广东省珠海四中2015-2016学年高二上学期9月阶段测试数学文试题

2015-2016学年广东省珠海市高三（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z满足，则z的虚部为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．（5分）=（）A．﹣1 B．C．1 D．3．（5分）设命题p：若2x＞3x，则x＜0，其逆否命题为（）A．若x≥0，则2x≤3x B．若x＞0，则2x＜3xC．若2x＞3x，则x≥0 D．若2x≤3x，则x＞04．（5分）现有1000件产品，甲产品有10件，乙产品有20件，丙产品有970件，现随机不放回抽取3件产品，恰好甲乙丙各一件的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）如图是函数f（x）=Acos（ωx+φ）的一段图象，则函数f（x）图象上的最高点坐标为（）A．（，2），k∈Z B．（kπ，2），k∈Z C．（2kπ﹣，2），k∈Z D．（kπ﹣，2），k∈Z6．（5分）已知一正三棱台上底边长为3，下底边长为6，高为3，则此三棱台体积为（）A．B．C．D．7．（5分）如图是一平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1，E为BC延长线上一点，，则=（）A． B．C． D．8．（5分）（x2+3y﹣y2）7展开式中，x12y2项系数为（）A．7 B．﹣7 C．42 D．﹣429．（5分）执行如图的程序框图，若输入k=100，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．910．（5分）点P（x0，y0）为双曲线C：=1上一点，B1、B2为C的虚轴顶点，＜8，则x0的范围是（）A．B．C．D．11．（5分）如图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为（）A． B．C．D．12．（5分）函数f（x）=﹣（a+1）x+1+lnx（a＞0），若存在唯一一个整数x0使f（x0）＜0成立，则a的范围是（）A．（0，1） B．（0，1]C．（0，2+2ln2）D．（，+ln2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|ax﹣1|是偶函数，则a=．14．（5分）圆C的圆心C在x轴上，圆C经过抛物线D：y2=16x的焦点且与D 相切，则C的半径是．15．（5分）变量x，y满足，则（x﹣3）2+（y﹣3）2的范围是．16．（5分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠ADC=120°，∠BCD=45°，∠ABC=60°，BC=2，则线段AC长度的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n2+3a n=6S n+4（1）求{a n}的通项公式（2）设b n=2n a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如右下表格，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ．若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．附：临界值表随机量变．19．（12分）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，边长AB=2，GE⊥平面ABCD，EF⊥ABCD，E，F分别是边AB、CD中点，AC与BD交于O，EG=FH=2，（1）求证：AB⊥BH；（2）求二面角C﹣OH﹣F的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（1，），且一个焦点为F1（﹣1，0），直线l与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若△OPQ的面积为，证明：x12+x22和y12+y22均为定值；（3）在（2）的条件下，设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+（a∈R）．（1）求函数的单调区间；（2）若方程f（x）=2存在两个不同的实数解x1、x2，求证：x1+x2＞2a．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（1）求证：点E为AB的中点；（2）求EF的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，圆C的参数方程为．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位．（1）求圆C的极坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，且=2．（1）求ab的最小值；（2）求a+2b的最小值，并求出a、b相应的取值．2015-2016学年广东省珠海市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z满足，则z的虚部为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：复数z满足，则z+3i=2z+2i，∴z=i，则z的虚部为1．故选：C．2．（5分）=（）A．﹣1 B．C．1 D．【解答】解：==tan（60°﹣15°）=tan45°=1，故选：C．3．（5分）设命题p：若2x＞3x，则x＜0，其逆否命题为（）A．若x≥0，则2x≤3x B．若x＞0，则2x＜3xC．若2x＞3x，则x≥0 D．若2x≤3x，则x＞0【解答】解：根据逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若x≥0，则2x≤3x，故选：A．4．（5分）现有1000件产品，甲产品有10件，乙产品有20件，丙产品有970件，现随机不放回抽取3件产品，恰好甲乙丙各一件的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：现有1000件产品，甲产品有10件，乙产品有20件，丙产品有970件，现随机不放回抽取3件产品，基本事件总数n=，恰好甲乙丙各一件包含的基本事件个数m=，∴恰好甲乙丙各一件的概率p=．故选：D．5．（5分）如图是函数f（x）=Acos（ωx+φ）的一段图象，则函数f（x）图象上的最高点坐标为（）A．（，2），k∈Z B．（kπ，2），k∈Z C．（2kπ﹣，2），k∈Z D．（kπ﹣，2），k∈Z【解答】解：由图象知A=2，函数的周期T=2×（）=2×=π，即T==π，即ω=2，则函数f（x）=2cos（2x+φ），函数关于x==对称，即f（）=2cos（2×+φ）=﹣2，即cos（+φ）=﹣1，则+φ=π+2kπ，即φ=+2kπ，则f（x）=2cos（2x++2kπ）=2cos（2x+），由f（x）=2cos（2x+）=2，得cos（2x+）=1，即2x+=2kπ，则x=kπ﹣，k∈Z，即函数f（x）图象上的最高点坐标为（kπ﹣，2），k∈Z，故选：D．6．（5分）已知一正三棱台上底边长为3，下底边长为6，高为3，则此三棱台体积为（）A．B．C．D．【解答】解：棱台的体积：=．故选：A．7．（5分）如图是一平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1，E为BC延长线上一点，，则=（）A． B．C． D．【解答】解：如图所示，取BC的中点F，连接A1F，则A1D1∥FE，且A1D1=FE，∴四边形A1D1EF是平行四边形，∴A1F∥D1E，且A1F=D1E，∴=；又=++=﹣++，∴=+﹣．故选：B．8．（5分）（x2+3y﹣y2）7展开式中，x12y2项系数为（）A．7 B．﹣7 C．42 D．﹣42【解答】解：（x2+3y﹣y2）7的展开表示7个因式（x2+3y﹣y2）的乘积，取6个因式中的x2，另一个因式中﹣y2，∴x12y2项系数为﹣=﹣7．故选：B．9．（5分）执行如图的程序框图，若输入k=100，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算P=1+2+22+…+2n﹣1的值，当p＞100时，即P=1+2+22+23+…+2n﹣1==2n﹣1＞100，解得n≥7，跳出循环；输出n的值为7．故选：B．10．（5分）点P（x0，y0）为双曲线C：=1上一点，B1、B2为C的虚轴顶点，＜8，则x0的范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得9x02﹣4y02=36，可得y02=x02﹣9，B1（0，3），B2（0，﹣3），由＜8，可得（﹣x0，3﹣y0）•（﹣x0，﹣3﹣y0）＜8，即x02+y02﹣9＜8，可得x02﹣26＜0，解得﹣2＜x0＜2，由x0≥2或x0≤﹣2，可得﹣2＜x0≤﹣2或2≤x0＜2．故选：C．11．（5分）如图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为（）A． B．C．D．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四分之一球与半圆锥的组合体，底面（四分之一球）的半径R=2，故四分之一球的体积V==，半圆锥的底面面积S==2π，高h=3，故半圆锥的体积为：2π，故组合体的体积V=，故选：C．12．（5分）函数f（x）=﹣（a+1）x+1+lnx（a＞0），若存在唯一一个整数x0使f（x0）＜0成立，则a的范围是（）A．（0，1） B．（0，1]C．（0，2+2ln2）D．（，+ln2）【解答】解：设g（x）=﹣（a+1）x+1，h（x）=﹣lnx，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在曲线y=h（x）=﹣lnx的下方，画出函数的图象，如图示：，由题意结合图象可知，存在唯一的整数x0=1，f（x0）＜0，而h（1）=﹣ln1=0，g（1）=﹣a＜0，解得：a＞，h（2）=﹣ln2，g（2）=2﹣2a﹣1＞﹣ln2，解得：a＜+ln2，故a∈（，+ln2），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|ax﹣1|是偶函数，则a=1．【解答】解：∵y=|x+1|关于x=﹣1对称，f（x）=|x+1|+|ax﹣1|是偶函数，∴y=|ax﹣1|关于x=1对称，即当x=1时，a﹣1=0，则a=1，此时f（x）=|x+1|+|x﹣1|，则f（﹣x）=|﹣x+1|+|﹣x﹣1|=|x+1|+|x﹣1|=f（x），满足f（x）为偶函数，故答案为：1．14．（5分）圆C的圆心C在x轴上，圆C经过抛物线D：y2=16x的焦点且与D 相切，则C的半径是2或16．