13六年级奥数专题十三:立体图形(1)
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六年级奥数专题十三:立体图形(1)
关键词:正方长方立体图形正方体长方体表面积奥数表面共有
我们学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。这一讲将通过长方体、正方体及其组合图形,讲解有关的计数问题。
例1 左下图中共有多少个面?多少条棱?
分析与解:如右上图所示,可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形。
前、后看各有1个面,左面看有1个面,右面看有2个面,上面看有2个面,下面看有1个面。所以共有
1+1+1+2+2+1= 8(个)面。
前后方向的棱有6条,左右方向的棱有6条,上下方向的棱也有6条,所以共有棱6+6+6=18(条)。
例2 右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的,求它的表面积。
分析与解:如果一面一面去数,那么虽然可以得到答案,但太麻烦,而且容易出错。仔细观察会发现,这个立体的上面与下面、左面与右面、前面与后面的面积分别相等。
如上图所示,可求得表面积为
(9+7+8)×2=48(厘米2)。
例3 右图是由22个小正方体组成的立体图形,其中共有多少个大大小小的正方体?由两个小正方体组成的长方体有多少个?
分析与解:正方体只可能有两种:
由1个小正方体构成的正方体,有22个;
由8个小正方体构成的2×2×2的正方体,有4个。
所以共有正方体22+4=26(个)。
由两个小正方体组成的长方体,根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种,其中上下位有13个,左右位有13个,前后位有14个,共有13+13+14=40(个)。
例4 有一个棱长为5厘米的正方体木块,从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(见下页左上图),求这个立体图形的表面积。
分析与解:由于正方体中间被穿了孔,表面积不好计算。我们可以将这个立体图形看成由8个棱长为2厘米的正方体和12个棱长为1厘米的立方体粘合而成。如右上图所示,八个棱长为2厘米的正方体分别在8个顶角,12个棱长1厘米的正方体分别在12条棱的中间。由于每个小正方体都有2个面分别粘接两个较大正方体,相对于不粘接,减少了表面积4厘米2 ,所以总的表面积为
(2×2×6)×8+(1×1×6)×12-4×12=216(厘米2)。
例5 右图是由120块小立方体构成的4×5×6的立方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块?
分析与解:一个长方体有8个角、12条棱、6个面,角上的8个小立方体三面涂有红色,在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色,在面上而不在棱上的小立方体一面涂有红色,不在面上的小立方体没有涂上红色。
根据上面的分析得到:
三面涂有红色的小立方体有8块;
两面涂有红色的小立方体,因为每条棱上要去掉两头的2块,故有[(4-2)+(5-2)+(6-2)]×4=36(块);
一面涂有红色的小立方体,因为每个面上要去掉周围一圈的小立方体,故有
[(4-2)×(5-2)+(4-2)×(6-2)+(5-2)×(6-2)]×2=52(块)。
一般地,当a,b,c都不小于2时,对于a×b×c的立方体:
三面涂有红色的小立方体有8块;
两面涂有红色的小立方体的块数是:
[(a-2)+(b-2)+(c-2)]×4;
一面涂有红色的小立方体的块数是:
[(a-2)×(b-2)+(a-2)×(c-2)+(b-2)×(c-2)]×2;
没有被涂上红色的小立方体的块数是:
(a-2)×(b-2)×(c-2)。
例6 给一个立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种,每种颜色涂两个面,共有多少种不同涂法?(两种涂法,经过翻动能使各种颜色的位置相同,认为是相同的涂法。)
分析与解:根据两个红色面相对还是相邻可分为两情况。
(1)两个红色面相对。此时,有蓝蓝相对和蓝蓝相邻两种涂法。
(2)两个红色面相邻。此时,除蓝蓝相对和黄黄相对两种涂法外,当蓝黄相对时,按右图摆放,底面有蓝或黄两种涂法。
所以共有6种不同涂法。
练习13
1.下页左上图中共有多少个面?多少条棱?
2.有30个边长为1米的正方体,在地面上摆成右上图的形式,然后把露出的表面涂成红色。求被涂成红色的表面积。
3.有一个正方体,红、黄、蓝色的面各有两面。在这个正方体中,有一些顶点是三种颜色都不同的面的交点,这种顶点最多有几个?最少有几个?
4.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1厘米3 的小正方体,其中一点红色都没有的小立方体只有3块。求原来长方体的体积。
5.将一个5×5×5的立方体表面全部涂上红色,再将其分割成1×1×1的小立方体,取出全部至少有一个面是红色的小立方体,组成表面全部是红色的长方体。那么,可组成的长方体的体积最大是多少?
6.在边长为3分米的立方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞,洞口呈边长为1分米的正方形(见左下图)。求挖洞后木块的体积及表面积。
7.把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形(右上图)。用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形,要求有公共边的正方形染不同的颜色,那么,用红色染的正方形最多有多少个?