南通市2020届高考考前模拟卷（一）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．. 1. 已知集合{}*2,N A xx x x =<∈∣，{0,1,2,3,4}B =，则A B ________.【答案】{1,2,3} 【解析】 【分析】解不等式确定集合A ，然后由交集定义计算． 【详解】220(1)(2)00204x x x x x x x x ⇒<⇒<⇒≤⇒≤<，又*x N ∈，∴{1,2,3}A =，∴{1,2,3}A B ⋂=． 故答案为：{1,2,3}．【点睛】本题考查集合的交集运算，考查解无理不等式，属于基础题． 2. 设为虚数单位，(12)|34|i z i -=+，则复数z 的虚部为________. 【答案】2 【解析】 【分析】首先将题中所给的式子进行化简，求得12z i =+，从而得到其虚部的值. 【详解】根据(12)|34|i z i -=+，可得22(12)345i z -+=， 所以2255(12)12121(2)i z i i +===+-+-， 所以复数z 的虚部为2， 故答案为：2.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，复数的虚部，属于简单题目.3. 若某程序框图如图所示，则运行结果为________.【答案】9 【解析】 【分析】模拟程序运行，观察变量值，判断循环条件可得结论． 【详解】程序运行时，变量值变化如下：0,1S n ==，不满足5S ≥；0,3S n ==，不满足5S ≥；2log 3,5S n ==，不满足5S ≥；2log 15,7S n ==，不满足5S ≥；2log 105,9S n ==，满足5S ≥，退出循环，输出9n =．故答案为：9．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时模拟程序运行是常用方法．4. 某校从3名男生和2名女生中随机选出3人参加植树活动，则选出的学生中男生比女生人数多的概率为________. 【答案】710【解析】 【分析】依据题意男生选3人或男生2人女生1人，依次计算概率，最后可得结果. 【详解】由题可知：男生选3人或男生选2人女生选1人若男生选3人，则概率为33135110==C P C 若男生选2人女生选1人，则概率为2132235610==C C P C 所以所求的概率为12710=+=P P P 故答案为：710【点睛】本题考查互斥事件的概率，审清题意，细心计算，属基础题.5. 已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线222:1(0)x C y a a-=>的左焦点重合，则双曲线的离心率为________.【答案】3【解析】 【分析】求出抛物线的焦点，由双曲线方程求得a ，从而可得离心率．【详解】抛物线28y x =-中28p =，4p =，焦点为(2,0)-，它是双曲线的左焦点，则双曲线222:1(0)x C y a a-=>中2c =，a =所以离心率为c e a ===．【点睛】本题考查抛物线与双曲线焦点坐标，考查双曲线的离心率，求出,a c 是求双曲线离心率的基本方法．6. 为了解某校学生课外阅读的情况，随机统计了1000名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示，则阅读时间在[125,150)中的学生人数为________.【答案】200 【解析】 【分析】首先由频率分布直方图求出25a ，再由人数等于样本总数乘以频率即可求出． 【详解】由题意得：()0.0040.0120.016251a +++⨯=， 可得250.2a =，则阅读时间在[125,150)中的学生人数为：10000.2200⨯=. 故答案为：200.【点睛】本题考查频率分布直方图，掌握住频率分布直方图中频率=小矩形的面积．属于较易题.7. 已知向量()1,3a =，()2,1b =-，()3,2c =.若向量c 与向量ka b +共线，则实数k =_________.【答案】1- 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求得向量ka b +的坐标，然后利用平面向量共线的充分必要条件求解. 【详解】∵向量()1,3a =，()2,1b =-，∴向量()=2,31ka b k k +-+, 又∵()3,2c =，且向量c 与向量ka b +共线，∴()()33122,k k +=- 解得1k =-, 故答案为： 1-.【点睛】本题考查向量的坐标运算和利用向量共线的充分必要条件求参数的值，考查运算能力，属基础题.8. 体积为36π的球的内接正四面体的表面积为________. 【答案】243 【解析】 【分析】根据球的体积可得球的半径，依题意可知该球为正四面体的外接球，然后计算正四面体的边长，最后简单计算可得结果.【详解】由题可知：该球为正四面体的外接球，设球的半径为R所以34=3633ππ⇒=R R如图另设正四面体的边长为a依题意可知O 为该正四面体的球心，N 为BCD 的中心 所以3sin 60=⋅=BM BC ，233==BN BM==AN 所以222=+OB BN ON，即222⎫⎫=+-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭R R化简可求得a =所以该正四面体的表面积为14sin 602⋅⋅⋅⋅=a a故答案为：【点睛】本题考查正四面体的外接球问题，关键在于找到正四面体的边长和外接球半径之间的关系，属中档题.9. 设等比数列{}n a 前n 项的和为n S ，满足16a ，3a ，24a 成等差数列，且480S =，则数列{}n a 的通项公式为________.