应用数学MATHEMATICA APPLICATA2021,34(1):123-129二维趋化N-S方程解的唯一性准则郭猫驼,苑佳(北京航空航天大学数学科学学院,北京100191)摘要：本文研究一类二维趋化N-S方程解的唯一性问题.利用Littlewood-Paley理论和Besov空间理论以及做差法,获得这一类二维趋化N-S方程弱解唯一性的唯一性准则.关键词：趋化N-S方程;正则性;唯一性准则中图分类号：O175.26AMS(2000)主题分类：35A05;35K10文献标识码：A文章编号：1001-9847(2021)01-0123-071.引言在本文中,我们研究的是不可压趋化Navier-Stokes方程（简称为趋化N-S方程）,其表达式如下：∂t n+u·∇n−∆n=−∇·(χ(c)n∇c),∂t c+u·∇c−∆c=−f(c)n,∂t u+κ(u·∇u)−∆u+∇P=−n∇Φ,∇·u=0,(n,c,u)|t=0=(n0,c0,u0).(1.1)系统(1.1)描述的是不可压流体中微生物的趋化现象,关于这类方程的解的适定性问题有很多的研究工作.在2010年,DUAN和Lorz[3]证明了系统(1.1)在二维以及三维的有界区域（不含通量的边界条件）内弱解的局部存在性；随后,LIU和Lorz[4]在关于χ(c),f(c)的假设χ(c)>0,dd c(χ(c))≥0,f(c)>0,d2d c2(f(c)χ(c))<0以及c0,Φ的初值很小的条件下,得到了系统(1.1)在二维空间中的整体存在性.在2013年,系统(1.1)的古典解在二维和三维空间中的局部存在性在文[5]中被建立.在2014年,Chae, KANG和Lee[6]证明了在二维以及三维空间中,系统(1.1)光滑解的局部适定性并且在H m,m≤3的框架中建立了解的某些爆破准则.之后,ZHANG[7]把该结果拓展到了Besov空间.同样在2014年,在κ=1且χ(c)为常数的情况下,ZHANG和ZHENG[8]获得了能量解的整体适定性.在2017年,对系统(1.1)考虑一个额外的细菌密度增长源时,Braukhoff[9]在二维空间上建立了古典解的整体存在性和唯一性以及在三维空间下弱解的整体存在性.同时在2018年,在满足∥n0∥L1(R2)足够小并且对于χ(c),f(c)满足χ(c),f(c),χ′(c),f(c)≥0时,解的整体适定性以及时间衰减估计在文[10]中被建立.但是在三维条件下,系统(1.1)带有大初值问题的解是否整体存在、是否爆破依然是一个公开的问题.∗收稿日期：2020-01-12基金项目：国家自然科学基金(11871087,11771423)作者简介：郭猫驼,男,汉族,江西人,研究方向：偏微分方程.124应用数学2021我们要研究的是二维趋化N-S方程系统中的一类,其表达式如下：∂t n+u·∇n=−∇·(n∇c)+g(n),∂t c+u·∇c−∆c=−cn,∂t u+u·∇u−∆u+∇P=−n∇Φ,∇·u=0,(n,c,u)|t=0=(n0,c0,u0),(1.2)其中g(n)=n(1−n)(n−a),0<a<12.对于上述系统(1.2),在初值属于X0 {(n0,c0,u0)|n0∈L1∩L2(R2),n0>0;c0∈L2∩L∞(R2),c0>0;u0∈H1(R2)}时,从文[1]中已经有了弱解的存在性的结果,其结果如下：n∈L∞loc (R+;L1(R2)∩L2(R2))∩L3loc(R+;L3(R2))∩L4loc(R+;L4(R2)),c∈L∞(R+;L∞(R2))∩L∞loc (R+;H1(R2))∩L2loc(R+;H2(R2)),u∈L∞loc (R+;H1(R2))∩L2loc(R+;H1(R2))∩L2loc(R+;H2(R2)),并且满足n(x,t)>0,c(x,t)>0.但是系统(1.2)弱解的唯一性研究依然是一个公开的问题,本文主要工作就是为系统(1.2)的唯一性研究做进一步的推进工作,我们得到了系统(1.2)的唯一性准则,结果如下.定理1.1对于任意的(n0,c0,u0)∈X0以及∇ϕ∈L∞(R2),若系统(1.2)的弱解满足∫t||∇3c||2L3dτ≤C(t),那么系统(1.4)的弱解具有唯一性.2.