2016学年山西农业大学附中九年级(上)期末数学试卷带解析

2016年山西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）﹣的相反数是（）A．B．﹣6 C．6 D．﹣【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：∵+（﹣）=0，∴﹣的相反数是：．故选：A．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（3分）不等式组解集是（）A．x＞﹣5 B．x＜3 C．﹣5＜x＜3 D．x＜5【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x＞﹣5，解②得：x＜3，则不等式的解集是：﹣5＜x＜3．故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3．（3分）以下问题不适合全面调查的是（）A．调查某班学生每周课前预习的时间B．调查某中学在职教师的身体健康状况C．调查全国中小学生课外阅读情况D．调查某校篮球队员的身高【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解答】解：调查某班学生每周课前预习的时间适合全面调查；调查某中学在职教师的身体健康状况适合全面调查；调查全国中小学生课外阅读情况适合抽样调查，不适合全面调查；调查某校篮球队员的身高适合全面调查，故选：C．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4．（3分）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1，据此可得出图形，从而求解．【解答】解：观察图形可知，该几何体的左视图是．故选：A．【点评】本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．5．（3分）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（）A．5.5×106千米B．5.5×107千米C．55×106千米D．0.55×108千米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：5500万=5.5×107．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣）2=﹣B．（3a2）3=9a6C．5﹣3÷5﹣5=D．【分析】分别利用积的乘方运算法则以及二次根式的加减运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简求出答案．【解答】解：A、（﹣）2=，故此选项错误；B、（3a2）3=27a6，故此选项错误；C、5﹣3÷5﹣5=25，故此选项错误；D、﹣=2﹣5=﹣3，正确；故选：D．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及二次根式的加减运算、同底数幂的除法运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．7．（3分）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物，设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为（）A．B．C．D．【分析】设甲搬运工每小时搬运x千克，则乙搬运工每小时搬运（x+600）千克，根据甲搬运5000kg 所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等建立方程求出其解就可以得出结论．【解答】解：设甲搬运工每小时搬运x千克，则乙搬运工每小时搬运（x+600）千克，由题意得，故选B【点评】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据甲搬运5000kg 所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等建立方程是关键．8．（3分）将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（）A．y=（x+1）2﹣13 B．y=（x﹣5）2﹣3 C．y=（x﹣5）2﹣13 D．y=（x+1）2﹣3【分析】先把一般式配成顶点式得到抛物线y=x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），再利用点平移的规律得到把点（2，﹣8）平移后所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的函数表达式．【解答】解：因为y=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8，所以抛物线y=x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），把点（2，﹣8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（x+1）2﹣3．故选D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．9．（3分）如图，在?ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则的长为（）A．B．C．πD．2π【分析】首先求出圆心角∠EOF的度数，再根据弧长公式l=，即可解决问题．【解答】解：如图连接OE、OF，∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，∴∠OED=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60°，∴∠A=∠C=60°，∠D=120°，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA=60°，∴∠DFO=120°，∴∠EOF=360°﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO=30°，的长==π．故选C．【点评】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、弧长公式等知识，解题的关键是求出圆心角的度数，记住弧长公式，属于中考常考题型．10．（3分）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC 的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．【解答】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1在直角三角形DCF中，DF==∴FG=∴CG=﹣1∴=∴矩形DCGH为黄金矩形故选D．【点评】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图，若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，﹣1），表示桃园路的点的坐标为（﹣1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是（3，0）．【分析】根据双塔西街点的坐标可知：1号线起点所在的直线为x轴，根据桃园路的点的坐标可知：2号线起点所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，确定太原火车站的点的坐标．【解答】解：由双塔西街点的坐标为（0，﹣1）与桃园路的点的坐标为（﹣1，0）得：平面直角坐标系，可知：太原火车站的点的坐标是（3，0）；故答案为：（3，0）【点评】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置．12．（3分）已知点（m﹣1，y1），（m﹣3，y2）是反比例函数y=（m＜0）图象上的两点，则y1＞y2（填“＞”或“=”或“＜”）【分析】由反比例函数系数小于0，可得出该反比例函数在第二象限单增，结合m﹣1、m﹣3之间的大小关系即可得出结论．【解答】解：∵在反比例函数y=（m＜0）中，k=m＜0，∴该反比例函数在第二象限内y随x的增大而增大，∵m﹣3＜m﹣1＜0，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解题的关键是找出函数的单调性．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的系数结合反比例函数的性质找出其单调性是关键．13．（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有4n+1个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．【分析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多4个涂有阴影的小正方形，然后写出第n个图案的涂有阴影的小正方形的个数即可．