【答案】123n -⋅ 【解析】 【分析】先利用等差中项求出公比q ，再利用等比数列前n 项和求出首项，最后利用等比数列的通项公式求解即可.【详解】设公比为q ，由16a ，3a ，24a 成等差数列， 得2312111264264a a a a q a a q =+⇒=+，又10a ≠，则2264q q =+，所以3q =或1q =-； 又480S =，所以1q ≠-，则3q =，()()44114111380212a q a S a q--===⇒=--，则11123n n n a a q --==⋅.故答案为：123n -⋅.【点睛】本题主要考查了等差中项，等比数列通项公式以及等比数列前n 项和公式.属于较易题.10. 已知函数2()f x x m =+，()2ln g x n x =，若曲线()y f x =与()y g x =在1x =处有相同的切线，则函数()()()F x f x g x =-的最小值为________. 【答案】0 【解析】 【分析】首先对函数2()f x x m =+和()2ln g x n x =求导，代入1x =，求得切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，利用两直线重合得到方程组，求得11n m =⎧⎨=-⎩，利用导数研究()()()F x f x g x =-的单调性，确定出最小值，得到结果.【详解】因为2()f x x m =+，()2ln g x n x =，有'()2f x x =，2'()n g x x=， 所以'(1)2,'(1)2f g n ==，且(1)1,(1)0f m g =+=，所以()y f x =在1x =处的切线方程为12(1)y m x --=-，即210x y m -+-=，()y g x =在1x =处的切线方程为02(1)y n x -=-，即220nx y n --=，因为两条切线相同，所以有2212nm n=⎧⎨-=-⎩，解得11n m =⎧⎨=-⎩，所以2()()()12ln F x f x g x x x =-=--，(0)x >，222(1)2(1)(1)'()22x x x F x x x x -+-=-==，(0)x >， 所以当01x <<时，'()0F x <，当1x >时，'()0F x >， 所以()F x 在(0,1)上单调递减，在()1,+∞时单调递增， 所以()F x 在1x =处取得最小值，且(1)1100F =--=， 故答案为：0.【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有曲线在某个点处的切线方程的求解，利用导数研究函数的最值，属于中档题目.11. 已知tan 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________.【答案】10【解析】 【分析】由两角和的余弦公式及二倍角公式求得cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭221tan 2tan 21tan ααα-+=⋅+，由题意可求tan 2α=，代入求解即可.【详解】由tan 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得tan1tan 3tan 241tan παααα+⎛⎫+==-⇒= ⎪-⎝⎭，又)cos 2cos 2sin 242πααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭2222cos sin 2sin cos 2cos sin αααααα-+=+221tan 2tan 21tan 10ααα-+==+. 故答案为：10. 【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，正切齐次式求值，熟记公式，准确化为二次齐次式是关键，属于中档题.12. 如图，在ABC 中，D 、E 分别是BC 、AB 边上的中点，AD 与CE 的交点为O ，若3AO BC ⋅=-，AB =B 的最大值为________.【答案】4π 【解析】 【分析】 表示()13=+AO AB AC ，进一步可得()123=-AO BC BA ，然后计算3AO BC ⋅=-可得关于BC 的一元二次方程，最后利用0∆≥可得结果.【详解】根据题意可知：在ABC 中，D 、E 分别是BC 、AB 边上的中点 所以O 为ABC 的重心，所以()()213132=⋅+⋅+=AB AC AB AC AO 又AC BC BA =-，所以()123=-AO BC BA 又3AO BC ⋅=-，所以()211223333-⋅=-⋅=-BC BA BC BC BA BC根据32AB =cos ⋅=⋅⋅BA BC BA BC B所以2122cos 303-+=BC B BC则()21224303∆=--⨯⨯≥B所以21cos 2≥B ，由30⋅=-<AO BC ，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则2cos ≥B ，所以0,4π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B所以B 的最大值为4π故答案为：4π 【点睛】本题考查向量的线性表示以及数量积的运算，本题难点在于2122cos 303-+=BC B BC 的表示以及0∆≥的使用和理解，属中档题. 13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:6l y kx =+上存在点P ，过点P 作圆22:4O x y +=的切线，切点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，且12122x x y y +=-，则实数k 的取值范围为________.