【解答】解：抛物线D：y2=16x的焦点为（4，0），设圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2，由题意可得（4﹣a）2=r2，①联立圆的方程和抛物线的方程，消去y可得，x2+（16﹣2a）x+a2﹣r2=0，由△=0，即为（16﹣2a）2﹣4（a2﹣r2）=0，②由①②可得a2﹣24a+80=0，解得a=20（4舍去），即有r=16，又a=2，可得圆的方程为（x﹣2）2+y2=4，与抛物线相切，此时r=2．故答案为：2或16．15．（5分）变量x，y满足，则（x﹣3）2+（y﹣3）2的范围是[] ．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1）．（x﹣3）2+（y﹣3）2的几何意义为可行域内的动点与定点（3，3）距离的平方．∵|PA|=，而P到x轴上的点（3，0）的距离为3，点P（3，3）到直线4x+y﹣12=0的距离为．∴（x﹣3）2+（y﹣3）2的范围是[]．故答案为：[]．16．（5分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠ADC=120°，∠BCD=45°，∠ABC=60°，BC=2，则线段AC长度的取值范围是．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得：AC2=AB2+22﹣4ABcos60°=（AB﹣1）2+3，∴AC≥．当AB=1时取等号，满足条件．∵∠BCD=45°，∴∠ACB＜45°，又∠B=60°，∴∠BAC＞180°﹣45°﹣60°=75°，∴AC＜BC=2．综上可得：AC∈，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n2+3a n=6S n+4（1）求{a n}的通项公式（2）设b n=2n a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由…①，可得…②，由②﹣①得，即（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣3）=0，∵a n＞0，∴a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣a n﹣3=0，即a n+1﹣a n=3，又，即，∵a n＞0，∴a1=4，∴{a n}是4为首项，3为公差的等差数列，∴a n=4+3（n﹣1）=3n+1；（2），故，，两式相减可得﹣T n=8+3（4+8+…+2n）﹣（3n+1）•2n+1，=2+3（2+4+8+…+2n）﹣（3n+1）•2n+1==﹣（3n﹣2）•2n+1﹣4，∴．18．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如右下表格，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ．若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．附：临界值表随机量变．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，经济损失超过4000元的有30人，则表格数据如下：…（2分）K2==4.76∵4.762＞3.841，p（k≥3.841）=0.05∴有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．…（4分）（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率．由题意知ξ的取值可能有0，1，2，3，且ξ～B（3，），…（5分），…（6分），…（7分），…（8分），…（9分）∴ξ的分布列为：从而ξ的分布列为…（10分），…（11分）…（12分）19．（12分）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，边长AB=2，GE⊥平面ABCD，EF⊥ABCD，E，F分别是边AB、CD中点，AC与BD交于O，EG=FH=2，（1）求证：AB⊥BH；（2）求二面角C﹣OH﹣F的正弦值．【解答】（本小题满分12分）（1）证明：连接BF，∵HF⊥面ABCD，∴CD⊥FH，∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，F分别是边CD中点，∴△BCD是等边三角形，故CD⊥BF，∴CD⊥平面BFH，∴CD⊥BH，∴菱形ABCD中，AB∥CD，∴AB⊥BH…（4分）（2）解：在平面ABCD中，过C作CM⊥EF的延长线于M，在△COH中，过C作CN⊥OH于N，连接MN∵CM⊥FH，∴CM⊥平面EFHG，∴OH⊥CM，又CN⊥OH，∴OH⊥平面CMN，∴MN⊥OH，∴∠CNM就是二面角C﹣OH﹣F的平面角…（8分）∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，边长AB=2，EFHG是正方形，边长为2∴，∠COM=30°，∴CO=，HO=HC=，∴，，∴，∴二面角C﹣OH﹣F的正弦值为…（12分）20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（1，），且一个焦点为F1（﹣1，0），直线l与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若△OPQ的面积为，证明：x12+x22和y12+y22均为定值；（3）在（2）的条件下，设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值．【解答】解：由题意得：焦点在x轴上，c=1，a2=b2+c2，即a2=b2+1，椭圆方程变为：，将M（1，），代入椭圆方程，整理得：，解得b2=3，a2=4∴椭圆方程为：；（2）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x1=x2，y1=﹣y2，∵P（x1，y1）在椭圆上，∴+=1，△OPQ的面积为，|x1||y1|=，∴|x1|=，|y1|=，x12+x22=4，y12+y22=3均为定值；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，将其代入椭圆方程整理得：（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12=0，△=（8kb）2﹣4（3+4k2）•（4b2﹣12）=48（3+4k2﹣b2）＞0，即3+4k2＞b2，由韦达定理可知x1+x2=﹣，x1•x2=，∴丨PQ丨=•=4••，点O到直线l的距离为d=，则△OPQ的面积S=•d•丨PQ丨=••4••=2•，即2•=，整理得：3+4k2=b2，满足△＞0，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（﹣）2﹣2=4，y1=kx1+b，y2=kx2+b，∴y12+y22=k2（x12+x22）+2kb（x1+x2）+2b2=4k2﹣8k2+2b2=3，综上可知：x12+x22=4，y12+y22=3均为定值；（3）4丨OM丨2+丨PQ丨2=（x1+x2）2+（y1+y2）2+（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，=2[（x12+x22）+（y12+y22）]=14，所以2丨OM丨•丨PQ丨≤=7，即丨OM丨•丨PQ丨≤，当且仅当21OM丨=丨PQ丨=时等号成立，因此丨OM丨•丨PQ丨的最小值为．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+（a∈R）．（1）求函数的单调区间；（2）若方程f（x）=2存在两个不同的实数解x1、x2，求证：x1+x2＞2a．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为：（0，+∞）…（1分），…（3分）当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）…（4分）当a＞0时，当x＞a时，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（a，+∞）；…（5分）当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）的单调递减区间为（0，a）；…（6分）当x=a时，f′（x）=0，f（a）为f（x）的极小值；（2）方程f（x）=2存在两个不同的实数解x1、x2，因此f（x）必能不为单调函数，所以a＞0，…（7分）令F（x）=f（x）﹣2，则F（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+∞），最小值F（a）＜0，∴0＜x1＜a＜x2，令g（x）=F（2a﹣x）﹣F（x），x∈[a，2a），∵g′（x）=F′（2a﹣x）﹣F′（x）=f′（2a﹣x）﹣f′（x）=…（8分）∴g（x）在[a，2a）上单调递增，且g（a）=0，∴当x∈（a，2a）时，g（x）＞0，∵2a﹣x1∈（a，2a），∴g（2a﹣x1）＞0，g（2a﹣x1）=F（x1）﹣F（2a﹣x1）=f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0…（10分）∵f（x1）=f（x2）=2，∴f（x2）＞f（2a﹣x1）…（11分）∵f（x）的单调递增区间为（a，+∞），x2、2a﹣x1∈（a，+∞）∴x2＞2a﹣x1，∴x1+x2＞2a…（12分）[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（1）求证：点E为AB的中点；（2）求EF的值．【解答】（1）证明：由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线依据切割线定理得EA2=EF•EC…（2分）∵圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，同样依据切割线定理得EB2=EF•EC…（2分）故AE=EB…（5分）所以点E为AB的中点（2）解：连结BF，∵BC为圆O的直径，∴BF⊥EC又在Rt△BCE中，由射影定理得BE2=EF•EC所以…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，圆C的参数方程为．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位．（1）求圆C的极坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．【解答】解：（1）消去参数可得圆的直角坐标方程式为x2+（y﹣2）2=4，由极坐标与直角坐标互化公式得（ρcosθ）2+（ρsinθ﹣2）2=4化简得ρ=4sinθ，（2）直线l的参数方程，（t为参数）．即代入圆方程得：+9=0，设A、B对应的参数分别为t 1、t2，则，t1t2=9，于是|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=9．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，且=2．（1）求ab的最小值；（2）求a+2b的最小值，并求出a、b相应的取值．【解答】解：（1）由a＞0，b＞0，且=2，可得2=+≥2，即ab≥2，当且仅当b=2a=2时取得等号，则ab的最小值为2；（2）a+2b=（a+2b）（+）=（5++）≥（5+2）=；等号成立的充要条件是a=b=，∴a+2b的最小值为；此时a=b=．。