【解答】解：由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5，第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×2﹣1=9，第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×3﹣2=13，…，第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为5n﹣（n﹣1）=4n+1．故答案为：4n+1．【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察出“后一个图案比前一个图案多4个基础图形”是解题的关键．14．（3分）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”、“2”、“3”三个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动两次，当每次转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域），则两次指针指向的数都是奇数的概率为．【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次指针指向的数都是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：列表得如下：12311、11、21、322、12、22、333、13、23、3∵由表可知共有9种等可能结果，其中两次指针指向的数都是奇数的有4种结果，∴两次指针指向的数都是奇数的概率为，故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．15．（3分）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB 的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为3﹣．【分析】根据AB=CD=4、C为线段AB的中点可得BC=AC=2、AD=2，再根据EH⊥DC、CD⊥AB、BE ⊥AB得EH∥AC、四边形BCGE为矩形，BC=GE=2，继而由AE是∠DAB的平分线可得∠DAE=∠HEA即HA=HE，设GH=x得HA=2+x，由△DHG∽△DAC得=，列式即可求得x．【解答】解：∵AB=CD=4，C为线段AB的中点，∴BC=AC=2，∴AD=2，∵EH⊥DC，CD⊥AB，BE⊥AB，∴EH∥AC，四边形BCGE为矩形，∴∠HEA=∠EAB，BC=GE=2，又∵AE是∠DAB的平分线，∴∠EAB=∠DAE，∴∠DAE=∠HEA，∴HA=HE，设GH=x，则HA=HE=HG+GE=2+x，∵EH∥AC，∴△DHG∽△DAC，∴=，即=，解得：x=3﹣，即HG=3﹣，故答案为：3﹣．【点评】本题主要考查勾股定理、平行线的性质和判定、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点，根据相似三角形的性质得出对应边成比例且表示出各边长度是关键．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：（﹣3）2﹣（）﹣1﹣×+（﹣2）0（2）先化简，再求值：﹣，其中x=﹣2．【分析】（1）根据实数的运算顺序，首先计算乘方和乘法，然后从左到右依次计算，求出算式（﹣3）2﹣（）﹣1﹣×+（﹣2）0的值是多少即可．（2）先把﹣化简为最简分式，再把x=﹣2代入求值即可．【解答】解：（1）（﹣3）2﹣（）﹣1﹣×+（﹣2）0=9﹣5﹣4+1=1（2）x=﹣2时，﹣=﹣=﹣===2【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．（3）此题还考查了分式的化简求值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．（4）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．17．（7分）解方程：2（x﹣3）2=x2﹣9．【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程变形得：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）=0，解得：x1=3，x2=9．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．18．（8分）每年5月的第二周为“职业教育活动周”，今年我省开展了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动．活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校教务处随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．请解答以下问题：（1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人？（3）要从这些被调查的学生中，随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是0.13．【分析】（1）根据喜欢其它累的人数是18，所占的百分比是9%，据此即可求的调查的总人数，进而根据百分比的意义求得扇形统计图中每部分的百分比，补全统计图；（2）利用总人数乘以对应的百分比即可；（3）概率约等于对应的百分比．【解答】解：（1）调查的总人数是18÷9%=200（人），则喜欢工业设计的人数是200﹣16﹣26﹣80﹣18=60（人）．喜欢工业设计的所占的百分比是=30%；喜欢机电维修的所占的百分比是=13%．；（2）估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生数是：1800×30%=540（人）；（3）正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是0.13．故答案是：0.13．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．19．（7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al﹣Binmi（973﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al ﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M 是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA=MC．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是2+2．【分析】（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；（2）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案．【解答】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA=MC．在△MBA和△MGC中∵，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB=MG，又∵MD⊥BC，∴BD=GD，∴DC=GC+GD=AB+BD；（2）解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，在△ABF和△ACD中∵，∴△ABF≌ACD（SAS），∴AF=AD，∵AE⊥BD，∴FE=DE，则CD+DE=BE，∵∠ABD=45°，∴BE==，则△BDC的周长是2+2．故答案为：2+2．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．20．（7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg﹣5000kg（含2000kg 和5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案A：每千克 5.8元，由基地免费送货．方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．【分析】（1）根据题意确定出两种方案应付款y与购买量x之间的函数表达式即可；（2）根据A付款比B付款少列出不等式，求出不等式的解集确定出x的范围即可；（3）根据题意列出算式，计算比较即可得到结果．【解答】解：（1）方案A：函数表达式为y=5.8x；方案B：函数表达式为y=5x+2000；（2）由题意得：5.8x＜5x+2000，解得：x＜2500，则当购买量x的范围是2000≤x＜2500时，选用方案A比方案B付款少；（3）他应选择方案B，理由为：方案A：苹果数量为20000÷5.8≈3448（kg）；方案B：苹果数量为（20000﹣2000）÷5=3600（kg），∵3600＞3448，∴方案B买的苹果多．【点评】此题考查了一次函数的应用，弄清题中的两种方案是解本题的关键．