【答案】55,,⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】采用数形结合，取AB 的中点Q ，根据12122x x y y +=-，可计算1OQ =，然后根据=OA OQOP OA可得OP ，最后利用点O 到直线l 的距离不大于OP ，可得结果. 【详解】取AB 的中点Q 如图根据圆的几何性质可得△△Rt OPA Rt OAQ所以=OA OQOP OA由1212,22x x y y Q ++⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()2222221122121212122224+++++⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y x y x x y y x x y y OQ由2222112212124,42,++==+=-x y x y x x y y所以1OQ =，则4OP =点O 到直线l 的距离为=d则42=≤⇒≤-d k 或≥k所以,22⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭k故答案为：,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭【点睛】本题考查直线与圆的应用，本题难点在于计算OP 以及利用关系≤d OP ，审清题意，考查分析能力以及逻辑推理能能力，属难题.14. 已知函数3ln ,0()2,0x x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩，若()()g x f x ax =-有3个零点，则实数a 的取值范围为________. 【答案】11,1(2,)e ⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】分别画出函数()f x 与y ax =的图象，根据两图象的交点有3个，可得结果. 【详解】由题可知：()()g x f x ax =-有3个零点 等价于函数()f x 与y ax =的图象有3个交点 当0x >时，()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-= 可知若()0,1x ∈，()0f x '<，则函数单调递减 若()1,x ∈+∞，()0f x '>，则函数单调递增 当0x ≤时，()32=+g x x x ，则()2320'=+>g x x则函数()g x 在(],0-∞单调递增又直线y ax=恒过原点如图当直线y ax=与()lnf x x x=-相切时，设切点为()00,A x y()01-'=xf xx，000ln=-y x x所以000000ln1--=⇒=x x xx ex x，所以()11'=-f xe当直线y ax=与()32=+g x x x相切时，切点为原点所以()232'=+g x x，则()02'=g由函数()lnf x x x=-在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增所以()()110≥=>f x f，所以lnx x>又函数()f x与y ax=的图象有3个交点则11,1(2,)⎛⎫∈-⋃+∞⎪⎝⎭ae故答案为：11,1(2,)e⎛⎫-⋃+∞⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据函数零点个数求参问题，常常使用等价转化的思想，转化为两个函数交点个数问题，数形结合，解决问题，属中档题.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，1A C BC ⊥，1//AC 平面1ADB .求证：（1）D 是BC 的中点； （2）平面1ADB ⊥平面11BCC B .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接1A B 交1AB 于点M ，然后根据1A C //平面1ADB ，可得DM //1A C ，最后根据M 为1A B 的中点，可得结果.（2）根据1A C BC ⊥，可知DM BC ⊥，可证明AD BC ⊥，然后根据线面垂直以及面面垂直的判定定理，可得结果.【详解】（1）连接1A B 交1AB 于点M 如图因为1A C //平面1ADB ，且1AC ⊂平面1A BC平面1A BC 平面1=ADB DM ，所以1A C //DM又四边形11ABB A 为平行四边形，所以M 为1A B 的中点 所以在1A BC 中，1A C //DM 且M 为1A B 的中点 可知D 是BC 的中点（2）根据（1）可知：1A C //DM ，又1A C BC ⊥ 所以BC DM ⊥，由AB AC =，D 是BC 的中点 所以BC AD ⊥ 由ADDM D =,,⊂AD DM 平面1ADB所以BC ⊥平面1ADB ，又BC ⊂平面11BCC B 所以平面1ADB ⊥平面11BCC B【点睛】本题考查线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理，熟练掌握线线、线面、面面之间的位置关系以及相关定理，属中档题.16. 在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .（1）若2b c =，cos 3C =，求sin A 的值； （2）若2b =，3B π=，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）36+；（2【解析】 【分析】（1）由正弦定理求出sin B ，再利用同角间三角函数关系，两角和的正弦公式和诱导公式可求得sin A ；（2）用余弦定理得出,a c 的关系式，再由基本不等式可得ac 的最大值，从而得面积最大值．【详解】（1）∵cos C =，∴sin 3C =，又∵b =，由正弦定理得sin sin b c B C =，即1sin sin 2b B C c =⋅==，∵3b c =，∴b c <，∴B C <，∴6B π=，∴()163336sin sin sin()sin cos cos sin 23236A B C B C B C B C π+=--=+=+=⨯+⨯=；（2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，又3B π=，∴2242a c ac ac ac ac +-=≥-=，当且仅当ac 时等号成立， ∴11sin 4sin 3223ABC S ac B π=≤⨯⨯=△，∴ABC 面积最大值为3，此时ABC 为等边三角形．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查两角和的正弦公式，同角间的三角函数关系，诱导公式等，掌握正弦定理与余弦定理是解题关键，本题属于中档题．17. 数学家斐波那契在其所著《计算之书》中，记有“二鸟饮泉”间题，题意如下：“如图1，两塔相距**步，高分别为**步和**步.两塔间有喷泉，塔顶各有一鸟.两鸟同时自塔顶出发，沿直线飞往喷泉，同时抵达（假设两鸟速度相同）.求两塔与喷泉中心之距.”如图2，现有两塔AC 、BD ，底部A 、B 相距12米，塔AC 高3米，塔BD 高9米.假设塔与地面垂直，小鸟飞行路线与两塔在同一竖直平面内.（1）若如《计算之书》所述，有飞行速度相同的两鸟，同时从塔顶出发，同时抵达喷泉所在点M ，求喷泉距塔底A 的距离；（2）若塔底A 、B 之间为喷泉形成的宽阔的水面，一只小鸟从塔顶C 出发，飞抵水面A 、B 之间的某点P 处饮水之后，飞到对面的塔顶D 处.求当小鸟飞行距离最短时，饮水点P 到塔底A 的距离.【答案】（1）9米；（2）3米. 【解析】【分析】（1）设AM x =，列方程求解；（2）作出C 关于AB 的对称点C '，C D '与AB 的交点就是最短距离的P 点，由此可计算出结论．【详解】（1）设AM x =，则由题意222239(12)x x +=+-，解得9x =； （2）设C '是C 关于直线AB 的对称点，连接C D '交AB 于P ，Q 是线段AB 上任一点，如图，QC QD QC QD C D ''+=+≥，当且仅当Q 与P 重合时，等号成立．P 点即为所求．∵,AC AB BD AB '⊥⊥，∴//AC BD '，∴AC AP BD BP '=，而AC AC '=，∴3912APAP=-，解得3AP =．【点睛】本题考查数学文化，考查数学的应用，解题关键是正确理解题意，抽象出数学问题，用相应的数学知识求解．18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12，右焦点为(,0)c ，椭圆上的点到准线的距离的最小值为2，A 为椭圆C 的上顶点，圆2221():4F x c y -+=，直线l 与椭圆C 和圆2F 分别交于点E ，F ，M ，N .（1）求椭圆C 的标准方程； （2）若AM AN =，1348MN EF =，求直线l 的方程. 【答案】（1）22143x y +=；（2）3333y x =-或3133333y x =-. 【解析】 【分析】（1）由离心率和距离的最小值列出关于,a c 的方程组，再求出b 可得椭圆方程； （2）由AM AN =得2AF MN ⊥，求得直线l 的斜率，然后设直线l 方程为3y m =+，由直线与椭圆相交弦长公式求得弦长EF ，再由圆的弦长公式求得MN ，这样由已知可求得m ．【详解】（1）由题意2122c a a a c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，∴2222213b a c =-=-=，∴椭圆标准方程为22143x y +=；（2）由（1）3)A ，2(1,0)F ，2303AF k -== ∵AM AN =，∴A 在线段MN 的垂直平分线上，2F 也在线段MN 的垂直平分线上，∴2AF MN ⊥，∴2133MN AF k k =-=， 设直线l 方程为33y x m =+，设1122(,),(,)E x y F x y ，由22143x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2213412033x mx m ++-=，∴1213x x +=-，21212(3)13m x x -=，22212121248(399)()()4169m x x x x x x --=+-=，1231313EF x =-==，0x y m -+=，2F 到l直线的距离为d ==，由12d <得11m <，即03m -<<(*). 圆2F 半径为12r =，∴MN == ∵1348MN EF =，∴1348MN EF =，1348=，解得m =m =(*)． ∴直线l方程是33y x =-或333y x =-. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题，掌握直线与椭圆相交弦长公式和直线与圆相交的弦长公式是解题关键．计算的方法是“设而不求”的思想方法，即设直线方程，设交点坐标，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理，由韦达定理的表达式去计算弦长． 19. 