核军备竞赛模型
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西北大学，全国211重点大学，百年名校，“中国作家的摇篮”、“中国青年经济学家的摇篮”、“中国地质学家的摇篮”。2014年校友会全国大学排名第38名，2014年大陆、香港、台湾、澳门四地大学排名第66名，地方综合大学排名第一。
西北大学数学学院，中国西部最重要的数学系，徐宗、辛周平、曲安京三位毕业生分别应邀在数学家大会上做45分钟报告，国内仅此于北大数学系。拥有数学、统计学、科学技术史三个一级博士点和博士后流动站。
西北大学数学学院二〇一四年十一月1
核军备竞赛模型摘要几乎所有现代战争都与反复无常的军备竞赛有关.从冷战时期，美国与前苏联开展的以“通过相互会毁灭来保证自身安全”的“核威慑战略”，到今天核军备竞赛不断升级.本文对“核威慑战略”做一些合理、简化假设，用图的模型描述双方核武器相互制约、达到平衡的过程.同时，提出安全曲线概念，给出它的一般形式.通过更精细的分析找到影响安全线的3个参数：威慑值、残存率和交换比，给出安全线的分析表达式.同时，利用模型对核军备竞赛中的一些现象作出合理解释.
关键字：核军备竞赛，图的模型，安全曲线，交换比2
核军备竞赛模型1.研究背景与问题提出几乎所有现代战争都与反复无常的军备竞赛有关.MichaelWallac研究1816至1965年的99件国际争端中有反复军备竞赛在先的28次争端中有23次升级为战争，没有竞赛在先的71次争端中只有3次导致战争.美国前参谋长联席会议主席泰勒将军提出如下核威胁目标是：战略核力量拥有实施大规模破坏的绝无仅有的能力，它应当承担一项威慑苏联的特殊任务，使之怯于采取任何形式的战略核冲突，为了使威慑效力达到最大限度，它们必须能够在大规模的第一次打击后生存下来，而且能够破坏足够的敌方目标，也就是摧毁对于战争和和平的国家领导人十分敏感的有效政府、社会和经济，从而消灭苏联.这就是“核威慑战略”，其主要思想是：1.核力量的非核使用为手段，迫使敌人放弃发动核进攻，从而达到国家的政治、军事目标安全的方略.2.即使遭受了敌方的核打击，依然有力量毁灭敌方.即就是“通过相互会毁灭来保证自身安全”.来自《世界核武库现状》的资料显示，目前全世界保有的核武器超过2万枚，其中6000多枚处于警戒待命状态，可在在数分钟至数小时内投入使用.与冷战时一样，美国和俄罗斯保有绝大多数——超过全球总数95％的核武器.核军备竞赛依然存在.因此，我们希望通过建立数学模型解决以下问题：(1)在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张,而存在暂时的平衡状态；(2)估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个数量受哪些因素影响；(3)当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时,平衡状态会发生什么变化.
2.模型假设1.以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小；2.认为对方发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击摧毁己方的核导弹基地；瞄准的目标是导弹基地；3.己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击.瞄准的目标是人口和工业中心；4.假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地，至多摧毁一枚导弹；5.一枚核导弹摧毁被攻击的一枚导弹的可能性是常数.
3.符号说明序号符号符号说明
1()yfx=甲有x枚导弹时，乙所需的最少导弹数2()xfy=乙有y枚导弹时，甲所需的最少导弹数30x甲方的威慑值3
40y乙方的威慑值5(,)mmPxy核军备竞赛的平衡点6s残存率7a交换比
4.模型建立及求解4.1图的模型记()yfx=为甲有x枚导弹时，乙所需的最少导弹数；()xfy=为乙有y枚导弹时，甲所需的最少导弹数.当x=0时0yy=，0y是甲方在实施第一次核打击后已经没有核导弹时，乙方为毁
灭甲方的工业、交通中心、核基地等目标所需要的核导弹，称为乙方的威慑值.同样的，0x是乙方在实施第一次核打击后已经没有核导弹时，甲方为毁灭乙方的工业、交
通中心、核基地等目标所需要的核导弹.当x增加时，y随之增加，所以由假设甲方的一枚核导弹最多只能摧毁乙方的一个核导弹地基，所以()yfx=不会超过直线0yyx=+，即00()yyfxyx<=<+，曲线
()yfx=在图1所示的范围内.