预备知识首先引入如下的单位分解定理[2]：定理2.1设Ψ是一个以原点为中心,长半径为83,短半径为34的环,则存在两个径向函数χ(ξ)∈℘(B43(0)),ˆϕ(ξ)∈℘(Ψ)满足0≤χ(ξ),ˆϕ(ξ)≤1,且χ(ξ)+∑j≥0ˆϕ(2−jξ)=1,∀ξ∈R d∑j∈Zˆϕ(2−jξ)=1,∀ξ∈R d\{0}.在以上单位分解定理的基础上,引入一些记号如下：∆−1u=χ(D)u=F−1(χ(ξ)ˆu(ξ));∆j u=0,j≤−2∆j u=ˆϕ(2−j D)u=2jd∫R dϕ(2j y)u(x−y)d y,j≥0S j u=χ(2−j D)u=2jd∫R dh(2j y)u(x−y)d y,j∈N∪{0}.根据以上的Littlewood-Paley算子∆j的定义,有如下的非齐次Littlewood-Paley分解u=∆−1u+∞∑j=0∆j u.同时可以有如下非齐次Besov空间的定义：定义2.1设(p,r)∈[1,+∞]2,s∈R,那么非齐次Besov空间B sp,r(R d)定义为：B sp,r ∆=u(x)u∈S′(R d),||u||B s p,r(R d)∆=(∑q≥−12qsr||∆q u||r L p(R2))1r<∞.并且B s2,2与Sobolev空间H s是范数等价的.同时本文引入两种混合时空的Besov空间.第1期郭猫驼等：二维趋化N-S 方程解的唯一性准则125定义2.2当T >0,ρ≥1时,记L ρT B sp,r 表示满足下列表达式的所有缓增广义函数的集合,∥u ∥L ρT B s p,r (R 2)∆= (∑q ≥−12qsr ∥∆q u ∥r L p (R 2))1rL ρT<∞.定义2.3当T >0,ρ≥1时,我们记˜L ρTB s p,r 表示满足如下条件的缓增广义函数u 的集合∥u ∥˜L ρT B s p,r(R 2)∆=(∑q ≥−12qsr∥∆q u ∥r L ρTL p (R 2))1r <∞.根据Minkowski 不等式,发现：当s ∈R ,ρ≥1且(p,r )∈[1,∞]2时,如果r ≥ρ,L ρT B sp,r 嵌入到˜L ρT B s p,r ;如果ρ≥r ,˜L ρT B s p,r 嵌入到L ρT B s p,r .在本文定理证明的过程中需要用到以下引理.引理2.1(Bernstein 不等式)令1≤p ≤q ≤∞,假设f ∈L p ,那么存在一个不依赖于f 和j 的常数C ,满足1)若supp ˆf⊂{|ξ|≤C 2j },则||∂αf ||L q ≤C 2j |α|+2j (1p−1q )||f ||L p ;2)若supp ˆf⊂{C −12j ≤|ξ|≤C 2j },则||f ||L p ≤C 2−j |α|sup β=α||∂βf ||L p .3.定理1.1的证明为证明定理1.1,我们需要首先证明以下的引理3.1与引理3.2,这两个定理对于定理1.1的证明有很重要的作用.引理3.1在初值属于X 0条件下,系统(1.2)的弱解有如下正则性:∫t∥∇u ∥L ∞d τ<∞且∫t 0∥∇c ∥L ∞d τ<∞.证首先用算子∆q (q ≥0)作用系统(1.2)的第三个方程两边,从而有∂t ∆q u +∆q (u ∇u )−∆∆q u +∆q ∇P =−∆q (n ∇Φ).(3.1)然后在上述式子(3.1)两边同时乘以∆q u ,并且对于空间变量积分,应用Bernstein 不等式,可以得到12d ||∆q u ||2L 2d t +22q ||∆q u ||2L 2≤−∫R 2∆q (n ∇Φ)∆q u d x −∫R 2∆q (u ∇u )∆q u d x.(3.2)将方程式子(3.2)的两边同时乘以t α22q ,0<α<1,方程变为1222q d(t α||∆q u ||2L 2)d t +24q t α||∆q u ||2L 2≤−22q t α∫R 2∆q (n ∇Φ)∆q u d x −22q t α∫R 2∆q (u ∇u )∆q u d x +12α22q t α−1||∆q u ||2L 2=I +II +III.