已知函数21()ln (1)2f x a x x =+-，a R ∈. （1）当2a =-时，求函数()f x 的极值；（2）若[1,)x ∀∈+∞，都有()0f x ，求实数a 的取值范围； （3）设211()l n 22a g x x x x =+++，若0[1,]x e ∃∈，使得()()00f x g x >成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）12ln 22-；（2）[0,)+∞；（3）2(,1),1e e e ⎛⎫+-∞-⋃+∞⎪-⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）代入2a =-，求导即可求解极值.（2）[1,)x ∀∈+∞，都有()0f x 等价于[1,)x ∈+∞时，min ()0f x 恒成立，然后分类讨论求min ()f x 即可.(3)令()()()(1)ln am x f x g x a x x x=-=---，即存在[]01,x e ∈，使得()max 0m x >，然后分类讨论求()max 0m x >即可求解. 【详解】（1）当2a =-时，21()2ln (1)2f x x x =-+- ()()()22122'()10x x x x f x x x x x x-+--∴=-+-==> 令'()0f x =，解得1,2x x =-= 当02x <<时，'()0f x < 当2x >时，'()0f x >∴当2x =时，()f x 取得极小值()122ln 22f =-+；无极大值. (2) [1,)x ∀∈+∞，都有()0f x ， 即[1,)x ∈+∞时，min ()0f x 恒成立()()2'11a x x af x x x x x-+=+-=≥令()2h x x x a =-+①当0∆≤，即1140,4a a -≤≥时 ()0h x ≥，()'0f x ≥即，所以()f x 在[)1,+∞单增所以()()min 10f x f ==，满足题意.②当0∆≥，即1140,4a a -≥≤时此时x =，x =i 1≤时，即104a ≤≤时()0h x ≥，()'0f x ≥即，所以()f x 在[)1,+∞单增所以()()min 10f x f ==，满足题意.ii 1≥时，即0a ≤时此时()10f =，所以()min 102f x f ⎛=<⎝⎭，不满足题意. 综上所述：当0a ≥时，满足[1,)x ∈+∞时，min ()0f x 恒成立.[)0,a ∴∈+∞（3）令()()()(1)ln a m x f x g x a x x x=-=---即存在[]01,x e ∈，使得()0000(1)ln 0am x a x x x =---> 即存在[]01,x e ∈，使得()max 0m x >()()()()2222111'1+x a x a x x a a a m x x x x x-+-++-+-=-== i ）当1a ≤时，此时在[]1,x e ∈上，()'0m x ≤，()m x 单减 ()()max 110m x m a ∴==-->，即1a <-，满足题意.ii ）当1a e <<时，此时在[]1,x a ∈上，()'0m x >，()m x 单增 在[],x a e ∈上，()'0m x <，()m x 单增.()()()max 1ln 1m x m a a a a ∴==---1a e <<0ln 1a ∴<< 即()11ln 12a a a a --<---<-()()max 0m x m a ∴=<，不满足题意.iii ）当a e ≥时， 此时在[]1,x e ∈上，()'0m x ≥，()m x 单增()()max10a m x m e a e e ∴==--->，解得21e ea e +>-，满足题意.综上所述：2(,1),1e e a e ⎛⎫+∈-∞-⋃+∞⎪-⎝⎭【点睛】此题考查了函数的极值，含参单变量函数任意，存在性条件最值问题，主要用到的分类讨论的思想方法，属于较难题目.20. 给定数列{}n P ，若*,m n N ∀∈，且m n ≠，mn P P +是数列{}n P 的项，则称数列{}n P 为“C 数列”.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n N ∀∈，都有()12n n n a a S +=. （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若数列{}n a 为“C 数列”，13a =，*2a N ∈，且23a >，求2a 所有的可能值；（3）若n S 也是数列{}n a 的项，求证：数列{}n a 为“C 数列”. 【答案】（1）证明见解析；（2）4或6；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知得()12n n S n a a =+，()()+11+12+1n n S n a a =+，两式相减得：1112(1)n n n a a n a na ++=++-，112(1)n n n a a na n a -=+--（2n ≥），两式相减得： 112n n n a a a -+=+，可得证；（2）由（1）得数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ,可得12336a a d d +=++=+，32n d-=，讨论d 的所有可能的值可得2a 所有的可能值； （3）由已知得当1n =时，11a S =显然成立，当2n ≥时，设1,n k n m S a S a -==，相减得n k m a a a =-，即m n k a a a +=，由等差数列的定义可得证.