2015-2016学年广东省珠海市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．1．已知全集I={0，1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则A ∪（∁I B ）=（ ）A ．{1}B ．{2，3}C ．{0，1，2}D ．{0，2，3}2．设M 是△ABC 所在平面内一点，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．设复数z=1+i （i 是虚数单位），则+z=（ ）A ．1+3iB ．1﹣3iC ．3+3iD ．3﹣i4．已知α是第二象限角，tan α=﹣，则sin α=（ ）A ．B ．C ．D ．5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 2+10a 1，a 5=9，则a 1=（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知f （x ）=2sin （ωx+φ）的部分图象如图所示，则f （x ）的表达式为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知点P 是边长为2的正方形内任一点，则点P 到四个顶点的距离均大于1的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．8．执行如图的框图，若输入k=30，则输出的n=（ ）A．4 B．5 C．6 D．79．若P点是以F1（﹣3，0）、F2（3，0）为焦点，实轴长为4的双曲线与圆x2+y2=9的一个交点，则|PF1|+|PF2|=（）A．B．6 C．2D．210．已知f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，若f（4）=0，则满足x•f（x）≤0的x取值范围是（）A．[0，4]B．（﹣∞，4]C．[﹣4，0）∪（0，4]D．[4，+∞）11．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．2 B．4 C．6 D．1212．若f（x）=，x1≤x2≤x3，且f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值的范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若直线经过点A（2，﹣3）、B（1，4），则直线的斜截式方程为．14．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=lnx在x=e（e为自然对数的底数）处的切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则实数a的值为．15．已知实数x、y满足，则2x﹣y的最大值是．16．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为45°，则此山的高度CD=m．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=11，且a2，a5，a6成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|，求S n．18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（I）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄）（）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并从这6名选手中抽取2名幸运选手，求2名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．（参考公式：K2=．其中n=a+b+c+d）19．如图，四棱锥P﹣ABCD底面ABCD为平行四边形，且AC∩BD=O，PA=PC，PB⊥BD，平面PBD⊥平面PAC．（Ⅰ）求证PB⊥面ABCD；（Ⅱ）若△PAC为正三角形，∠BAD=60°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求侧面△PCD的面积．20．已知圆C：x2+y2﹣2x+6y+8=0（Ⅰ）若圆C的不过原点的切线在两坐标轴上的截距相等，求切线方程（Ⅱ）从圆C外一点P（x，y）引圆的切线PQ，点Q为切点，O为坐标原点，且满足|PQ|=|OP|，当|PQ|最小时，求点P的坐标．21．已知函数f（x）=（a≤）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=a2lnx2﹣x，若f（x）＞g（x）对∀x＞1恒成立，求实数a 的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A的切线与CB的延长线交于点P，且，PB=8．（1）若∠APB=45°求∠D的大小；（2）若⊙O的半径为5，求圆心O到直线BC的距离．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线，分别与曲线C交于A，B两点（A不为极点），（1）求A，B两点的极坐标方程；（2）若O为极点，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣m|+4x．（I）当m=2时，解不等式：f（x）≤1；（Ⅱ）若不等式f（x）≤2的解集为{x|x≤﹣2}，求m的值．2015-2016学年广东省珠海市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．1．已知全集I={0，1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则A∪（∁I B）=（）A．{1} B．{2，3} C．{0，1，2} D．{0，2，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出∁I B，从而求出其和A的并集．【解答】解：∵全集I={0，1，2，3，4}，集合A={1，2}，∴∁I B={0，1}，则（∁I A）∪B={0，1，2}，故选：C．2．设M是△ABC所在平面内一点，则（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】可以将，带入，然后整理便可得到，这样便可找出正确选项．【解答】解：，；∴由得，；∴．故选：A．3．设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z=（）A．1+3i B．1﹣3i C．3+3i D．3﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数z=1+i（i是虚数单位），则+z=+1+i=+1+i=2﹣2i+1+i=3﹣i，故选：D．4．已知α是第二象限角，tanα=﹣，则sinα=（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的化简求值．【分析】直接利用同角三角函数的基本关系式，求解即可．【解答】解：tanα==﹣，∴cosα=﹣sinα，∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α=，又α是第二象限角，sinα＞0，∴sinα=，故选：C．5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S3=a2+10a1，a5=9，∴，解得．∴．故选C．6．已知f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】设函数的周期等于T，根据图象可得与的距离等于T，得到T=，利用公式可求出ω的值，将此代入表达式，再墱函数当x=时取得最大值，由正弦函数最值的结论，可求出φ值，从而得到函数f（x）的表达式．【解答】解：∵函数的周期为T==，∴ω=又∵函数的最大值是2，相应的x值为∴=，其中k∈Z取k=1，得φ=因此，f（x）的表达式为，故选B7．已知点P是边长为2的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于1的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据题意，先求出满足条件的正方形的面积，再求出满足条件正方形内的点到正方形的顶点的距离均大于1的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．=2×2=4；【解答】解：满足条件的正方形的面积S正方形满足点P到四个顶点的距离均大于1的面积S=4﹣π，故点P到四个顶点的距离均大于1的概率是P=；故选：B．8．执行如图的框图，若输入k=30，则输出的n=（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：∵输入k=30，∴第一次执行循环体后：m=2，n=2，p=3，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后：m=4，n=3，p=7，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后：m=8，n=4，p=15，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后：m=16，n=5，p=31，满足退出循环的条件；故输出的n值为5，故选：B9．若P点是以F1（﹣3，0）、F2（3，0）为焦点，实轴长为4的双曲线与圆x2+y2=9的一个交点，则|PF1|+|PF2|=（）A．B．6 C．2D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得双曲线的焦点即为圆的直径的端点，即有F1P⊥F2P，再由勾股定理和双曲线的定义，结合完全平方公式，计算即可得到所求和．【解答】解：双曲线的左、右两个焦点F1，F2分别为（﹣3，0），（3，0），即为圆x2+y2=9的直径的两个端点，则F1P⊥F2P，即有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=36，①由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2a=4，②②两边平方可得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|=16，即有2|PF1|•|PF2|=36﹣16=20，再由①，可得（|PF1|+|PF2|）2=36+20=56，则|PF1|+|PF2|=2．