(3.3)对于(3.2)中I,II 式使用H¨o lder 不等式和Young 不等式,得到I ≤22q t α||∆q (n ∇Φ)||L 2||∆q u ||L 2≤C (ε)t α||∆q (n ∇Φ)||2L 2+ε24q t α||∆q u ||2L 2,(3.4)II ≤23q t α||∆q (u ⊗u )||L 2||∆q u ||L 2≤C (ε)22q t α||∆q (u ⊗u )||2L 2+ε24q t α||∆q u ||2L 2.(3.5)把I,II 的估计式(3.4),(3.5)式代入到(3.3)式,并且两边同时对于时间t 进行积分,从而有22q t α||∆q u ||2L 2+∫t24q τα||∆q u ||2L 2d τ≤∫t 022q τα−1||∆q u ||2L 2d τ+C (ε)∫t 022q τα||∆q (u ⊗u )||2L 2d τ+C (ε)∫tτα||∆q (n ∇Φ)||2L 2d τ.(3.6)126应用数学2021对式(3.6)两边同时对q ≥0进行求和,可以把(3.6)式转化为如下(3.7)式∑q ≥022q t α||∆q u ||2L 2+∑q ≥0∫t24q τα||∆q u ||2L 2d τ≤∑q ≥0∫t22q τα−1||∆q u ||2L 2d τ+C (ε)∑q ≥0∫t22q τα||∆q (u ⊗u )||2L 2d τ+C (ε)∑q ≥0∫tτα||∆q (n ∇Φ)||2L 2d τ=J 1+J 2+J 3.(3.7)对于上述(3.7)式右边的J 1,J 2,J 3项,利用Besov 空间与Sobolev 空间的嵌入关系,以及H¨o lder 不等式,有如下估计J 1≤∫tτα−1||u ||2H 1d τ≤||u ||2L ∞tH 1x ∫t 0τα−1d τ≤C (t ),J 2≤∫t 0τα||u ⊗u ||2H 1d τ≤Ct α∫t0||u ||2L ∞||u ||2H 1d τ≤Ct α||u ||2L ∞t L 2x ||u ||2L 2t H 2x ≤C (t ),J 3≤t α∫t 0||n ∇Φ||2L 2d τ≤t α∫t 0||n ||2L 2||∇Φ||2L ∞d τ≤Ct α||n ||2L 2t L 2x≤C (t ).把上述J 1,J 2,J 3所得到的估计结果累加到(3.7)式中,有如下(3.8)式：∑q ≥022q t α||∆q u ||2L 2+∑q ≥0∫t 024q τα||∆q u ||2L 2d τ≤C (t ).(3.8)通过使用非齐次的Littlewood-Paley 分解,成立∫t 0||∇u ||L ∞d τ≤∫t 0∑q ≥−1||∆q (∇u )||L ∞d τ≤∫t||∆−1(∇u )||L ∞d τ+∫t 0∑q ≥0||∆q (∇u )||L ∞d τ.使用Bernstein 不等式和H¨o lder 不等式以及混合时空的嵌入关系,就有∑q ≥0∫t 0||∆q (∇u )||L ∞d τ≤∑q ≥022q ∫t 0||∆q u ||L 2d τ=∑q ≥022q∫tτ−α2τα2||∆q u ||L 2d τ≤∑q ≥0(∫t0(τ−α2)2d τ)12(∫t 024q τα||∆q u ||2L 2d τ)12≤(∫t 0τ−αd τ)12(∫t 0∑q ≥024q τα||∆q u ||2L 2d τ)12≤C (t ).由于∫t0∥∆−1(∇u )∥L ∞d τ≤∫t||u ||L 2d τ,所以可以得到∫t0∥∇u ∥L ∞d τ≤C (t ).利用同样的方法,也可以得到∫t 0∥∇c ∥L ∞d τ<∞.第1期郭猫驼等：二维趋化N-S 方程解的唯一性准则127引理3.2若系统(1.2)的弱解(n,c,u )满足∫t0||∇3c ||2L 3d τ≤C (t ),那么有||∇n ||2L 3+∫t||∇n ||2L 3d τ≤C (t ).证首先对系统(1.2)的第一个方程两边用∂i 作用,并把g (n )=n (1−n )(n −a )代入,就有∂t ∂i n +u ·∇∂i n =−∇·∂i (n ∇c )−∂i (n 3)+(1+a )∂i (n 2)−a∂i n −∂i u ∇n.