21．（10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F 到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．【分析】过A作AG⊥CD于G，在Rt△ACG中，求得CG=25，连接FD并延长与BA的延长线交于H，在Rt△CDH中，根据三角函数的定义得到CH=90，在Rt△EFH中，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG=30°，在Rt△ACG中，CG=ACsin30°=50×=25，∵GD=50﹣30=20，∴CD=CG+GD=25+20=45，连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H=30°，在Rt△CDH中，CH==2CD=90，∴EH=EC+CH=AB﹣BE﹣AC+CH=300﹣50﹣50+90=290，在Rt△EFH中，EF=EH?tan30°=290×=，答：支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．22．（12分）综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．操作发现（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′Ｄ，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是菱形；（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠BAC，得到如图，得到四边形BCC′Ｄ，发现它是矩形，请你证明这个结论；3所示的△AC′Ｄ，连接DB，C′Ｃ实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：，连接BD′，CC′，使四边形BCC′Ｄ恰好为正方形，将△AC′Ｄ沿着射线DB方向平移acm，得到△A′C′D′求a的值，请你解答此问题；，在图4中画（4）请你参照以上操作，将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′Ｄ出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．【分析】（1）利用旋转的性质结合菱形的性质得出：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，进而利用菱形的判定方法得出答案；（2）利用旋转的性质结合菱形的性质得出，四边形BCC′Ｄ是平行四边形，进而得出四边形BCC′Ｄ是矩形；（3）首先求出CC′的长，分别利用①点C″在边C′Ｃ上，②点C″在C′Ｃ的延长线上，求出a的值；（4）利用平移的性质以及平行四边形的判定方法得出答案．【解答】解：（1）如图2，由题意可得：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，故AC′∥EC，AC∥C′Ｅ，则四边形ACEC′是平行四边形，故四边形ACEC′的形状是菱形；故答案为：菱形；（2）证明：如图3，作AE⊥CC′于点E，由旋转得：AC′=AC，则∠CAE=∠C′AE=α＝∠BAC，∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，∴∠BCA=∠BAC，∴∠CAE=∠BCA，∴AE∥BC，同理可得：AE∥DC′，，∴BC∥DC′，则∠BCC′=90°又∵BC=DC′，∴四边形BCC′Ｄ是平行四边形，，∵∠BCC′=90°∴四边形BCC′Ｄ是矩形；（3）如图3，过点B作BF⊥AC，垂足为F，∵BA=BC，∴CF=AF=AC=×10=5，在Rt△BCF中，BF===12，在△ACE和△CBF中，∵∠CAE=∠BCF，∠CEA=∠BFC=90°，∴△ACE∽△CBF，∴=，即=，解得：EC=，∵AC=AC′，AE⊥CC′，×=，∴CC′=2CE=2恰好为正方形时，分两种情况：当四边形BCC′D′①点C″在边C′Ｃ上，a=C′Ｃ﹣13=﹣13=，②点C″在C′Ｃ的延长线上，a=C′Ｃ+13=+13=，综上所述：a的值为：或；（4）答案不唯一，例：如图4，画出正确图形，平移及构图方法：将△ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为AC的长度，，连接A′Ｂ，D′Ｃ，得到△A′C′D′，，BC∥A′D′结论：∵BC=A′D′是平行四边形．∴四边形A′BCD′【点评】此题主要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及矩形的判定方法等知识，正确利用相似三角形的判定与性质得出CC′的长是解题关键．23．（14分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点B坐标，求出直线OD解析式即可解决点E坐标．（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，此时点F纵坐标为﹣4，令y=﹣4即可解决问题．（3））①如图1中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，求出点M、H的坐标即可解决问题．②如图2中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形，先证明CE∥PQ，根据平行线的性质列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣8经过点A（﹣2，0），D（6，﹣8），∴，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣8，∵y=x2﹣3x﹣8=（x﹣3）2﹣，∴抛物线对称轴为直线x=3，又∵抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标（﹣2，0），∴点B坐标（8，0）．设直线l的解析式为y=kx，∵经过点D（6，﹣8），∴6k=﹣8，∴k=﹣，∴直线l的解析式为y=﹣x，∵点E为直线l与抛物线的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为﹣×3=﹣4，∴点E坐标（3，﹣4）．（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，此时点F纵坐标为﹣4，∴x2﹣3x﹣8=﹣4，∴x2﹣6x﹣8=0，x=3，∴点F坐标（3+，﹣4）或（3﹣，﹣4）．（3）①如图1中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形．∵点E坐标（3，﹣4），∴OE==5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H．则=，∴OM=OE=5，∴点M坐标（0，﹣5）．设直线ME的解析式为y=k1x﹣5，∴3k1﹣5=﹣4，∴k1=，∴直线ME解析式为y=x﹣5，令y=0，得x﹣5=0，解得x=15，∴点H坐标（15，0），∵MH∥PB，∴=，即=，∴m=﹣，②如图2中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形．∵当x=0时，y=x2﹣3x﹣8=﹣8，∴点C坐标（0，﹣8），∴CE==5，∴OE=CE，∴∠1=∠2，∵QO=QP，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴CE∥PB，设直线CE交x轴于N，解析式为y=k2x﹣8，∴3k2﹣8=﹣4，∴k2=，∴直线CE解析式为y=x﹣8，令y=0，得x﹣8=0，∴x=6，∴点N坐标（6，0），∵CN∥PB，∴=，∴=，∴m=﹣．③OP=PQ时，显然不可能，理由，∵D（6，﹣8），∴∠1＜∠BOD，∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，∴∠PQO＞∠1，∴OP≠PQ，综上所述，当m=﹣或﹣时，△OPQ是等腰三角形．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．。

