曲线拟合法。最常用的曲线拟合法就是 本章所要介绍的最小二乘曲线拟合法。 插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。曲线拟合问题 的特点在于，被确定的曲线原则上并不要求通过给定的数据 点，而只是要求尽可能从给定点附近通过。插值法确定的曲 线要求通过所有给定数据点，对于含有观测误差的数据来说 ，不通过给定数据点的原则显然更为合适。因为这样的处理 ，可以部分地抵消数据中含有的观测误差，从总体上与实际 函数曲线更为符合。
y a bx
上面5组数据大致满足如下方程组：
a 2b 2.01 a 4b 2.98 a 5b 3.50 a 8b 5.02 a 9b 5.47
式中 a , b 为待定参数。
§1 用最小二乘法求解矛盾方程组
确定a , b 的最简单方法是选点法，即在给定的5个点中， 任选两个构造直线。也就是从上述5个等式中任选2个联立即 可解出 a , b。例如选择前两个点可得
m Q aij x j bi i 1 i 1 j 1
n 2 i n
j 1
如果 x j ( j 1,2,, m) 的取值使上式的值达到最小，则称这组 值是矛盾方程组的最优近似解。
§1 用最小二乘法求解矛盾方程组
最优近似解的求解：
偏差平方和最小的必要条件：

都可以作为权函数 。本文采用高斯函数作权函数 ,
即: w (R) =
≤ e - e - (R /c) 2
- ( d / c) 2
1 - e - ( d / c) 2
(R d)
( 12)
0 ( R > d)
其中 : d, c为常数 , d与布点情况相关 。假设 w I ( R ) 为节点 X I 处的高斯权函数 , 则 R = ‖X - X I ‖。
曼昌s斛批图3效率值的最小二乘法拟合曲线图4效率值的移动最小图5效率值的移动最小二乘法拟合曲面二乘法拟合曲线由图可知两种方法得到的曲面形状及曲线的走向基本是一致的为了比较这两种方法的精度定义图6相对误差分布图图7相对误差分布图最小二乘法移动最小二乘法由图67可知利用最小二乘法得到的等效率曲线相对误差分布在1之内的数据点个数为37个
0 ⁝
w2 (X - X2 ) …
⁝
ω
0 ⁝
0
0
… wN ( X - XN )
由 J 对 a的变分为零以及 9a的任意性得 :
A ( X )·a ( X ) - B ( X )·U = 0
(4)
其中 :
A ( X ) = PT ( X )·W ( X )·P ( X )
B ( X ) = PT ( X )·W ( X )
由以上可知 , 移动最小二乘法是基于局部拟合的
一种方法 , 与传统的最小二乘法相比 , 移动最小二乘
法进行了如下的改进 :
( 1) 拟合函数建立不 同 。传 统的 最小 二 乘法 ,
多采用多项式或其它函数进行拟合 。而移动最小二乘
法拟合函数由系数向量 a ( X )和基函数 P ( X )构成 。
( 2) 引入紧支 ( Compact Support) 概念 。即函数

基于移动最小二乘法的点云数据孔洞修补算法张予民【摘要】In order to improve the hole-filling precision of point cloud data and solve some limitations of the current methods, a point cloud data hole-filling algorithm based on moving least square method is proposed. The research status of hole filling of point cloud data is analyzed to get the hole data on the curved surface of the point cloud data. The moving least square method is used to repair the holes of the point cloud data. Its feasibility was tested with a specific application example. The results show that the method can repair the hole of the point cloud data effectively,and get the ideal curved surface reconstruction effect of point cloud data.%由于受到多种因素的综合作用,点云数据不完整,曲面上出现了一些孔洞,为了提高点云数据的孔洞修补精度,解决目前一些方法的局限性,提出基于移动最小二乘法的点云数据孔洞修补算法.首先对当前点云数据孔洞修补研究现状进行分析,并得到点云数据曲面上的孔洞数据,采用移动最小二乘法对点云数据孔洞进行修补,最后通过具体应用实例对其可行性进行测试.结果表明该方法可以对点云数据孔洞进行有效修补,能够获得比较理想的点云数据曲面重建效果.【期刊名称】《现代电子技术》【年(卷),期】2017(040)021【总页数】4页(P31-34)【关键词】点云数据;孔洞修补;移动最小二乘法;数据处理【作者】张予民【作者单位】江西经济管理干部学院,江西南昌 330088【正文语种】中文【中图分类】TN911.1-34;TP391在点云数据采集过程中，由于设备自身原因、外界环境的影响，原始点云数据存在一些误差和噪声，出现大量的孔洞，直接影响后续的点云数据曲面建模，为了获得更优的点云数据重建效果，需要对点云数据的孔洞进行修补处理[1⁃2]。