故选：C，10．已知f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，若f（4）=0，则满足x•f（x）≤0的x取值范围是（）A．[0，4]B．（﹣∞，4]C．[﹣4，0）∪（0，4]D．[4，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】首先由函数的性质判断函数y=xf（x）在（0，+∞）上是增函数，从而转化为不等式，进而可解出x的取值范围．【解答】解：∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，若f（4）=0，则满足g （x）=x•f（x）可知，x=0时，g（x）=0，x＜0时，g（x）是减函数，∴x＞0时，x•f（x）≤0，f（4）=0，∴x的取值范围是：[0，4]，故选：A．11．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．2 B．4 C．6 D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其底面面积S=×（2+4）×2=6，高h=2，故体积V==4，故选：B12．若f（x）=，x1≤x2≤x3，且f（x1）=f（x2）=f （x3），则x1+x2+x3的取值的范围是（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用．【分析】由二次函数的对称性可得x2+x3=2，即有x1+x2+x3=x1+2，再由图象解得﹣≤x1＜0，进而得到所求范围．【解答】解：由于f（x）=，当x＜0时，y＞﹣2；当x≥0时，y=（x﹣1）2﹣2≥﹣2，f（0）=f（2）=﹣1，由x1＜x2＜x3，且f （x1）=f （x2）=f （x3），则x2+x3=2，即有x1+x2+x3=x1+2，当f（x1）=﹣1即﹣2x1﹣2=﹣1，解得x1=﹣，由﹣≤x1＜0，可得≤x1+2＜2，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若直线经过点A（2，﹣3）、B（1，4），则直线的斜截式方程为y=﹣7x+11．【考点】直线的斜截式方程．【分析】求出斜率，可得点斜式，化为斜截式即可．【解答】解：直线的斜率k==﹣7．∴点斜式为：y﹣4=﹣7（x﹣1），化为y=﹣7x+11．故答案为：y=﹣7x+11．14．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=lnx在x=e（e为自然对数的底数）处的切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则实数a的值为﹣e．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a的方程，即可解得a．【解答】解：y=lnx的导数为y′=，即有曲线y=lnx在x=e处的切线斜率为k=，由于切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则a•=﹣1，解得a=﹣e，故答案为：﹣e．15．已知实数x、y满足，则2x﹣y的最大值是1．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线可得结论．【解答】解：作出所对应可行域（如图△ABC），变形目标函数z=2x﹣y可得y=2x﹣z，平移直线y=2x可得当直线经过点A（1，1）时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得最大值为1故答案为：116．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为45°，则此山的高度CD=300m．【考点】解三角形．【分析】把已知数据过渡到△ABC中，由正弦定理可得．【解答】解：由题意可得BC=CD=x，AB=600，∠CAB=30°，∠CBA=105°，在△ABC中，由内角和定理可得∠BCA=45°，由正弦定理可得=，∴x=BC==300故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=11，且a2，a5，a6成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|，求S n．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】（I）设{a n}的公差为d，由题意可得d的方程，解方程可得通项公式；（II）由（I）知当n≤6时a n＞0，当n≥7时a n＜0，分类讨论去绝对值可得．【解答】解：（I）设{a n}的公差为d，由题意，即，变形可得，又由a1=11可得d=﹣2或d=0（舍）∴a n=11﹣2（n﹣1）=﹣2n+13；（II）由（I）知当n≤6时a n＞0，当n≥7时a n＜0，故当n≤6时，S n=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=a1+a2+a3+…+a n==12n﹣n2；当n≥7时，S n=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a6|+|a7|+…+|a n|=a1+a2+a3+…+a6﹣（a7+a8+…+a n）=2（a1+a2+a3+…+a6）﹣（a1+a2+…+a n）=72﹣（12n﹣n2）=n2﹣12n+72．综合可得S n=18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（I）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄）（）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并从这6名选手中抽取2名幸运选手，求2名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．（参考公式：K2=．其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据所给的二维条形图得到列联表，利用公式求出k2=3＞2.706，即可得出结论；（2）按照分层抽样方法可知：20～30（岁）抽取：6×=2（人）；30～40（岁）抽取：6×=4（人），在上述抽取的6名选手中，年龄在20～30（岁）有2人，年龄在30～40（岁）有4人，利用列举法求出基本事件数，即可求出至少有一人年龄在20～30岁之间的概率．12×2则所以有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关．﹣﹣﹣﹣﹣（2）设事件A为2名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间，由已知得20～30岁之间的人数为2人设为a，b，30～40岁之间的人数为4人设为c，d，e，f，从6人中取2人的结果如下共为有15种，ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef﹣﹣﹣﹣﹣事件A的包含如下结果：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf共有9种﹣﹣﹣﹣﹣则﹣﹣﹣﹣﹣19．如图，四棱锥P﹣ABCD底面ABCD为平行四边形，且AC∩BD=O，PA=PC，PB⊥BD，平面PBD⊥平面PAC．（Ⅰ）求证PB⊥面ABCD；（Ⅱ）若△PAC为正三角形，∠BAD=60°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求侧面△PCD的面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AC⊥PB，PB⊥BD，利用线面垂直的判定定理证明PB⊥面ABCD；（Ⅱ）取CD的中点E，连接PE，可知PE⊥CD，求出CD，PE，即可求侧面△PCD的面积．【解答】（I）证明：由于四边形ABCD为平行四边形，所以O为AC的中点；连接PO，∵PA=PC，∴AC⊥PO﹣﹣﹣∵平面PBD⊥平面PAC，又∵平面PBD∩平面PAC=PO，AC⊂平面PAC，∴AC⊥面PBD，∴AC⊥PB﹣﹣﹣﹣﹣又∵PB⊥BD，且AC∩BD=O，AC、BD⊂面ABCD，∴PB⊥面ABCD﹣﹣﹣﹣﹣（II）解：由（I）知AC⊥面PBD，所以AC⊥BD，可知底面ABCD为菱形；设AB=BC=a，又因为∠BAD=60°，所以BD=a，因为△PAC为正三角形，所以﹣﹣﹣﹣﹣由（I）知PB⊥BC，从而△PBC为直角三角形，∴﹣﹣﹣﹣﹣解得：a=1﹣﹣﹣所以、CD=1、所以﹣﹣﹣﹣﹣取CD的中点E，连接PE，可知PE⊥CD，，所以﹣20．已知圆C：x2+y2﹣2x+6y+8=0（Ⅰ）若圆C的不过原点的切线在两坐标轴上的截距相等，求切线方程（Ⅱ）从圆C外一点P（x，y）引圆的切线PQ，点Q为切点，O为坐标原点，且满足|PQ|=|OP|，当|PQ|最小时，求点P的坐标．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【分析】（Ⅰ）由题意可设所求直线方程为：x+y=a，且a≠0，由相切可得方程，解出即可；（Ⅱ）由两点间距离公式及切线长公式，可把|PQ|=|OP|，化为（x﹣1）2+（y+3）2﹣2=x2+y2，整理得：x﹣3y﹣4=0，从而，借助二次函数的性质可求．【解答】解：（I）圆心C（1，﹣3），半径﹣﹣﹣﹣﹣由题意可设所求直线方程为：x+y=a，且a≠0，﹣﹣﹣﹣﹣解得a=﹣4或a=0舍．所求直线方程为：x+y+4=0﹣﹣﹣﹣﹣（II）由，从而有（x﹣1）2+（y+3）2﹣2=x2+y2，整理得：x﹣3y﹣4=0﹣﹣﹣﹣﹣则﹣﹣﹣﹣﹣当时，|PQ|最小，此时点P的坐标为﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数f（x）=（a≤）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=a2lnx2﹣x，若f（x）＞g（x）对∀x＞1恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）问题转化为对∀x＞1恒成立，令，通过讨论函数h（x）的单调性得到其最小值，解关于a的不等式即可求出a的范围．【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），，令f′（x）=0，得x=a或x=1﹣a．﹣﹣﹣﹣﹣当时，a≤1﹣a，且1﹣a＞0．①当a=时，a=1﹣a=＞0，f′（x）＞0．∴f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a≤0时，f（x）在（0，1﹣a）上单调递减，在（1﹣a，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③当0＜a＜时，f（x）在（0，a）和（1﹣a，+∞）上单调递增，在（a，1﹣a）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）由题意知，，即对∀x＞1恒成立令，则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令h′（x）=0，得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当时，h（x）单调递减；时，h（x）单调递增．