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2016届山西省阳泉市平定县九年级上学期期末数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：145分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号 一 二 三 总分 得分注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）评卷人 得分一、选择题（题型注释）1、如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ．AC 与DF 相交于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．2、如图，已知▱ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，以点B 为中心，取旋转角等于∠ABC ，把△BAE 顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………的大小为（ ）A ．130°B ．150°C ．160°D ．170°3、如图，正比例函数y 1=k 1x 的图象与反比例函数y 2=的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标为2，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜﹣2或x ＞2B ．x ＜﹣2或0＜x ＜2C ．﹣2＜x ＜0或0＜x ＜2D ．﹣2＜x ＜0或x ＞24、如图，斜面AC 的坡度（CD 与AD 的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC 的高度为（ ）A ．5米B ．6米C ．8米D ．（3+）米……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的大小为（ ）A ．45°B ．50°C ．60°D ．75°6、如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．7、学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．8、把抛物线y=﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A ．y=﹣2（x+1）2+2 B ．y=﹣2（x+1）2﹣2 C ．y=﹣2（x ﹣1）2+2 D ．y=﹣2（x ﹣1）2﹣29、下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A ．x 2+3=0B ．x 2+2x=0C ．（x+1）2=0D ．（x+3）（x ﹣1）=010、一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ） A ．x ﹣6=﹣4B ．x ﹣6=4C ．x+6=4D ．x+6=﹣4……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第II 卷（非选择题）评卷人 得分二、填空题（题型注释）11、如图，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y=经过斜边OA的中点C ，与另一直角边交于点D ．若S △OCD =9，则S △OBD 的值为 ．12、如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB 的长为 ．13、一个容器盛满纯药液40L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L ，则每次倒出的液体是 L ．14、一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子可能有 颗．15、二次函数y=x 2﹣2x ﹣3的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是 ．16、方程3（x ﹣5）2=2（x ﹣5）的根是 ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………评卷人 得分三、解答题（题型注释）17、综合与探究：如图，抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，过点B 作线段BC ⊥x 轴，交直线y=﹣2x 于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）求点B 关于直线y=﹣2x 的对称点B′的坐标，判定点B′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P 是抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段B′C 于点D ，是否存在这样的点P ，使四边形PBCD 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18、操作与证明：如图1，已知P 是矩形ABCD 的边BC 上的一个点（P 与B 、C 两点不重合），过点P 作射线PE ⊥AP ，在射线PE 上截取线段PF ，使得PF=AP ．（1）过点F 作FG ⊥BC 交射线BC 点G ．（尺规作图，保留痕迹，不写作法） （2）求证：FG=BP ． 探究与计算：……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（3）如图2，若AB=BC ，连接CF ，求∠FCG 的度数； （4）在（3）的条件下，当=时，求sin ∠CFP 的值．19、如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）．20、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =ax+b （a ，b 为常数，且a≠0）与反比例函数y =（m 为常数，且m≠0）的图象交于点A （﹣2，1）、B （1，n ）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连结OA 、OB ，求△AOB 的面积；（3）直接写出当y 1＜y 2＜0时，自变量x 的取值范围．21、为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．（1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况； （2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………22、如图，在Rt △BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC=，连接AC ，若tanB=，求tan ∠CAD 的值．23、如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC （项点是网格线的交点）．（1）先将△ABC 竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；（2）将△A 1B 1C 1绕B 1点顺时针旋转90°，得△A 2B 1C 2，请画出△A 2B 1C 2； （3）线段B 1C 1变换到B 1C 2的过程中扫过区域的面积为 ．24、（1）计算：（2）用配方法解方程：4x 2﹣8x ﹣5=0．参考答案1、D2、C3、D4、A5、C6、D7、C8、C9、C10、D11、612、3+．13、2014、1415、﹣1＜x＜3．16、x1=5，x2=17、（1）y=﹣+x+．（2）点B′在该抛物线上．（3）当点P运动到（2，）时，四边形PBCD是平行四边形．18、（1）见解析；（2）见解析；（3）∠FCG=45°；（4）．19、该渔船从B处开始航行小时，离观测点A的距离最近．20、（1）反比例函数解析式为y=﹣；一次函数解析式为y1=﹣x﹣1；（2）；（3）x＞1．21、（1）见解析；（2）；（3）球回到乙脚下的概率大．22、．23、（1）见解析；（2）见解析；（3）π．24、（1）1；（2）x1=2.5，x2=﹣0.5．【解析】1、试题分析：根据AH=2，HB=1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到=，计算得到答案．解：∵AH=2，HB=1，∴AB=3，∵l1∥l2∥l3，∴==，考点：平行线分线段成比例．2、试题分析：根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC=60°，∠DCB=120°，再由∠A′DC=10°，可运用三角形外角求出∠DA′B=130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′=∠BAE=30°，从而得到答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，∴∠ABC=60°，∠DCB=120°，∵∠ADA′=50°，∴∠A′DC=10°，∴∠DA′B=130°，∵AE⊥BC于点E，∴∠BAE=30°，∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠BA′E′=∠BAE=30°，∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°．故选：C．考点：旋转的性质；平行四边形的性质．3、试题分析：先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∵点A的横坐标为2，∴点B的横坐标为﹣2，∵由函数图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时函数y1=k1x的图象在y2=的上方，∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．故选D．