高一数学人教a版必修2课件：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
Байду номын сангаас
问题：平面中不重合的两条直线有哪几种 位置关系？
空间中的两条直线呢？ 相交、平行、异面
立交桥
立交桥
1、异面直线的概念
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异
面直线。
注：概念应理解为: “经过这两条直线无法作出一个平面” . “不可能找到一个平面同时经过这两条直线”．
练习
如图，已知 AB长 CA D 方 BC体 D中， AB2 3,AD 2 3,AA2.
(1)BC和AC所成的角是多少度？ （2）AA和BC所成的角是多少度？
答案：
（1）45° （2）60°
如图，在四面体ABCD中，E，F分
别是棱AD，BC上的点,且 AE BF 1 已知AB=CD=3，EF 3 ,求E异D面直FC线A2B和
角(或直角)叫做异面直线所成的角。
如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条 直线互相垂直。b
a
a'

O
记作：ab

异面直线所成的角的范围( 0o , 90o ]
例、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中。 （1）直线BA' 和CC' 的夹角是多少？ （2）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？
CD所成的角.
A
E
M
D
B
F
C
异面直线所成角的求法：
一作(找)、二证、三求 (1)通过直线平移，作出异面直线 所成的角，把空间问题转化为 平面问题. (2)利用平面几何知识， 求出异面直线所成角的大小.
课堂小结
这节课我们学习了 （1）异面直线 （2）空间中两条直线的位置关系 （3）平行公理、等角定理 （4）异面直线所成角的定义、范围及计算

假设 条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛
法 盾，从而断定假设“两条直线不是异面直线”是错误的，进而得
出结论：这两条直线是异面直线
3.公理 4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相 平行
图形语言
符号语言 直线 a，b，c，a∥b，b∥c⇒ a∥c
作用 证明两直线平行 公理 4 表述的性质通常叫做空间平行线的
③两直线平行同位角 相等 ，内错角相等 ，同旁内角互补．
④两直线平行分线段成比例如，在△ABC 中 DE∥BC，交
AB 于点 D，AC 于点 E，则DADB＝EACE.
新课引入
鲁迅先生说过：世间本无路，走的人多了便成了路．一开 始只有一条路，车多了，速度快了，就修两条平行的路；为了 解决交叉路口的速度与安全问题，人们又修了立交桥．如果将 路想象成直线，那么这里面有什么数学思想呢？本节，我们一 起研究一下——空间直线与直线之间的位置关系．
如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，判断下列直线 的位置关系：
(1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系________； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________； (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________．
[规律](1)判断两直线平行、相交可用平面几何中的定义和 方法．
(2)判断异面直线的方法有如下几种
方法
内容
定义 依据定义判断两直线不可能在同一个平面内
法
定理 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为
法 异面直线(此结论可作为定理使用)
即假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两

2019/8/29
最新中小学教学课件
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⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/
空间中直线与直线的位置关系
教材研读
A. 研读教材P44-P45 1. 空间两直线有怎样的位置关系？ 2. 完成P44观察及P45探究部分，体会
直线位置关系
B. 研读教材P45-P47 1. P45平行公理及其作用
B. 研读教材P45-P47 2. P46等角定理及其作用
B. 研读教材P45-P47 3. P48理解异面直线a与b所成的角(或夹角) (1) 如何得到异面直线a与b所成的角？ (2) 如何定义异面直线a与b所成的角？ (3) 如何定义异面直线ab? (4) 完成P47探究部分，体会异面直线相关概念．
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
学法小结
1. 空间两直线的位置关系； 2. 平行公理与等角定理； 3. 异面直线所成的角(或夹角)的定义； 4. 求异面直线所成的角(或夹角)的方法．
[例题精析]

观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？
abcde
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． ———平行线的传递性
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
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在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
注意：在不同平面内的两条直线不一定异面
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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
按平面基本性质分
同在一个平面内
相交直线 平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线
按公共点个数分
有一个公共点: 相交直线
平行直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托.
H
∵HD ∥= EA，EA∥= FB ∴HD∥= FB
E
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD
∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角 O
连接HA、AF，则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△
依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30o
D
所以FO与BD所成的夹角是30o
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A
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A1 D
B1 C
A
B
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
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3.异面直线所成的角
(1)复习回顾
在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图.
(2)问题提出