所以当时，h（x）取得最小值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴3a2﹣a＜e⇒．又∵，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A的切线与CB的延长线交于点P，且，PB=8．（1）若∠APB=45°求∠D的大小；（2）若⊙O的半径为5，求圆心O到直线BC的距离．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用余弦定理可得AB，可得∠ABC=90°，再利用圆的内接四边形的性质即可得出；（2）连接OC，作OM⊥BC于M，由垂径定理可知：M为BC的中点，利用切割线定理与勾股定理即可得出．【解答】解：（1）在△PAB中，有，PB=8，∠APB=45°．由余弦定理得：=64，解得AB=8．∴AB=PB，∠BAP=45°，∴∠ABP=Rt∠．所以△PAB为Rt△，即AB⊥PC．所以∠ABC=90°，又因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠D=90°．（2）连接OC，作OM⊥BC于M，由垂径定理可知：M为BC的中点，由切割线定理得：PA2=PB•PC，又，PB=8，所以PC=16，BC=8，MC=4．因为⊙O的半径为5，所以在Rt△OMT中有，OM=3，所求圆心O到直线BC的距离为3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线，分别与曲线C交于A，B两点（A不为极点），（1）求A，B两点的极坐标方程；（2）若O为极点，求△AOB的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由已知先求出极点（0，θ）为该方程的解，分别联立方程组能求出A，B两点的极坐标方程．（2）由已知得，，，由此能求出△AOB的面积．【解答】解：（1）由，得极点（0，θ）为该方程的解，但由于A不为极点∴，∴，由，解得：，∴．（2）由（1）得，∴，，，∴==．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣m|+4x．（I）当m=2时，解不等式：f（x）≤1；（Ⅱ）若不等式f（x）≤2的解集为{x|x≤﹣2}，求m的值．【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式的解法．【分析】（I）当m=2时，函数f（x）=|2x﹣2|+4x，由不等式f（x）≤1 可得①，或②，分别求出①②的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由f（x）=，可得连续函数f（x）在R上是增函数，故有f（﹣2）=2，分当≥﹣2和当＜﹣2两种情况，分别求出m的值，即为所求．【解答】解：（I）当m=2时，函数f（x）=|2x﹣2|+4x，由不等式f（x）≤1 可得①，或②．解①可得x∈∅，解②可得x≤﹣，故不等式的解集为{x|x≤﹣}．（Ⅱ）∵f（x）=，连续函数f（x）在R上是增函数，由于f（x）≤2的解集为{x|x≤﹣2}，故f（﹣2）=2，当≥﹣2时，有2×（﹣2）+m=2，解得m=6．当＜﹣2时，则有6×（﹣2）﹣m=2，解得m=﹣14．综上可得，当m=6或m=﹣14 时，f（x）≤2的解集为{x|x≤﹣2}．2016年7月6日。

2015-2016学年广东省珠海四中高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，请将所选答案标号填入答题卡．1．已知等差数列{a n}的公差为2，且a9=22，则a1的值是（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣62．在等比数列{a n}中，a1=3，a3=12，则a5=（）A．48 B．﹣48 C．±48 D．363．命题P：“∀x∈R，x2＞0”，则（）A．P是假命题；￢P：∃x∈R，x2＜0 B．P是假命题；￢P：∃x∈R，x2≤0C．P是真命题；￢P：∀x∈R，x2＜0 D．P是真命题；￢P：∀x∈R，x2≤04．设命题p：x2+2x﹣3＜0 q：﹣5≤x＜1，则命题p成立是命题q成立的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要5．在△ABC中，，则A等于（）A．30° B．45° C．60° D．120°6．设a＞0，b＞0．若的最小值为（）A．3 B．C．2+D．3+7．椭圆的离心率为，并且经过点（2，0），此椭圆的标准方程可能是（）A． +=1 B． +y2=1 C．﹣=1 D．﹣y2=18．函数的定义域是（）A．{x|x＜﹣4或x＞3} B．{x|﹣4＜x＜3} C．{x|x≤﹣4或x≥3}D．{x|﹣4≤x≤3}9．若点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是（）A．2 B．1 C．D．10．4．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=111．下列说法正确的是（）A．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件B．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R 均有x2+x+1＜0”C．设集合m={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件D．命题“若sinα=sinβ，则α=β”的逆否命题为真命题．12．双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡相应题号的横线上.13．等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=50，则lga5= ．14．若椭圆的焦点在x轴上，则k的取值范围为．15．已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．16．已知，则z=2x+4y的最大值为．17．双曲线与双曲线的离心率分别为e1和e2，则= ．18．动点P与平面上两定点A（﹣，0），B（，0）连线的斜率的积为定值﹣，则动点P的轨迹方程为．三、解答题：（本题共5小题，共60分）19．在△ABC中，已知a、b、c分别是三内角A、B、C所对应的边长，且b2+c2﹣a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=1，且△ABC的面积为，求c．20．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，命题q：关于x的不等式x2﹣2（m+1）x+m（m+1）＞0对任意的实数x恒成立，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．21．在直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，0），B（3，0），动点C（x，y），若直线AC，BC的斜率k AC，k BC满足条件．（1）求动点C的轨迹方程；（2）已知，问：曲线C上是否存在点P满足？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由．22．数列{a n}的前n项的和为S n，对于任意的自然数a n＞0，4S n=（a n+1）2（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求证：数列{a n}是等差数列，并求通项公式（Ⅲ）设b n=，求和T n=b1+b2+…+b n．23．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2，0），设点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．2015-2016学年广东省珠海四中高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，请将所选答案标号填入答题卡．1．已知等差数列{a n}的公差为2，且a9=22，则a1的值是（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6【考点】等差数列的通项公式．【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，且a9=22，∴22=a1+2×8，解得a1=6．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．2．在等比数列{a n}中，a1=3，a3=12，则a5=（）A．48 B．﹣48 C．±48 D．36【考点】等比数列的通项公式；集合的含义．【专题】计算题；对应思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质即可得到结论．【解答】解：在等比数列中，a1a5=a32，∵a1=3，a3=12，∴a5==48，故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的项的计算，根据等比数列的性质是解决本题的关键．3．命题P：“∀x∈R，x2＞0”，则（）A．P是假命题；￢P：∃x∈R，x2＜0 B．P是假命题；￢P：∃x∈R，x2≤0C．P是真命题；￢P：∀x∈R，x2＜0 D．P是真命题；￢P：∀x∈R，x2≤0【考点】特称命题；全称命题．【专题】应用题．【分析】由02＞0不成立可判断p为假命题，根据全称命题的否是为特称命题可求【解答】解：由于02＞0不成立，故“∀x∈R，x2＞0”为假命题根据全称命题的否是为特称命题可知，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”故选B【点评】本题主要考查了命题的真假关系的判断及全称命题与特称命题的否定关系的应用4．设命题p：x2+2x﹣3＜0 q：﹣5≤x＜1，则命题p成立是命题q成立的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】命题p：x2+2x﹣3＜0，解得﹣3＜x＜1．即可判断出命题p与q关系．【解答】解：命题p：x2+2x﹣3＜0，解得﹣3＜x＜1．又q：﹣5≤x＜1，则命题p成立是命题q成立的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在△ABC中，，则A等于（）A．30° B．45° C．60° D．120°【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理列出关系式，将sinB，a，b的值代入求出sinA的值，即可确定出A 的度数．