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．4、试题分析：设CD=x，则AD=2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC 的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长．解：设CD=x，则AD=2x，由勾股定理可得，AC==x，∵AC=3米，∴x=3，∴CD=3米，∴AD=2×3=6米，在Rt△ABD中，BD==8米，∴BC=8﹣3=5米．故选A．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．5、试题分析：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β，由题意可得，求出β即可解决问题．解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠ADC=∠AOC；∵∠ADC=β，∠AOC=α；而α+β=180°，∴，解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，故选C．考点：圆内接四边形的性质；平行四边形的性质；圆周角定理．6、试题分析：过B点作BD⊥AC，得AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果．解：过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB==，AD==2cosA===，故选：D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．7、试题分析：首先用A，B，C分别表示给九年级的三辆车，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明与小红同车的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．解：用A，B，C分别表示给九年级的三辆车，∵共有9种等可能的结果，小明与小红同车的有3种情况，∴小明与小红同车的概率是：=．故选C．考点：列表法与树状图法．8、试题分析：根据图象右移减，上移加，可得答案．解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2，故选：C．考点：二次函数图象与几何变换．9、试题分析：根据计算根的判别式，根据判别式的意义可对A、B、C进行判断；由于D的两根可直接得到，则可对D进行判断．解：A、△=0﹣4×3=﹣12＜0，则方程没有实数根，所以A选项错误；B、△=4﹣4×0=4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；C、x2+2x+1=0，△=4﹣4×1=0，则方程有两个相等的实数根，所以C选项正确；D、x1=﹣3，x2=1，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．故选C．考点：根的判别式．10、试题分析：方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案．解：（x+6）2=16，两边直接开平方得：x+6=±4，则：x+6=4，x+6=﹣4，故选：D．考点：解一元二次方程-直接开平方法．11、试题分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E．∵Rt△OAB中，∠OBA=90°，∴CE∥AB，∵C为Rt△OAB斜边OA的中点C，∴CE为Rt△OAB的中位线，∵△OEC∽△OBA，∴=．∵双曲线的解析式是y=，即xy=k∴S△BOD=S△COE=|k|，∴S△AOB=4S△COE=2|k|，由S△AOB﹣S△BOD=S△AOD=2S△DOC=18，得2k﹣k=18，k=12，S△BOD=S△COE=k=6，故答案为：6．考点：反比例函数系数k的几何意义．12、试题分析：过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=，由勾股定理得：AD==3，∴AB=AD+BD=3+．故答案为：3+．考点：解直角三角形．13、试题分析：设每次倒出液体xL，第一次倒出后还有纯药液（40﹣x），药液的浓度为，再倒出xL后，倒出纯药液•x，利用40﹣x﹣•x就是剩下的纯药液10L，进而可得方程．解：设每次倒出液体xL，由题意得：40﹣x﹣•x=10，解得：x=60（舍去）或x=20．答：每次倒出20升．故答案为：20．考点：一元二次方程的应用．14、试题分析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．解：由题意可得，，解得n=14．故估计盒子中黑珠子大约有14个．故答案为：14．考点：利用频率估计概率．15、试题分析：根据二次函数的性质得出，y＜0，即是图象在x轴下方部分，进而得出x的取值范围．解：∵二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．∴图象与x轴交在（﹣1，0），（3，0），∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．考点：二次函数与不等式（组）．16、试题分析：方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可．解：方程变形得：3（x﹣5）2﹣2（x﹣5）=0，分解因式得：（x﹣5）[3（x﹣5）﹣2]=0，可得x﹣5=0或3x﹣17=0，解得：x1=5，x2=．故答案为：x1=5，x2=考点：解一元二次方程-因式分解法．17、试题分析：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，从而可解得b、c的值；（2）过点B′作B′E⊥x轴于E，BB′与OC交于点F．由平行于y轴的直线上各点横坐标相同可知点C的横坐标为2，将x=2代入直线y=﹣2x的解析式可求得点C的坐标∵点B和B′关于直线y=﹣2x对称，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得OC=5，然后利用面积法可求得BF=2．由轴对称图形的性质可知B′F=FB=4．由同角的余角相等可证明∠B′BE=∠BCF，从而可证明Rt△B′EB∽Rt△OBC，由相似三角形的性质可求得B′E=4，BE=8，故此可求得点B′的坐标为（﹣3，﹣4），然后可判断出点B′在抛物线上；（3）先根据题意画出图形，然后利用待定系数法求得B′C的解析式，设点P的坐标为（x，﹣+x+），则点D为（x，﹣），由平行四边形的判定定理可知当PD=BC时．四边形PBCD是平行四边形，最后根据PD=BC列出关于x的方程即可求得点P的坐标解：（1）∵y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，∴．解得：．∴抛物线的解析式为y=﹣+x+．（2）如图，过点B′作B′E⊥x轴于E，BB′与OC交于点F．∵BC⊥x轴，∴点C的横坐标为5．∵点C在直线y=﹣2x上，∴C（5，﹣10）．∵点B和B′关于直线y=﹣2x对称，∴B′F=BF．在Rt△ABC中，由勾股定理可知：OC===5．∵S△OBC=OC•BF=OB•BC，∴5×BF=5×10．∴BF=2．∴BB′=4．∵∠B′BE+∠B′BC=90°，∠BCF+∠B′BC=90°，∴∠B′BE=∠BCF．又∵∠B′EB=∠OBC=90°，∴Rt△B′EB∽Rt△OBC．∴，即．∴B′E=4，BE=8．∴OE=BE﹣OB=3．∴点B′的坐标为（﹣3，﹣4）．当x=﹣3时，y=﹣×（﹣3）2+=﹣4．所以，点B′在该抛物线上．（3）存在．理由：如图所示：设直线B′C的解析式为y=kx+b，则，解得：∴直线B′C的解析式为y=．设点P的坐标为（x，﹣+x+），则点D为（x，﹣）．∵PD∥BC，∴要使四边形PBCD是平行四边形，只需PD=BC．又点D在点P的下方，∴﹣（﹣）=10．．解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去）．当x=2时，=．∴当点P运动到（2，）时，四边形PBCD是平行四边形．考点：二次函数综合题．18、试题分析：（1）利用作一个角等于已知角的方法，即可作出所求直线；（2）易求得∠BAP=∠GPF，∠ABP=∠PGF=90°，又由AP=PF，即可证得△ABP≌△PGF，继而证得结论；（3）首先证得FG=CG，即可得△FCG是等腰直角三角形，继而求得答案；（4）首先作CH⊥PF于H，易证得△PHC∽△PGF，由相似三角形的对应边成比例，可得，然后设BP=3a，则PC=a，PG=4a，FG=CG=3a，分别求得FC，HC，继而求得答案．（1）解：如图1所示：（2）证明：∵PE⊥AP，∴∠APE=90°．∴∠APB+∠GPF=90°，又∵∠APB+∠BAP=90°，∴∠BAP=∠GPF，又∵FG⊥BC，∴∠ABP=∠PGF=90°，在△ABP与△PGF中，，∴△ABP≌△PGF（AAS）．∴FG=BP；（3）解：由（2）知AB=PG，∵AB=BC，∴BC=PG．∴BC﹣PC=PG﹣PC．∴BP=CG，又∵FG=BP，∴FG=CG．又∵∠CGF=90°，∴∠FCG=45°；（4）解：如图2，作CH⊥PF于H，∵∠HPC=∠GPF，∠CHP=∠FGP=90°，∴△PHC∽△PGF．