(3.9)对于上述(3.9)式做L 3-估计得13d ||∂i n ||3L3d t +3∫R 2n 2|∂i n |3d x +a ||∂i n ||3L 3=−∫R 2∇·∂i (n ∇c )|∂i n |∂i n d x +2(1+a )∫R 2n |∂i n |3d x −∫R 2∂i u ∇n |∂i n |∂i n d x=N 1+N 2+N 3.(3.10)对于N 1,N 2,N 3,分别利用H¨o lder 不等式和Young 不等式,有N 1=−∫R2∇·∂i (n ∇c )|∂i n |∂i n d x=−∫R 2∇·(∂i n ∇c )|∂i n |∂i n d x −∫R 2∇·(n ∇∂i c )|∂i n |∂i n d x ≤2||∆c ||L ∞||∂i n ||3L 3+||∇2c ||L ∞∫R2∇n |∂i n |∂i n d x +C (ε)||∆∂i c |||2L 3||∂i n ||L 3+ε||n 2/3∂i n ||3L 3,N 2=2(1+a )∫R 2n |∂i n |3d x ≤2ε(1+a )∫R 2n 2|∂i n |3d x +2C (ε)(1+a )||∂i n ||3L 3,N 3=−∫R 2∂i u ∇n |∂i n |∂i n d x ≤||∇u ||L ∞∫R 2∇n |∂i n |∂i n d x.把N 1,N 2,N 3估计带入到(3.10)式,并且两边同时对于i 求和,能够得到13d ||∇n ||3L 3d t+C 1||n 2/3∇n ||3L 3+C 2||∇n ||3L 3≤||∇u ||L ∞||∇n ||3L 3+2||∆c ||L ∞||∇n ||3L 3+||∇2c ||L ∞||∇n ||3L 3+C (ε)||∇3c ||2L 3||∇n ||L 3.对于上式两边同时除以||∇n ||L 3,可以得到12d ||∇n ||2L 3d t+C 2||∇n ||2L 3≤||∇u ||L ∞||∇n ||2L 3+2||∆c ||L ∞||∇n ||2L 3+||∇2c ||L ∞||∇n ||2L 3+C (ε)||∇3c ||2L 3.联系已经证明的引理3.1的结果和引理3.2已给的条件,由Gronwall 不等式可得||∇n ||2L 3+∫t||∇n ||2L 3d τ≤C (t ).定理1.1的证明假设系统(1.2)有两个弱解(n 1,c 1,u 1)和(n 2,c 2,u 2),利用做差法,令δn =n 1−n 2,δc =c 1−c 2,δu =u 1−u 2,由此我们可以建立系统(1.2)的差分方程组∂t δn +u 1∇δn =−∇·(∇c 1δn )−∇·(n 1∇δc )−δu ∇n 1+g (n 1)−g (n 2),∂t δc +u 1∇δc −∆δc =−c 1δn −n 1δc −δu ∇c 1,∂t δu +u 1∇δu −∆δu +∇δP =−δn ∇Φ−δu ∇u 1,∇·u =0,(n,c,u )|t =0=(n 0,c 0,u 0).(3.11)分别对于上述系统(3.11)的第一个,第二方和第三个方程做L 2-估计,可以得12d ||δn ||2L 2d t =−∫R 2∇·(n 1∇δc )δn d x −∫R2∇·(δn ∇c 1)δn d x128应用数学2021−∫R2[g(n1)−g(n2)]δn d x−∫R2δu∇n1δn d x=S1+S2+S3+S4,(3.12)1 2d||δc||2L2d t+||∇δc||2L2=−∫R2δu∇c1δc d x−∫R2c1δnδc d x−∫R2n1(δc)2d x=K1+K2+K3,(3.13)1 2d||δu||2L2d t+||∇δu||2L2=−∫R2δu∇u1δu d x−∫R2δn∇Φδu d x=M1+M2.