【解答】解：∵在△ABC中，a=1，b=，B=120°，∴由正弦定理=，得：sinA===，∵a＜b，∴A＜B，∴A=30°．故选A．【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6．设a＞0，b＞0．若的最小值为（）A．3 B．C．2+D．3+【考点】基本不等式；等比数列的通项公式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】是3a与3b的等比中项，可得a+b=1．利用=（a+b）=3+及其基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵是3a与3b的等比中项，∴3a•3b==3，∴a+b=1．∵a＞0，b＞0．∴=（a+b）=3+≥3+2=3+2，当且仅当b=a=时取等号．∴的最小值为3+2．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的性质、变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．椭圆的离心率为，并且经过点（2，0），此椭圆的标准方程可能是（）A． +=1 B． +y2=1 C．﹣=1 D．﹣y2=1【考点】椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由于椭圆的焦点位置未定，故需要进行分类讨论，进而可求椭圆的标准方程．【解答】解：（1）当椭圆的焦点在x轴上时，∵a=2， =，∴c=1，∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆方程为+=1．（2）当椭圆的焦点在y轴上时，∵b=2， =，同理得椭圆的方程为．综上知，所求椭圆的方程为+=1或．故选A．【点评】本题重点考查椭圆的标准方程，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．8．函数的定义域是（）A．{x|x＜﹣4或x＞3} B．{x|﹣4＜x＜3} C．{x|x≤﹣4或x≥3}D．{x|﹣4≤x≤3}【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据根式函数的性质解不等式即可．【解答】解：要使函数有意义，则x2+x﹣12≥0，即（x﹣3）（x+4）≥0，解得x≥3或x≤﹣4．故函数的定义域为{x|x≤﹣4或x≥3}．故选：C．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，以及一元二次不等式的解法，比较基础．9．若点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是（）A．2 B．1 C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】由椭圆的定义可得 m+n=2a=2①，Rt△F1PF2中，由勾股定理可得m2+n2=4②，由①②可得m•n的值，利用△F1PF2的面积是m•n求得结果．【解答】解：由椭圆的方程可得 a=，b=1，c=1，令|F1P|=m、|PF2|=n，由椭圆的定义可得 m+n=2a=2①，Rt△F1PF2中，由勾股定理可得（2c）2=m2+n2，m2+n2=4②，由①②可得m•n=2，∴△F1PF2的面积是m•n=1，故选B．【点评】本题考查椭圆的简单性质和定义，以及勾股定理的应用．10．4．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】椭圆的简单性质；双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】在椭圆C1中，由题设条件能够得到，曲线C2是以F1（﹣5，0），F2（5，0），为焦点，实轴长为8的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程．【解答】解：在椭圆C1中，由，得椭圆C1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），曲线C2是以F1、F2为焦点，实轴长为8的双曲线，故C2的标准方程为：﹣=1，故选A．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．11．下列说法正确的是（）A．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件B．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R 均有x2+x+1＜0”C．设集合m={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件D．命题“若sinα=sinβ，则α=β”的逆否命题为真命题．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】求解一元二次方程判断A；直接写出命题的否定判断B；由集合中元素的关系判断C；由互为逆否命题的命题共真假判断D．【解答】解：当x=﹣1时，x2﹣5x﹣6=0，反之，当x2﹣5x﹣6=0时可得x=﹣1或x=6，∴“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件．选项A错误；命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R 均有x2+x+1≥0”．选项B错误；集合m={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，那么由a∈M不一定有a∈N，反之由a∈N一定有a∈M．∴“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件．选项C正确；命题“若sinα=sinβ，则α=β”为假命题，∴其逆否命题为真命题为假命题．选项D错误．故选：C．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了充分条件、必要条件的判断方法，是中档题．12．双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率．【解答】解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡相应题号的横线上.13．等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=50，则lga5= 1 ．【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】已知等式利用等差数列的性质化简求出a5的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=50，∴5a5=50，即a5=10，则lga5=lg10=1，故答案为：1．【点评】此题考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．14．若椭圆的焦点在x轴上，则k的取值范围为（﹣1，1）．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知条件利用椭圆定义得，由此能求出k的取值范围．【解答】解：∵椭圆表示焦点在x轴上的椭圆，∴，解得﹣1＜k＜1．∴k的取值范围为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）【点评】本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．15．已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由渐近线方程得到双曲线的实半轴、虚半轴之间的关系，再由顶点到渐近线的距离为1，求出实半轴、虚半轴的长，进而写出双曲线方程．【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，∵两条渐近线方程为，∴=，其中一个顶点的坐标（a，0），此定点到渐近线x﹣3y=0 的距离为： =1，∴a=2，∴b=，∴所求双曲线的方程为：．【点评】本题考查双曲线的标准方程和性质，求出a和b的值，是解题的关键，属于中档题．16．已知，则z=2x+4y的最大值为38 ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】我们可以先画出足约束条件的平面区域，再将平面区域的各角点坐标代入进行判断，即可求出2x+y的最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影三角形，三个顶点分别是C（3，﹣3），B（3，8），A（﹣，）由图可知，当z=2x+4y过B（3，8）时最大，此时z=382x+4y的最大值是38故答案为：38．【点评】本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．17．双曲线与双曲线的离心率分别为e1和e2，则= 1 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的方程求出离心率，然后化简，求解即可【解答】解：由题意知：e1=，e2=，∴=+=1，故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．18．动点P与平面上两定点A（﹣，0），B（，0）连线的斜率的积为定值﹣，则动点P的轨迹方程为+y2=1（x≠±）．【考点】轨迹方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设点P的坐标为（ x，y），则由题意利用直线的斜率公式可得=﹣，化可简得结果．【解答】解：设点P的坐标为（ x，y），则由题意可得=﹣，化可简得+y2=1（x≠±），故答案为： +y2=1（x≠±）．【点评】本题主要考查求点的轨迹方程，直线的斜率公式，属于基础题．三、解答题：（本题共5小题，共60分）19．在△AB C中，已知a、b、c分别是三内角A、B、C所对应的边长，且b2+c2﹣a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=1，且△ABC的面积为，求c．【考点】解三角形；三角形中的几何计算．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知的等式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）利用三角形的面积公式S=bcsinA表示出三角形ABC的面积，将sinA，b及已知三角形的面积代入，即可求出c的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：cosA=，…又b2+c2=a2+bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴，…∵0＜A＜π，∴；…（Ⅱ）∵sinA=，b=1，△ABC的面积为，∴，…∴c=3．