∴，根据，设BP=3a，则PC=a，PG=4a，FG=CG=3a，∴PF==5a，CF==3a，∴．∴HC=a，∴sin∠CFP==．考点：四边形综合题．19、试题分析：首先根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△APB中，利用正切函数求得出PC与BP的长，由PC+BP=BC=30×，即可得方程，解此方程求得x的值，再计算出BP，然后根据时间=路程÷速度即可求解．解：过点A作AP⊥BC，垂足为P，设AP=x海里．在Rt△APC中，∵∠APC=90°，∠PAC=30°，∴tan∠PAC=，∴CP=AP•tan∠PAC=x．在Rt△APB中，∵∠APB=90°，∠PAB=45°，∴BP=AP=x．∵PC+BP=BC=30×，∴x+x=15，解得x=，∴PB=x=，∴航行时间：÷30=（小时）．答：该渔船从B处开始航行小时，离观测点A的距离最近．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．20、试题分析：（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；将B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，将A与B 坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）设直线AB与y轴交于点C，求得点C坐标，S△AOB=S△AOC+S△COB，计算即可；（3）由图象直接可得自变量x的取值范围．解：（1）∵A（﹣2，1），∴将A坐标代入反比例函数解析式y2=中，得m=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣；将B坐标代入y=﹣，得n=﹣2，∴B坐标（1，﹣2），将A与B坐标代入一次函数解析式中，得，解得a=﹣1，b=﹣1，∴一次函数解析式为y1=﹣x﹣1；（2）设直线AB与y轴交于点C，令x=0，得y=﹣1，∴点C坐标（0，﹣1），∴S△AOB=S△AOC+S△COB=×1×2+×1×1=；（3）由图象可得，当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围x＞1．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．21、试题分析：（1）画出树状图，（2）根据（1）的树形图，利用概率公式列式进行计算即可得解；（3）分别求出球回到甲脚下的概率和传到乙脚下的概率，比较大小即可．解：（1）根据题意画出树状图如下：由树形图可知三次传球有8种等可能结果；（2）由（1）可知三次传球后，球回到甲脚下的概率=；（3）由（1）可知球回到甲脚下的概率=，传到乙脚下的概率=，所以球回到乙脚下的概率大．考点：列表法与树状图法．22、试题分析：过点C作CE⊥AD，垂足为E，根据tanB=设AD=5x，AB=3x，证△CDE∽△BDA，得出比例式，求出CE=x，DE=x，求出AE=x，解直角三角形得出即可．解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=，即=，∴设AD=5x，则AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD=90°，∴△CDE∽△BDA，∵BD=2CD，∴===，∴CE=x，DE=x，∴AE=x，∴tan∠CAD===．考点：相似三角形的判定与性质；解直角三角形．23、试题分析：（1）根据图形平移的性质画出△A1B1C1；（2）根据旋转的性质画出△A2B1C2；（3）利用扇形面积公式求出即可．解：（1）（2）如图：（3）∵BC=3，∴线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为：=π．故答案为：π．考点：作图-旋转变换；作图-平移变换．24、试题分析：（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）方程利用完全平方公式变形，开方即可求出解．解：（1）原式=2+﹣4×+=2+﹣2+=1；（2）方程两边同除以4，变形得x2﹣2x=，配方，得x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，开方得：x﹣1=±，解得：x1=2.5，x2=﹣0.5．考点：实数的运算；负整数指数幂；解一元二次方程-配方法；特殊角的三角函数值．。

7、如图，晚上小明由甲处径直走到乙处的过程中，他在路灯M下的影长在地面上的变化情
况是（ ） A、逐渐变短
B、先变短后变长
C、先变长后变短 D、逐渐变长
8、若A（3，y1），B（2，y2）在函数
y

2 x
的图象上，则y ，y 大小关 12
系是（ ）
A、y1＞y2
B、y1＝y2
C、y1＜y2 D、无法确定
△ABC的面积等于（ ）
A.1.5cm 2
B.3cm 2 C.12cm 2 D.24cm 2
6、如图是滨河公园中的两个物体，一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的
影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（ ）
A、（3）（4）（1）（2）
B、（4）（3）（1）（2）
C、（4）（3）（2）（1）
D、（2）（4）（3）（1）
太原市2015—2016学年第一学期期末考试
九年级数学
一、选择题（每小题2分，共20分）
1、在平面直角坐标系中，反比例函数 y

1 x
的图象位于（
）
A.第二、四象限 B.第一、三象限
2、若
a
b
b

2a 3 ，则 b
等于（
）
A. 13
B.
2 3
C.第一、四象限
C.
4 3
D.第三、四象限
D.
5 3
3、一个圆柱体钢块，从正中间挖去一个长方体得到的零件毛坯的俯视图如图，其主视图
参考答案
1、B
6、C
11、3
12、6
13、
1 5
2、D 7、B
3、A 4、C 5、D 8、C 9、A 10、D

九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．﹣22的倒数等于（）A．4 B．﹣4 C．D．2．用两块完全相同的长方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．关于x的方程ax2﹣2x+1=0有两个实数根，则a的取值范围是（）A．.a≤1 B．.a＜1 C．.a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠04．如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E．若∠1=68°，则∠2=（）A．112°B．124°C．128° D．140°5．点A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y=（﹣k+2）x的图象上，若（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则k值可以是（）A．2 B．﹣1 C．1 D．36．如图，已知点A、B、C在⊙O上，∠ACB=50°，则∠ABO等于（）A．100°B．50°C．40°D．45°7．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB、GHMN都是正方形的花圃，其中点N、O、M均在AC上，点G、H、F、E分别在AD、DC、CB、BA 上，一只自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（）A．B．C．D．8．如图A，B两点分别在反比例函数y=﹣（x＜0）和y=（k＞0，x＞0）的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB=2OA，则k的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．49．如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（）A．1 B．C．2 D．210．小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．你认为其中正确信息的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题11．分解因式：ax3﹣4ax=．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．12．在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣1）向左平移4个单位长度得到点A'，点A'关于原点对称点的坐标是．13．半径为2 cm的圆内接正六边形的边心距为cm．（用科学计算器计算，结果精确到0.01）14．在直角坐标系中，直线y=a﹣x与双曲线y=的图象相交于点A（1，y1）、B （4，y2），则当a﹣x＞时，x的取值范围为．15．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（﹣1，0），在y轴上有一动点G，则BG+AG的最小值为．