移动最小二乘法的流程是：（1）NURBS曲线拟合：确定节点矢量，本文通过弦长累加来确
定节点矢量。在NURBS曲线拟合时，
设置最前4个节点矢量的值相同和最后4个节点矢量的值相同，那么拟合的曲线将通过给定型值点的第一个点和最后一个点。由于OpenGL有现成的NURBS曲线拟合函数，因此本文将借助VC进行编程，实现NURBS三次曲线拟合。
进行论述，分析拟合方法的适用场合，以便在针对具体情况时可以采用相应的拟合方法。
1
拟合方法论述
1.1
最小二乘法
最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，是进行曲线拟合的一种早期使用的方法。一般最小二乘法的拟合函数是一元二次，可一元多次，也可多元多次。该方法是通过求出数据点到拟合函数的距离和最小的拟合函数进行拟合的方法。令f（x）=ax 2+bx +c，计算数据点到该函数所表示的曲线的距离和最小。即：
4工艺流程
转炉系统自动化控制的设备配置有转炉本体、氧枪及供气设
备、副枪测试装置、底部供气装置、受铁设备、废钢装料设备、副原料上料及投料设备、汽化冷却余热回收设备、一次煤气除尘及煤气回收设备、二次除尘设备以及铁合金加料设备等。其工艺流程为：4.1
（1）将区域进行分段。（2）对每个分段点进行循环：1）确定网格点的影响区域大小；2）确定包含在网格点的影响区域内的节点；3）计算型函数；4）计算网格点的节点值。（3）连接网格点形成拟合曲线。
1.3NURBS三次曲线拟合
NURBS作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法，是现代图形学的基础，因此NURBS曲线拟合有着重要的实际意义。NURBS曲线的数学模型和数学方法可以参考文献［2］。本文采用
3系统原理
转炉自动化采用生产管理级别、过程控制级、基础自动化级别

毕业设计（论文）题目最小二乘法原理，VC++实现及应用毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。

尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。

对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。

作者签名：日期：指导教师签名：日期：使用授权说明本人完全了解大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。

作者签名：日期：学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。

除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

作者签名：日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。

本人授权大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。

涉密论文按学校规定处理。

作者签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日注意事项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。

n反映了实际观测值yi与回归直线上相应纵坐标yi之间的偏离程度?我们希望yi与y值在处理上比较麻烦通常是用偏差的平方和来代替即要求ab的值使ni的n个偏差构成的总偏差越小越好这才说明所找的直线是最理想的?由于绝对q6ni1yiyi26ni1yiabxi2达到最小?使偏差平方和q6i1yiabxi2最小的方法称为最小二乘法?1方法一将偏差平方和展开得q6ni1yiabxi26ni1y2i2a6ni1yina22b6nni1xiyi2ab6nx2i2b6ni1xib26ni1x2ina22ab6ni1xi6i1yib26i1ni1xiyi6ni1y2i?把上式看成是关于a的二次函数a2的系数n0当a2b6ni1xi62nni1yi1n6ni1yib6ni1xiybx时q取最小值?其中y1n6ni1yix1n6ni1xi?同理把q的展开式重新按b的降幂排列看成是关于b的二次函数?可以得到当bn6ni1xiyia6x2ii1xi6ni1时q取最小值?将a1n6ni1yib6ni1xi代入得?blxylxx其中lxy6从而回归系数ab可由公式ni1xixyiylxx6ni1xix2blxylxxaybx求得这样回归直线方程就建立起来了?2方法二将偏差平方和变形为q6ni1yiybxixyabx26ni1yiy2b26ni1xix22b6ni1yiyxixnyabx2设r6xix26nni1yiyxix6ni1ni1yiy212lxylxxlxy12为相关系数其中lxy6则i1xixyiylxx6ni1xix2lyy6ni1yiy2?qlyyb2lxx2blxynyabx2704第4期刘连福
0 引 言
一元线性回归模型是统计学中回归分析预测理论的一种重要方法 ,应用于自然科学 、工程技术和经
济分析的各个领域 ,有较强的实用性·该方法的基本思想是 : 首先确定两个变量之间是否存在线性相