(3.14)对于S1,S2,S3,S4应用利用H¨o lder不等式以及Young不等式,就有S1=−∫R2∇n1∇δcδn d x−∫R2n1∆δcδn d x≤C(ε)||∇n1||2L3||δn||2L2+C(ε)||∇δc||2L2+C(ε)||n1||2L∞||δn||2L2+ε||∆δc||2L2,S2=∫R2δn∇c1∇δn d x=−12∫R2∆c1(δn)2d x≤12||∆c1||L∞||δn||2L2,S3=−∫R2(n31−n32)δn d x+(1+a)∫R2(n21−n22)δn d x−a∫R2(n1−n2)δn d x≤−a ∫R2(δn)2d x−∫R2(n21+n22+n1n2)(δn)2d x+(1+a)C(ε)∫R2(δn)2d x+(1+a)ε∫R2(n21+n22)(δn)2d x≤[(1+a)C(ε)−a]||δn||2L2+[(1+a)ε−1]∫R2(n21+n22)(δn)2d x−∫R2n1n2(δn)2d x≤C||δn||2L2,S4=−∫R2δu∇n1δn d x≤||∇n1||L3||δu||L6||δn||L2≤||∇n1||L3||δu||1/3L2||∇δn||2/3L2||δn||L2≤C(ε)||∇n1||2L3||δn||2L2+ε||δu||2/3L2||∇δu||4/3L2≤C(ε)||∇n1||2L3||δn||2L2+εC(ε)||δu||2L2+ε2||∇δu||2L2.同理对于K1,K2,K3,M1,M2利用H¨o lder不等式以及Young不等式,可以得到K1=−∫R2δu∇c1δc d x≤||∇c1||L∞||δu||L2||δc||L2≤12||∇c1||2L∞||δu||2L2+12||δc||2L2,K2=−∫R2c1δnδc d x≤||c1||L∞||δn||L2||δc||L2≤12||c1||2L∞||δn||2L2+12||δc||2L2,K3=−∫R2n1(δc)2d x≤0,M1=−∫R2δu∇u1δu d x≤||∇u1||L∞||δu||2L2,M2=−∫R2δn∇Φδu d x≤||∇Φ||L∞||δn||L2||δu||L2≤12||∇Φ||2L∞||δn||2L2+12||δu||2L2.把上述得到的S1,S2,S3,S4,K1,K2,K3,M1,M2估计导入到(3.12),(3.13),(3,14)式,并且把得到的三个式子累加,就有12(d||δc||2L2d t+d||δn||2L2d t+d||δu||2L2d t+d||∇δc||2L2d t)+C (∥∇δu∥2L2+∥∇δc∥2L2+∥∆δc∥2L2)≤E(t)·(||∇δc||2L2+||δn||2L2+||δu||2L2+||∇δc||2L2),第1期郭猫驼等：二维趋化N-S方程解的唯一性准则129其中E(t)=C1∥∇u1∥L∞+C2∥∇Φ∥2L∞+C3||c1||2L∞+C4∥∇n1∥2L3+C5∥∇c1∥2L∞+C6∥∆c1∥L∞+C7||n1||2L∞+C8||n1||4L4+C0.而C,C0,C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8分别代表不同非负常数.又由于∫t0||n1||2L∞dτ≤C∫t∥∇n1∥4/3L3||n1||2/3L3dτ≤23∫t∥∇n1∥2L3dτ+13∫t||n1||2L3dτ≤C(t),所以联系所证明的引理3.1与引理3.2,能够推出E(t)是非负可积的.所以利用Gronwall不等式,就有||δn||2L2=||δc||2L2=||δu||2L2=0,所以n1=n2,c1=c2,u1=u2,在任意的时间[0,T]内成立,由此我们完成了定理1.1的证明.参考文献：[1]MENG L,YUAN J,ZHENG X.Global existence of almost energy solution to the two dimension-al chemotaxis-Navier-Stokes equations with partial diffusion[J].Discrete&Continuous Dynamical Systems A,2019,39(6):3413-3441.[2]苗长兴.现代调和分析及其应用讲义[M].北京：高等教育出版社,2018.[3]DUAN R,LORZ A,MARKOWICH P.Global solutions to the coupled chemotaxis-fluid equations[J].Communications in Partial Differential Equations,2010,35(9):1635-1673.