三、解答题16．计算：|1﹣|﹣sin60°+（﹣2）﹣．17．解方程：．18．如图，已知△ABC，用尺规作出△ABC重心．（保留作图痕迹，不写作法）19．为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为，图①中m的值为；（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？20．已知，如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E在AD上，点F在CB上，且AE=CF，求证：OE=OF．21．中考结束后，小亮乘坐“西宝高铁”回奶奶家过暑假，他发现座位后的小桌板收起时可近似看作与地面垂直，如图1，小桌板的支架底端C与桌面顶端的距离CA=75厘米，展开小桌板使桌面保持水平，如图2，此时OB⊥AC，∠ACB=∠AOB=37°，且支架CB与桌面宽BO的长度之和等于CA的长度，求小桌板桌面的宽度BO．（结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）22．依据我市出租汽车运价与燃料（天然气）价格联动机制，经市政府同意，从2016年11月1日起，市区出租汽车每乘次起步价降低0.5元（不含非用天然气出租车）．即排气量1.8L（含1.8L）以下车型由现行起步价3公里9元降低至3公里8.5元；超过3公里每公里运价为2.0元/公里；空驶补贴费为单程载客12公里以上的部分，每公里加收公里运价的50%．（1）请写出新运价标准下乘车费用y元与乘车距离x公里之间的函数关系式；（2）小明从家乘车去学校花费了10元，求他家与学校之间的距离是多少公里？23．袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球，混合均匀后，先从袋中摸出一个球记住颜色后放回，混合均匀，再摸出一个球，记住颜色．（1）写出先摸到的球是绿球的概率；（2）用列表法或树状图法求两次摸到的球是2个绿球或2个红球的概率．24．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若OC=CP，AB=3，求CD的长．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标．26．问题探究：（1）如图1，⊙O与直线l相切于点A，点B、C是⊙O上异于点A的点，点P在直线l上，猜想∠BAC与∠BPC的大小关系，并说明理由；拓展应用：（2）有一个仓库的形状是如图2所示的矩形ABCD，EF是仓库大门，点E，F在AB上，AE、BF、BC、CD、DA是墙，DC=4，BC=5，AE=BF=1，厂家想在仓库的墙上找一点P安装摄像头，使得∠EPF最大，存在这样的点P吗？若存在，求出点P的位置及此时∠EPF余弦值；若不存在，说明理由．2016-2017学年陕西师大附中九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．﹣22的倒数等于（）A．4 B．﹣4 C．D．【解答】解：﹣22=﹣4，﹣4的倒数为﹣．故选D．2．用两块完全相同的长方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从物体正面看，左边1列、右边1列上下各一个正方形，且左右正方形中间是虚线，故选：C．3．关于x的方程ax2﹣2x+1=0有两个实数根，则a的取值范围是（）A．.a≤1 B．.a＜1 C．.a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0【解答】解：ax2﹣2x+1=0有两个实数根，当a=0时，方程化为﹣2x+1=0，解得：x=，不合题意；故a≠0，则有b2﹣4ac=4﹣4a≥0，则m的取值范围是a≤1且a≠0．故选C．4．如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E．若∠1=68°，则∠2=（）A．112°B．124°C．128° D．140°【解答】解：∵∠1=68°，∴∠BAC=180°﹣∠1=180°﹣68°=112°，∵AE平分∠BAC，∴∠3=∠BAC=×112°=56°，∵AC∥BD，∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣56°=124°．故选B．5．点A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y=（﹣k+2）x的图象上，若（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则k值可以是（）A．2 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，∴x1﹣x2＜0时，y1﹣y2＞0，∴y随x的增大而减小，∴﹣k+2＜0，四个选项中只有k=3符合．故选D．6．如图，已知点A、B、C在⊙O上，∠ACB=50°，则∠ABO等于（）A．100°B．50°C．40°D．45°【解答】解：连接OA，如图，∠AOB=2∠ACB=2×50°=100°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，∴∠ABO=（180°﹣100°）=40°．故选C．7．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB、GHMN都是正方形的花圃，其中点N、O、M均在AC上，点G、H、F、E分别在AD、DC、CB、BA 上，一只自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，∴小鸟在花圃上的概率为=．故选：C．8．如图A，B两点分别在反比例函数y=﹣（x＜0）和y=（k＞0，x＞0）的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB=2OA，则k的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【解答】解：如图，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F．∵OA⊥OB，∴∠AOE+∠BOF=90°，∵∠AOE+∠OAE=90°，∴∠OAE=∠BOF，∵∠AEO=∠OFB=90°，∴△AEO∽△OFB，∴===，∴OF=2AE，BF=2OE，∴OF•BF=2AE•2OE=4AE•OE，∵A点在反比例函数y=﹣上，设A（a，b），∴k=ab=﹣1，∵OE=﹣a，AE=b，∴AE•OE=﹣ab=1，设B（x，y），∴OF=x，BF=y，∴OF•BF=4，∴k=xy=4．故选D．9．如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，则AE=BE=AB=2，DF=CF=CD=2，在Rt△OBE中，∵OB=，BE=2，∴OE==1，同理可得OF=1，∵AB⊥CD，∴四边形OEPF为矩形，而OE=OF=1，∴四边形OEPF为正方形，∴OP=OE=．故选B．10．小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．你认为其中正确信息的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．∵对称轴x=﹣=﹣，∴b=a＜0，∴ab＞0．故①正确；②如图，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．故②正确；③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴2a﹣2b+2c＞0，即3b﹣2b+2c＞0，∴b+2c＞0．故③正确；④如图，当x=﹣时，y＞0，即a﹣b+c＞0．∴a﹣2b+4c＞0，故④正确；⑤如图，对称轴x=﹣=﹣，则．故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D．二、填空题11．分解因式：ax3﹣4ax=ax（a+2）（a﹣2）．【解答】解：原式=ax（x2﹣4）=ax（x+2）（x﹣2），故答案为：ax（a+2）（a﹣2）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．12．在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣1）向左平移4个单位长度得到点A'，点A'关于原点对称点的坐标是（3，1）．【解答】解：点A（1，﹣1）向左平移4个单位长度得到点A'，则点A'的坐标是（﹣3，﹣1），点A'关于原点对称点的坐标是（3，1），故答案为：（3，1）．13．半径为2 cm的圆内接正六边形的边心距为 1.73cm．（用科学计算器计算，结果精确到0.01）【解答】解：连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM=30°，AB=2cm，则AM=1cm，因而OM=OA•cos30°=cm≈1.73cm．∴正六边形的边心距是1.73cm．故答案为：1.73．14．在直角坐标系中，直线y=a﹣x与双曲线y=的图象相交于点A（1，y1）、B （4，y2），则当a﹣x＞时，x的取值范围为1＜x＜4．