…【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，命题q：关于x的不等式x2﹣2（m+1）x+m（m+1）＞0对任意的实数x恒成立，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】若命题p正确，则△＞0，解得m范围．若命题q正确，则△＜0，解得m范围．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p与q必然一真一假，即可得出．【解答】解：命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，∴△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m ＜﹣2．命题q：关于x的不等式x2﹣2（m+1）x+m（m+1）＞0对任意的实数x恒成立，∴△=4（m+1）2﹣4m（m+1）＜0，解得m＜﹣1．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p与q必然一真一假，∴或，解得m＞2或﹣2≤m＜﹣1．∴实数m的取值范围是m＞2或﹣2≤m＜﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．在直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，0），B（3，0），动点C（x，y），若直线AC，BC的斜率k AC，k BC满足条件．（1）求动点C的轨迹方程；（2）已知，问：曲线C上是否存在点P满足？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；探究型；函数思想；转化思想；平面向量及应用；向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用已知条件求出直线AC，BC的斜率k AC，k BC，通过．求出动点C的轨迹方程．（2）利用数量积为0，求出P的方程，然后与椭圆方程联立，求出交点坐标即可．【解答】（本小题满分14分）解：（1）（x≠﹣3），（x≠3）又，∴化简整理得（x≠±3）（2）设曲线C上存在点P（x，y）满足∴联立方程组，解得∴存在四个点满足条件，它们是：，，，【点评】本题考查轨迹方程的求法，圆锥曲线之间的关系的综合应用，考查计算能力．22．数列{a n}的前n项的和为S n，对于任意的自然数a n＞0，4S n=（a n+1）2（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求证：数列{a n}是等差数列，并求通项公式（Ⅲ）设b n=，求和T n=b1+b2+…+b n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；证明题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）令n=1，代入4S n=（a n+1）2求解即可；（Ⅱ）由4S n=（a n+1）2化简可得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0，从而可得a n+1﹣a n=2，从而解得；（Ⅲ）由b n==，利用错位相减法求解即可．【解答】解：（Ⅰ）令n=1，4S1=（a1+1）2，解得，a1=1；（Ⅱ）∵4S n=（a n+1）2，∴4S n+1=（a n+1+1）2，相减可得，4a n+1=（a n+1+1）2﹣（a n+1）2，∴（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，∴{a n}是等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（Ⅲ）b n==，T n=b1+b2+…+b n=+++…+，T n=+++…+，相减可得，T n=+2（++…+）﹣=+2﹣=﹣，故T n=1﹣．【点评】本题考查了等比数列与等差数列的应用，同时考查了错位相减法的应用．23．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2，0），设点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】（1）由“左焦点为，右顶点为D（2，0）”得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式，分别求得x0，y0，代入椭圆方程，可求得线段PA中点M的轨迹方程．（3）分直线BC垂直于x轴时和直线BC不垂直于x轴两种情况分析，求得弦长|BC|，原点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值．【解答】解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=，则半短轴b=1．又椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），由得由，点P在椭圆上，得，∴线段PA中点M的轨迹方程是．（3）当直线BC垂直于x轴时，BC=2，因此△ABC的面积S△ABC=1．当直线BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入，解得B（，），C（﹣，﹣），则，又点A到直线BC的距离d=，∴△ABC的面积S△ABC=于是S△ABC=由≥﹣1，得S△ABC≤，其中，当k=﹣时，等号成立．∴S△ABC的最大值是．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，还考查了三角形面积模型的建立和解模型的能力．。

2015-2016学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：共6小题，每小题5分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）的非空子集共有（）A．3个 B．4个 C．7个 D．8个2．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x3．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．1 D．24．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17 B．14 C．5 D．36．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．二、填空题：本大题共两小题，每小题5分．7．（5分）已知||=3，||=5，=12，则在方向上的投影为．8．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．9．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）求函数f（x）的零点的集合．10．（12分）设f（x）=，且f（x）=x有唯一解，f（x1）=，x n+1=f （x n）（n∈N*）．（1）求实数a；（2）求数列{x n}的通项公式；（3）若a n=﹣4009，数列b1，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b n﹣b n﹣1是首项为1，公比为的等比数列，记c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．四、选择题：共6小题，每小题5分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．11．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i12．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．13．（5分）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．14．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b315．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．16．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．五、填空题：本大题共两小题，每小题5分．17．（5分）如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是．18．（5分）已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，则点B到平面EFG的距离为．六、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（10分）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．20．（12分）已知点P是圆O：x2+y2=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足=．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的点M、N，使=（+）（O是坐标原点）．若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°．（Ⅰ）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的余弦值．22．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．2015-2016学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共6小题，每小题5分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）的非空子集共有（）A．3个 B．4个 C．7个 D．8个【解答】解：∵集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，∴A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴C U（A∩B）={3，5，8}∴C U（A∩B）的真子集共有23﹣1=7故选：C．2．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故选：D．3．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．1 D．2【解答】解：由题意可知几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，直角边分别为：1，，棱柱的高为，所以几何体的体积为：=1．