【详解】（1）证明：当1n =时，()1111112a a a S a +==⨯=，成立，又()12n n n a a S +=， 所以()12n n S n a a =+，()()+11+12+1n n S n a a =+，两式相减得：()1112(1)n n n n S S a n a na ++-=++-，即1112(1)n n n a a n a na ++=++-，112(1)n n n a a na n a -=+--（2n ≥），两式相减得：()112(1)(1)n n n n a n a a -+-=-+，即112n n n a a a -+=+，所以数列{}n a 为等差数列；（2）由（1）得数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ,由数列{}n a 为“C 数列”，13a =，*2a N ∈，且23a >，得12336a a d d +=++=+，所以63(1)d n d +=+-， 所以 32n d-=，又n *∈N ，所以221,5,4;3,3,6d n a d n a ======， 所以2a 所有的可能值为4或6；（3）因为n S 也是数列{}n a 的项，当1n =时，11a S =显然成立，当2n ≥时，设1,n k n m S a S a -==，相减得n k m a a a =-，即m n k a a a +=， 又,,m n k N *∈，所以数列{}n a 为“C 数列”.【点睛】本题考查数列的新定义，关键在于理解数列的新定义和运用等差数列的定义、通项与前n 项和的关系，得出递推关系式，属于难题.数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 选修4-2：矩阵与变换21. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221x y +=.设变换1T 、2T 对应的矩阵分别为1011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1002N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求曲线1C 在依次实施变换下1T 、2T 后所得曲线2C 的方程.【答案】22844x y xy +-=【解析】 【分析】根据题中所给的条件，首先求得2210MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，之后应用变换公式求得结果. 【详解】因为1011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1002N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以2210MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 设(,)x y 是圆1C ：221x y +=上的任意一点，两次变换后对应的点为(',')x y ，所以'0'221x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以''22x x y x y =⎧⎨=+⎩，所以''2'2x x y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩， 因为221x y +=，所以22'2''()12y x x -+=，整理得228''4''4x y x y +-=， 曲线1C 在依次实施变换下1T 、2T 后所得曲线2C 的方程为22844x y xy +-=.【点睛】该题考查的是有关矩阵的问题，涉及到的知识点有曲线经过变换之后对应方程的求解，属于简单题目.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lsin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求直线l 被曲线C 截得的弦长. 【答案】247【解析】 【分析】分别写出曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程，然后联立方程并使用韦达定理，最后根据弦长公式进行计算即可.【详解】由题可知：曲线C的参数方程为2cos x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）则曲线C 的普通方程为22143x y +=直线lsin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos 1ρθρθ-=，由sin ,cos ρθρθ==y x 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+= 设两交点分别为()()1122,,,A x y B x y222107880143x y x x x y -+=⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩ 则121288,77x x x x +=-=-故所求弦长247==AB故答案为：247【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程以及普通方程的转化，还考查了直线与椭圆的弦长公式，熟练参数方程、极坐标方程以及普通方程的转化过程，属基础题. 选修4-5：不等式选讲23. 设x ，y ，z 均为正实数，且4xyz =，求证：33311116xy yz zx x y y z z x ++++≥ . 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由基本不等式+a b ≥.