最小二乘法曲线拟合原理最小二乘法曲线拟合（LeastSquaresCurveFitting，简称LSCF）是采用数学统计技术进行多元函数拟合所用的一种技术。

它可以快速、准确地根据已经给定的实验数据拟合出一条实验曲线，从而给出诸如拟合函数的系数值等信息。

因此，最小二乘法曲线拟合在各种科学、工程实验中有着广泛的应用。

最小二乘法曲线拟合的原理很简单，它是基于“最小化误差”的概念，即拟合出来的曲线应尽可能接近给定的实验数据，使实验数据与拟合函数之间的差距最小。

这就要求我们求出实验数据与拟合函数之间的差距，这一差距被称为拟合误差，也称为“残差”。

最小二乘法曲线拟合的基本思想就是使残差的平方和（即拟合误差的平方和）取得最小值，从而实现拟合函数接近实验数据的目的。

最小二乘法曲线拟合的求解流程主要是：首先确定拟合函数的形式，然后利用已经给定的实验数据，建立最小二乘拟合问题，即求解各系数的拟合关系，然后利用几何极值法或矩阵方法求解给定拟合函数的拟合系数值，最后就可以得到拟合函数的数学公式及其系数值了。

最小二乘法曲线拟合由于给出的实验数据精度不同和系数组合不同，可以曲线拟合许多不同的函数形式，数学模型复杂度从一次函数到高阶复合函数都可以拟合。

例如，它可以拟合出多项式函数、指数函数、对数函数、三次样条函数、双曲线函数等。

由于最小二乘法曲线拟合能够实现快速、准确地根据实验数据拟合出实验曲线，因此它在科学、工程实验中有着广泛的应用。

例如可以用它来估计经济预期的变化趋势，也可以用于关键的工艺参数的优化设计，也可以用于机械性能的预测，还可以应用于心理研究中，帮助心理学家了解人类心理活动的变化规律。

最小二乘法曲线拟合的最大优点在于曲线拟合的精度较高，可以得到较为精确的拟合结果，模型的复杂度也很强，可以拟合许多不同的函数形式，但其缺点也是与优点相对应的，可能会使拟合结果产生畸变，拟合精度也会受到实验数据的精度的影响。

综上，最小二乘法曲线拟合是一种重要的数学统计技术，它能够根据已经给定的实验数据拟合出接近实验数据的函数，广泛应用于科学、工程实验，从而可以深入探究实验过程背后的规律，帮助人们更好地理解实验结果，是科学研究中不可缺少的一种技术。

应用研究　菇　Ｉ数目啦术　ｌ与应用　

基于ｍａｔｌａｂ的移动最小二乘法数据拟合　

蒋博　（１．中机十院国际工程有限公司河南洛阳　蔡晓龙　４７１００３；２．洛阳师范学院河南洛阳４７１０２２）　

摘要：曲线曲面拟合技术被广泛应用于医学图像，测试数据，生物防真等众多领域中，分析研究时以数学模型来为工具，采用回归分析或移动最小二　乘拟合方法、投影方法和已知数据点约束条件重建曲线曲面方法　。然而，随着数据量和模型难度的增大，这些方法会产生不良的影响，不能很好的　解复杂问题。本文介绍了用ｍａｄ如实现移动最小二乘法数据拟合的程序流程，并通过算例分析移动最小二乘法的局部近似特性，以及权基函数对近似　的影响，从中获得最佳的近似结果。　关键词：ＭＬＳ法最小二乘法数据拟合　中图分类号：ＴＰ３９１．４１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７．９４１６（２０１５）１０—０１　１０－０２　

