初中数学《一元二次方程》全章讲义
内容简介：1. 了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式：2
0(0)ax bx c a ++=≠.
2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用.
3. 掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解
相应问题.4. 掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题.5. 会解一元二次方程应
用题. 知识点一：一元二次方程的定义及一般形式
【知识要点】
一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ()()12132+=+x x
B 02112=-+x x
C 02=++c bx ax
D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x
m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习：
1、方程782
=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
知识点二：一元二次方程的解
【知识要点】
1、 当已知一元二次方程的一个根时，要熟练地将这个根代入原方程，并灵活运用得到的等式。
2、 在2
0(0)ax bx c a ++=≠中，x 取特殊值时，a 、b 、c 之间满足的关系式。
例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422
2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582
=+-m x x 的两个根，则m 的值为 。
针对练习：
1、已知方程0102
=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 2、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2
。 3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622
。 4、方程()()02
=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a -
5、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。
知识点三：一元二次方程的解法
【知识要点】
一元二次方程的常用解法有（1）直接开平方法，（2）配方法，（3）求根公式法，（4）因式分解
法。
通常可以这样选择合适的解法：
（1）当方程一边为含有未知数的完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法。
（2）当方程的一边为0，而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时，运用因式分解法
求解。
（3）当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法。
（4）当不便用上面三种方法时，就用求根公式法。
例1、解方程：();08212=-x ()();09122
=--x
例2、若()()2
221619+=-x x ，则x 的值为 。 例3、()()3532-=-x x x 的根为（ ）
A 25=x
B 3=x
C 3,2
521==x x D 52=x 例4、若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。
变式1：()()
=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。 变式2：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。
变式3：若142=++y xy x ，282
=++x xy y ，则x+y 的值为 。
例5、方程062=-+x x 的解为（ ）
A.2321=-=，x
x B.2321-==，x x C.3321-==，x x D.2221-==，x x
针对练习：
1、若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ）
A 、-1或-2
B 、-1或2
C 、1或-2
D 、1或2 2、方程：2122
=+x
x 的解是 。 3．解方程：12244212=-+-++x x x x
知识点四：配方法运用
【知识要点】
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
例：用配方法解24610x x -+=
第一步，将二次项系数化为1：231024x x -
+=，（两边同除以4） 第二步，移项： 23124
x x -=- 第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：2223313()()2444x x -
+=-+ 第四步，完全平方：23
5()416
x -= 第五步，直接开平方：3544x -
=±，即:15344x =++,25344x =-+ 例1、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0，47102-+-x x 的值恒小于0。
例2、已知x 、y 为实数，求代数式7422
2+-++y x y x 的最小值。
例3、已知，x、y y x y x 013642
2=+-++为实数，求y x 的值。
变式：已知04112
2=---+
x x x x ，则=+x x 1 .