【解答】解：将点A（1，y1）代入y=中，∴y1=4，∴点A（1，4），将点A（1，4）代入y=a﹣x，∴4=a﹣1，∴a=5，∴直线的解析式为：y=5﹣x，画出图象，如图所示，∴当a﹣x＞时，x的取值范围为1＜x＜4故答案为：1＜x＜415．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（﹣1，0），在y轴上有一动点G，则BG+AG的最小值为．【解答】解：在x轴上取一点E（，0），则AE==3．作GF⊥AE于F，GH⊥AE于H，交OA于G′∵∠GAF=∠OAE，∠AFG=∠AOE，∴△AFG∽△AOB，∴=，∴=，∴GF=AG，∴BG+AG=BG+FG，根据垂线段最短可知，当G与G′重合时，BG+AG的值最小，最小值为BH，∵∠BEH=∠AEO，∠BHE=∠AOE，∴△BHE∽△AOE，∴=，∴=，∴BH=，∴BG+AG的最小值为．故答案为．三、解答题16．计算：|1﹣|﹣sin60°+（﹣2）﹣．【解答】解：|1﹣|﹣sin60°+（﹣2）﹣=﹣1+﹣﹣2﹣=﹣1﹣2．17．解方程：．【解答】解：原方程即：．（1分）方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）=8．（4分）化简，得2x+4=8．解得：x=2．（7分）检验：x=2时，（x+2）（x﹣2）=0，即x=2不是原分式方程的解，则原分式方程无解．（8分）18．如图，已知△ABC，用尺规作出△ABC重心．（保留作图痕迹，不写作法）【解答】解：如图，点O为所作．19．为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为40，图①中m的值为15；（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？【解答】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为6+12+10+8+4=40，图①中m的值为100﹣30﹣25﹣20﹣10=15；故答案为：40；15；（Ⅱ）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，∴这组样本数据的众数为35；∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36，∴中位数为=36；（Ⅲ）∵在40名学生中，鞋号为35的学生人数比例为30%，∴由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为35的人数比例约为30%，则计划购买200双运动鞋，有200×30%=60双为35号．20．已知，如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E在AD上，点F在CB上，且AE=CF，求证：OE=OF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（SAS），∴OE=OF．21．中考结束后，小亮乘坐“西宝高铁”回奶奶家过暑假，他发现座位后的小桌板收起时可近似看作与地面垂直，如图1，小桌板的支架底端C与桌面顶端的距离CA=75厘米，展开小桌板使桌面保持水平，如图2，此时OB⊥AC，∠ACB=∠AOB=37°，且支架CB与桌面宽BO的长度之和等于CA的长度，求小桌板桌面的宽度BO．（结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：如图2，延长CB交AO于点D．∴CD⊥OA，设BC=x，则OB=75﹣x，在Rt△OBD中，OD=OB•cos∠AOB，BD=OB•sin∠AOB，∴OD=（75﹣x）•cos37°=0.8（75﹣x）=60﹣0.8x，BD=（75﹣x）sin37°=0.6（75﹣x）=45﹣0.6x，在Rt△ACD中，AD=DC•tan∠ACB，∴AD=（x+45﹣0.6x）tan37°=0.75（0.4x+45）=0.3x+33.75，∵AD+OD=OA=75，∴0.3x+33.75+60﹣0.8x=75，解得x=37.5．∴BC=37.5，则BO=75﹣37.5=37.5（cm），故小桌板桌面的宽度BO约为37.5cm．22．依据我市出租汽车运价与燃料（天然气）价格联动机制，经市政府同意，从2016年11月1日起，市区出租汽车每乘次起步价降低0.5元（不含非用天然气出租车）．即排气量1.8L（含1.8L）以下车型由现行起步价3公里9元降低至3公里8.5元；超过3公里每公里运价为2.0元/公里；空驶补贴费为单程载客12公里以上的部分，每公里加收公里运价的50%．（1）请写出新运价标准下乘车费用y元与乘车距离x公里之间的函数关系式；（2）小明从家乘车去学校花费了10元，求他家与学校之间的距离是多少公里？【解答】解：（1）当0＜x≤3时，y=8.5；当3＜x≤12时，y=8.5+2（x﹣3）=2x+2.5；当x＞12时，y=8.5+2×（12﹣3）+2×（1+50%）（x﹣12）=3x﹣9.5．综上所述：新运价标准下乘车费用y元与乘车距离x之间的函数关系式为y=；（2）当x=12时，y=2x+2.5=26.5，∵8.5＜10＜26.5，∴3＜x＜12．当y=2x+2.5=10时，x=3.75．答：小明家与学校之间的距离是3.75公里．23．袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球，混合均匀后，先从袋中摸出一个球记住颜色后放回，混合均匀，再摸出一个球，记住颜色．（1）写出先摸到的球是绿球的概率；（2）用列表法或树状图法求两次摸到的球是2个绿球或2个红球的概率．【解答】解：（1）先摸到的球是绿球的概率==；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次摸到的球是2个绿球或2个红球的结果数为8，所以两次摸到的球是2个绿球或2个红球的概率==．24．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若OC=CP，AB=3，求CD的长．【解答】（1）证明：连结AO，AC；如图所示：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=90°，∵E是CD的中点，∴AE=CD=CE=DE，∴∠ECA=∠EAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，∴∠ECA+∠OCA=90°，∴∠EAC+∠OAC=90°，∴OA⊥AP，∵A是⊙O上一点，∴AP是⊙O的切线；（2）解：由（1）知OA⊥AP．在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，∴sinP==；∴∠P=30°，∴∠AOP=60°，∵OC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO=60°，在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=3，∠ACO=60°，∴AC===3，又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°﹣∠ACO=30°，∴CD===2．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0），∴0=4a﹣2b+4，∵对称轴是直线x=3，∴﹣=3，即6a+b=0，关于a，b的方程联立为，解得a=﹣，b=，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x+4；（2）∵四边形为平行四边形，且BC∥MN，∴BC=MN．分两种情况：①N点在M点下方，如图所示：即M点向下平移4个单位，向右平移3个单位与N重合．设M（x，﹣x2+x+4），则N（x+3，﹣x2+x），∵N在x轴上，∴﹣x2+x=0，解得x=0（舍去），或x=6，∴x M=6，∴M（6，4）；②M点在N点右下方，即N向下平移4个单位，向右平移3个单位与M重合．设M（x，﹣x2+x+4），则N（x﹣3，﹣x2+x+8），∵N在x轴上，∴﹣x2+x+8=0，解得x=3﹣，或x=3+，∴x M=3﹣或3+．∴M2（3﹣，﹣4）或M3（3+，﹣4）．综上所述，M的坐标为（6，4）或（3﹣，﹣4）或（3+，﹣4）26．问题探究：（1）如图1，⊙O与直线l相切于点A，点B、C是⊙O上异于点A的点，点P在直线l上，猜想∠BAC与∠BPC的大小关系，并说明理由；拓展应用：（2）有一个仓库的形状是如图2所示的矩形ABCD，EF是仓库大门，点E，F在AB上，AE、BF、BC、CD、DA是墙，DC=4，BC=5，AE=BF=1，厂家想在仓库的墙上找一点P安装摄像头，使得∠EPF最大，存在这样的点P吗？若存在，求出点P的位置及此时∠EPF余弦值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∠BAC＞∠BPC，在△PBO与△ACO中，∵∠POB=∠AOC，∠B＞∠C，∴∠BAC＞∠BPC；（2）存在，理由：设过E，F两点的圆O与AD，BC切于M，P，则在仓库的墙上点P，M处安装摄像头，使得∠EPF最大，连接PM，则PM是⊙的直径，四边形ABPM是矩形，∴PM=AB=4，连接OF，过O作OH⊥EF于H，∴EH=HF=1，∠EPF=∠FOH=EOF，∴OH==，∴cos∠EPF=cos∠HOF==．。