１引言　３权函数的影响分析　ＭＬＳ法是对传统加权最ｄｘ－乘法的进一步推广，克服了最小二　乘法的不足，突出了加权函数的紧支性，据此建立的拟合函数，具有　局部近似的特点。ＭＬＳ法的基本理论本文不再赘述详见参考文献“１。　本文针对具体二维和三维算例分析了ＭＬＳ的局部近似性，为其他研　究领域中引入该方法解决复杂问题提供了一种新的思路。　２算法流程　结合移动最ｄ＂Ｚ－乘法的特点，给出了基于ＭＡＴＬＡＢ软件编写　的ＭＬＳ法的曲线曲面拟合程序，程序设计流程如图ｌ所示。　区域划分嬲格　ｉ　ｌ网格节点椭环Ｉ　Ｊ　确定节点影响域大小　Ｊ　｝　确定包禽在节点影响城内的拟合点　Ｉ　ｆ　★　确定节点处的　鲢数　；　ｆ　计算节点处的函数佰Ｉ　＇　塞　节点循环ｌ　ｆ　｛连接时辫节点形成拙台曲线＜担台龃荫）｛　图１　ＭＬ￥法的程序流程图　０Ｏ　０２（１４（１６　０８　ｌ０　Ｘ　由图２所示：权函数为恒定常数，样本点的权函数值均为１，在求　解过程中系数ａ（ｘ）不再是自变量Ｘ的函数，而是在整个区域内ａ（ｘ）　为常数，可以看出系数口（ｘ）与权函数的选取有关，因此，曲线拟合就　退化成最／ｂ－乘法的曲线拟合。这样权函数形成的近似为线性拟　合。　由图３所示：权函数为紧支常数，只有在中心点　：０．５权函数存　在非零区域，非零区域尺寸即为节点权函数支持域尺寸，这样在任　意一点ｘ的支持域内均有两个节点对其有贡献（ｎ＝ｍ＝２），权函数为　１，其他节点的权函数为零，权函数构造的近似就变成了分段线性插　值，类似有限元法的函数逼近。由图４所示：权函数为紧支且光滑的　函数（三次样条函数），计算点ｘ的支持域内包含的节点数大于基函数　的个数（　＞ｍ），为使局部近似误差最小，加权平方和Ｊ（ｘ）对口（　求　偏导，最终得到ＭＬＳ的近似位移，这样的求解过程用于ＥＦＧ方法中，　即使是线性基函数，近似值也是连续光滑的，因为ＭＬＳ近似继承了　权函数的连续光滑性。因此，本部分的分析，选取三次样条函数。　

最小二乘法曲线拟合算法
最小二乘法是一种常见的曲线拟合算法，其原理是通过计算样本点与拟合曲线的误差平方和最小化，得到最佳的曲线拟合结果。

以下是最小二乘法曲线拟合算法的步骤：
步骤一：选择合适的拟合函数。

通常情况下，拟合函数的选择取决于数据集的特性和需要得到的拟合效果。

例如，对于线性拟合，拟合函数可采用一次多项式函数y=kx+b；对于非线性拟合，拟合函数可能需要采用高次多项式函数或指数函数等。

步骤二：确定误差函数。

误差函数的目的是衡量样本点与拟合曲线的偏差程度。

最常用的误差函数是均方误差，即将每个样本点的实际值与相应拟合函数的输出值之间的平方误差求和，得到样本点的一般均方误差。

公式为：E = Σ(yi-f(xi))^2。

步骤三：最小化误差函数。

最小二乘法的核心就是通过求解误差函数的最小值来得到最佳的拟合曲线。

最小化误差函数可以采用梯度下降法或牛顿法等优化算法进行求解。

步骤四：得到最佳的拟合曲线。

在得到最小化误差函数的解后，即可获得最佳的拟合曲线，该曲线可用于对数据集进行预测、分类或回归等任务。

步骤五：评估拟合效果。

为了验证最佳拟合曲线的精度和泛化能力，需要将新的数据样本输入到该曲线中进行预测，并通过各种评估指标（例如均方根误差、相关系数等）来评估拟合效果。

最小二乘法曲线拟合算法是数据分析领域中的重要算法之一，可用于各种领域中的数据拟合和模型预测任务，例如气象科学、金融投资、信号处理等。

在应用过程中，需要根据实际情况灵活选择拟合函数和误差函数，同时对拟合结果进行合理的评估和优化，以获得更好的预测效果。