图1()yfx=的范围同样的，曲线()xfy=有类似的性质，其不会超过直线0xxy=+，即
00()xxfyxy<=<+.将()yfx=和()xfy=的图像画在一起，如图2.
图2()yfx=和()xfy=图像把两条曲线的交点记为(,)mmPxy，下面讨论P点的含义.
根据()yfx=的定义，当()yfx³时乙方是安全的，我们把()yfx³称为乙安全区，把曲线()yfx=称为乙安全线.类似的，当()xfy³时乙方是安全的，我们把4
()xfy³称为甲安全区，把曲线()yfx=称为甲安全线.两个安全线的公共部分即为双方安全区，是核军备竞赛的稳定区域，从图中可以看到，(,)
mmPxy点的坐标，mmxy、
分别为稳定状态下甲乙双方分别拥有的最小导弹数，即，P点事平衡点.
图3核军备竞赛图的模型这个平衡点是可以达到的，如果甲最初只有0x枚导弹，乙方为了自己的安全至少
要拥有1y枚导弹，而甲方为了自身安全需要将导弹数量增加到1x，如此下去双方的导
弹数量会趋于mmxy、.
图4核军备竞赛图的模型4.2模型求解甲方一枚导弹攻击乙方某个基地，基地未被摧毁的概率记为s，01s<<，称为残存率.当xy被摧毁，且有yx-个地基未被攻击，则乙方在经受第一次核打击后保存下来的核导弹数为0ysxyx=+-，即
()01yysx=+-.
当=xy时，显然有0ysy=，即
0yy
s=.
当2yxy 击1次，其中(2)syx-个未被摧毁，则20()ysxy=-+(2)syx-，即 ()()0122sxy y sss -=+--. 当=2xy时，显然有20ysy=，即 02 yy s=. 将上面各式与()yfx=绘制在同一坐标系内，如图5.5 图5曲线()yfx=的形成可以看出图像是[][]0,,2yyy、上的连续线段.上述过程可以一直继续下去，当允许x、y取连续值时，由极限思想可以知道，所有的线段可以近似的看做是一条光滑的曲线，即就是()yfx=的图像，图6. xay=，a为大于0的任意实数，xay=表示在安全条件下甲乙双方的导弹数，称 为乙方的交换比，因为此时x、y取得都是连续的实数，因此()yfx=的形式可以写为： 00xa y yyy ss == 图6曲线()yfx=的图像5模型应用基于以上模型，我们探讨几个核军备竞赛中的实际情况.1.若甲方增加经费保护疏散工业、交通中心等目标乙方的威慑值0y将变大，而其他因素不变，那么乙的安全线()yfx=将上移，使 得平衡点(,)mmPxy变为(,)mmPxy¢，显然,mmxxyy>>，如图7. 启发：甲方的被动防御会使双方的军备竞赛升级. 图7甲方被动防御导致核军备竞赛升级6 2.甲方将原来的固定核导弹基地改进为可移动发射架此时，由于甲方的导弹数量没变，则乙方的安全线()yfx=没有变化，而甲方的残存率增大，于是x减少，甲的安全线()xfy=向y轴靠近，平衡点(,) mmPxy变为 (,)mmPxy¢，显然,mmxxyy<<，如图8.启发：甲方的这种单独行为，会使双方的核导弹减少. 图8甲方单方行为会使双方核导弹减少3.双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标在这种情况下，双方的威慑值00xy，和残存率均减小，乙方的安全线由于0y的减 小而下移且变平，又由于残存率的变小，使y增加且曲线变陡.甲安全线有类似的变化，二者的综合影响则可能使得平衡点(,)mmPxy变为(,)mmPxy¢或(,)mmPxy，如图 9，但具体是那种情况需要更多的信息才能确定.启发：双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标，双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析. 图9双方发展多弹头导弹时平衡点的变化情况6.模型评价6.1模型的优点本文对“核威慑战略”做一些合理、简化假设，用图的模型描述双方核武器相互制约、达到平衡的过程.同时，提出安全曲线概念，给出它的一般形式.通过更精细的分析找到影响安全线的3个参数：威慑值、残存率和交换比，给出安全线的分析表达式.利用模型对核军备竞赛中的一些现象作出合理解释.6.2模型的缺点本文的模型建立在理想的状态下，即敌我双方的核武器数量和核基地的地点是透明的，这在现实中是不可能的，因此,此模型除了在理论上给核军备竞赛一定的指导外，在实际中的应用可能性不大.