[4]LIU J,LORZ A.A coupled chemotaxis-fluid model:global existence[J].Annales de l’IHP Analysenonlinéaire,2011,28(5):643-652.[5]CHAE M,KANG K,LEE J.Existence of smooth solutions to coupled chemotaxis-fluid equations[J].Discrete Contin.Dyn.Syst.Ser.A2013,33(6):2271-2297.[6]CHAE M,KANG K,LEE J.Global existence and temporal decay in Keller-Segel models coupled tofluid equations[J].Communications in Partial Differential Equations,2014,39(7):1205-1235.[7]ZHANG Q.Local well-posedness for the chemotaxis-Navier-Stokes equations in Besov spaces[J].Non-linear Analysis:Real World Applications,2014,17:89-100.[8]ZHANG Q,ZHENG X.Global well-posedness for the two-dimensional incompressible chemotaxis-Navier-Stokes equations[J].SIAM Journal on Mathematical Analysis,2014,46(4):3078-3105.[9]BRAUKHOFF M.Global(weak)solution of the chemotaxis-Navier-Stokes equations with non-homogeneous boundary conditions and logistic growth[J].Annales de I’Institut Henri Poincaré(C) Non Linear Analysis,2017,34(4):1013-1039.[10]CHAE M,KANG K,LEE J,et al.A regularity condition and temporal asymptotics for chemotaxis-fluid equations[J].Nonlinearity,2018,31(2):351-387.Uniqueness Criterion for Two-Dimensional Chemotactic N-SEquationGUO Maotuo,YUAN Jia(School of Mathematical Sciences,Beihang University,Beijing100191,China)Abstract:This paper studies the uniqueness of solution to a class of two-dimensional chemotactic N-S equations.By using the Littlewood-Paley theory,the Besov space theory and the difference method, the uniqueness criterion for the uniqueness of the weak solution of this class of two-dimensional chemotactic N-S equations is obtained.Key words:Chemotactic N-S equation;Regularity;Uniqueness criterion。