故选：C．4．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故选：C．5．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17 B．14 C．5 D．3【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z=2x+3y为，由图可知，当直线过A时，z有最小值为2×1+3×1=5．故选：C．6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选：B．二、填空题：本大题共两小题，每小题5分．7．（5分）已知||=3，||=5，=12，则在方向上的投影为．【解答】解：∵．故答案为：．8．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=24．【解答】解：∵∴a5=8又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24故答案是24三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．9．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）求函数f（x）的零点的集合．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣2sin2x=sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+）﹣1故函数f（x）的最大值等于2﹣1=1（Ⅱ）由f（x）=0得2sin xcos x=2sin2x，于是sin x=0，或cos x=sin x即tan x=由sin x=0可知x=kπ；由tan x=可知x=kπ+．故函数f（x）的零点的集合为{x|x=kπ或x=k，k∈Z}10．（12分）设f（x）=，且f（x）=x有唯一解，f（x1）=，x n+1=f （x n）（n∈N*）．（1）求实数a；（2）求数列{x n}的通项公式；（3）若a n=﹣4009，数列b1，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b n﹣b n﹣1是首项为1，公比为的等比数列，记c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）f（x）=x即为f（x）﹣x=0，﹣x=0，即有=0，即x﹣ax（x+2）=0，f（x）=x有唯一解，即为x﹣ax（x+2）=0有唯一解，即ax2+（2a﹣1）x=0有唯一解．又∵a≠0．∴△=（2a﹣1）2=0，解得a=；（2）f（x1）==，解得x1=，x n+1=f（x n）=，取倒数可得=+，可得{}成等差数列，且=，则=+（n﹣1）=，即有x n=；（3）a n=﹣4009=2n+4008﹣4009=2n﹣1，数列b1，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b n﹣b n是首项为1，公比为的等比数列，﹣1可得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=1++…+（）n﹣1==﹣，c n=a n b n=（2n﹣1）（﹣）=3n﹣﹣（2n﹣1）•（）n﹣1，前n项和T n=3（1+2+…+n）﹣n﹣[1•（）0+3•（）+5•（）2+…+（2n﹣1）•（）n﹣1]，令P n=1•（）0+3•（）+5•（）2+…+（2n﹣1）•（）n﹣1，①P n=1•（）+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣1）•（）n，②①﹣②可得P n=1+2[（）+（）2+…+（）n﹣1]﹣（2n﹣1）•（）n=1+2[]﹣（2n﹣1）•（）n，化简可得P n=[2﹣（2n+2）•（）n]，∴T n=3•﹣n﹣•[2﹣（2n+2）•（）n]=n2+n﹣n﹣+=n2﹣+．四、选择题：共6小题，每小题5分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．11．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【解答】解：，∴z=1﹣3i故选：B．12．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2====．故选：C．13．（5分）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．【解答】解：∵=（1，1，0），=（﹣1，0，2），∴k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），又k+与2﹣互相垂直，∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=．故选：D．14．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b3【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1===，故选：D．16．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为，故选：D．五、填空题：本大题共两小题，每小题5分．17．（5分）如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是0＜k＜1．【解答】解：根据题意，x2+ky2=2化为标准形式为；根据题意，其表示焦点在y轴上的椭圆，则有＞2；解可得0＜k＜1；故答案为0＜k＜1．18．（5分）已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，则点B到平面EFG的距离为．【解答】解：如图，C到面GEF的距离是0到面GEF距离的3倍，设C到面GEF距离为h，则PG•h=GC•PC⇒h==，又BD∥EF，可得BD∥平面GEF，可得B到面GEF的距离等于0到面GEF的距离：==．故答案为：．六、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（10分）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵命题P函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；∴0＜a＜1（3分）又∵命题Q不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立；∴a=2（2分）或，（3分）即﹣2＜a≤2（1分）∵P∨Q是真命题，∴a的取值范围是0＜a≤2，且a≠1（5分）20．（12分）已知点P是圆O：x2+y2=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足=．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的点M、N，使=（+）（O是坐标原点）．若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设P（x0，y0），Q（x，y），依题意，则点D的坐标为D（x0，0）（1分）∴（2分）又∴（4分）∵P在⊙O上，故x02+y02=9∴（5分）∴点Q的轨迹方程为（6分）（2）假设椭圆上存在两个不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）满足，则E（1，1）是线段MN的中点，且有又M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上∴两式相减，得（12分）∴∴直线MN的方程为4x+9y﹣13=0将直线MN的方程代入椭圆方程检验得：52x2﹣104x﹣155=0则△＞0有实根∴椭圆上存在点M、N满足，此时直线MN的方程为4x+9y﹣13=0（14分）21．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°．（Ⅰ）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：作ME∥CD交SD于点E，则ME∥AB，ME⊥平面SAD，连接AE，则四边形ABME为直角梯形，作MF⊥AB，垂足为F，则AFME为矩形，设ME=x，则SE=x，AE==，MF=AE=，FB=2﹣x，由MF=FB•tan 60°，得，解得x=1，即ME=1，从而ME=，∴M为侧棱SC的中点．（Ⅱ）解：MB==2，又∠ABM=60°，AB=2，∴△ABM为等边三角形．又由（Ⅰ）知M为SC中点，SM=，SA=，AM=2，∴SA2=SM2+AM2，∠SMA=90°，取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则BG⊥AM，GH⊥AM，由此知∠BGH为二面角S﹣AM﹣B的平面角，连结BH，在△BGH中，BG=，GH=，BH==，∴cos∠BGH==﹣．∴二面角S﹣AM﹣B的余弦值为﹣．22．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．【解答】（1）解：由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而整理，得a2=3c2，故离心率（2）解：由（I）得b2=a2﹣c2=2c2，所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2设直线AB的方程为，即y=k（x﹣3c）．由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），则它们的坐标满足方程组消去y整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．依题意，而①②由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2③联立①③解得，将x1，x2代入②中，解得．（III）解法一：由（II）可知当时，得，由已知得．线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．直线F2B的方程为，于是点H （m ，n ）的坐标满足方程组，由m ≠0，解得故当时，同理可得．解法二：由（II ）可知当时，得，由已知得由椭圆的对称性可知B ，F 2，C 三点共线， 因为点H （m ，n ）在△AF 1C 的外接圆上， 且F 1A ∥F 2B ，所以四边形AF 1CH 为等腰梯形． 由直线F 2B的方程为， 知点H 的坐标为．因为|AH |=|CF 1|，所以，解得m=c （舍），或．则，所以．当时同理可得赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F第21页（共21页）。