【详解】因为x ，y ，z 均为正实数，且4xyz =，所以31682xy yz x y x+≥==（当且仅当24x y =，即x z =时取等号），31682yz xz y z y +≥==（当且仅当24y z =，即x y =时取等号），31682xz xy z x z+≥==（当且仅当24z x =，即y z =时取等号）， 所以333161616+++2+2+2xy yz xz yz xz xy x y y z z x⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（当且仅当x y z ==取等号）， 所以33311116xy yz zxx y y z z x ++++≥，当且仅当x y z ==取等号. 【点睛】本题考查运用基本不等式证明不等式，关键在于构造基本不等式和满足基本不等式的条件，属于中档题.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 24. 抛物级22(0)x py p =>的焦点F 到直线2py =-的距离为2. （1）求抛物线的方程；（2）设直线1y kx =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，分别过A ，B 两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P ，求证：PF AB ⊥ . 【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义求出p 即可得出结论；（2）联立直线和抛物线的方程，得出韦达定理，设切线PA 的斜率为PA k ，切线PB 的斜率为PB k ，点P 坐标为(),m n ，利用已知条件对函数214y x =求导得出切线的斜率，写出切线方程，求出两切线的交点坐标，利用1PF AB k k ⋅=-，即可得出结论.【详解】（1）由题意知：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则焦点F 到直线2py =-的距离为：222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭， 所以抛物线的方程为：24x y =； （2）证明：把直线1y kx =+代入24x y =消y 得：2440x kx --=，又216160k ∆=+>，利用韦达定理得121244x x kx x +=⎧⎨⋅=-⎩，由题意设切线PA 的斜率为PA k ，切线PB 的斜率为PB k ，点P 坐标为(),m n ， 由（1）可得：214y x =， 则12y x '=， 所以1211,22PA PB k x k x ==，则切线PA 的方程为：()112y n x x m -=-，切线PA 的方程为：()212y n x x m -=-， 则()()()()1112221212y n x x m i y n x x m ii ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，()()i ii -利用韦达定理化简整理得：2m k =，把2m k =代入()i 整理得：2221222211111111221211111114414444x xy y n x kx x x x x x x x x x x --=-+=-+=-+==---，则()()2,1,0,1P k F -，()11102PF AB k k k k--⋅=⨯=--，则PF AB ⊥【点睛】本题主要考查了利用定义求抛物线的方程，直线与抛物线应用.做这道题的时候要注意，利用韦达定理，得出两根的关系，设出两切线的交点，认真计算.属于中档题. 25. 设集合{}()*1,2,3,,N ,2S n n n =∈≥，A 、B 是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最大数不大于集合B 中的最小数，记满足条件的集合对(),A B 的个数为n P . （1）求2P 的值； （2）求n P 的表达式.【答案】（1）25P =；（2）()121nn P n =-+.【解析】 【分析】（1）当2n =时，{}1,2S =，对集合A 中的最大元素进行分类讨论，确定对应集合B ，可求得2P 的值；（2）设集合A 中的最大元素为k ，确定集合A 、B 的情况，可得集合(),A B 共有()11122122k n k n k --+--=-对，由此能求出n P .【详解】（1）当2n =时，{}1,2S =.若{}1A =，则B 的可能情况为：{}1、{}2、{}1,2； 若{}2A =或{}1,2，则{}2B =. 综上所述，25P =；（2）若集合A 中的最大元素为k ，则集合A 的其余元素可在1、2、、1k -中任取若干个（包含不取），此时，集合A 的个数为集合{}1,2,,1k -的子集个数12k -，集合B 中的元素只能在k 、1k +、2k +、、n 中任取若干个（至少取一个），此时，集合B 的个数为集合{},1,2,,k k k n ++的真子集个数121n k -+-，所以，(),A B 的个数为()11122122k n k n k --+--=-，当k 依次取1、2、3、、n 时，可分别得到集合对(),A B 的个数，因此，()()()()()0121212222222221222n n n n n n n n P n --=-+-+-++-=⋅-++++()()112212112n n n n n ⨯-=⋅-=-+-.【点睛】本题考查集合子集和真子集个数公式的应用，同时也考查了等比数列求和，考查计算能力，属于中等题.。
