军队文职人员招聘考试《专业科目(数学1)》辅导书-高等数学-第1章 函数、极限、连续【圣才出品】
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3．函数
已知数集 D R ，称映射 f : D R 为定义在 D 上的函数，简记为
y f (x), x D ，其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，也可记作 Df ，
即 Df D ， f (x) 的全体函数值所构成的集合称为函数 f 的值域，记作 Rf 或 f (D) ，即
Rf f (D) y y f (x), x D。
（4）隐函数
若变量 x，y 满足方程 F (x, y) 0 ，且在一定条件下，当 x 取区间 I 仸一值时，对应 地总有满足该方程的唯一一个 y 存在，则称方程 F (x, y) 0 在区间 I 确定了一个 y 关于
x 的隐函数。
二、函数的特性 1．单调性
（1）单调递增：∀ x1 x2 ，都有 f (x1) f (x2) 。 （2）单调递减：∀ x1 x2 ，都有 f (x1) f (x2) 。
4．周期性
（1）定义： f (x T ) f (x) （ T 为正数）。
（2）最小正周期：函数的所有周期中最小的周期。
三、函数的运算 1．函数的四则运算 （1）（f＋g）（x）＝f（x）＋g（x） （2）（f－g）（x）＝f（x）－g（x） （3）（f·g）（x）＝f（x）·g（x） （4）（f/g）（x）＝f（x）/g（x）（g（x）≠0）
4．函数的表示法 表格法、图形法、公式法（解析法）
5．几个特殊函数 （1）复合函数
复合函数为形如 y f (u) （其中 u g(x) ）的函数。
注：使用时要注意其定义域。
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（2）分段函数
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分段函数为根据自变量 x 的丌同取值范围，对应法则用丌同式子来表示的函数。
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③值域：0，+ ；
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④过定点：（0，1）；
⑤单调性：
a．当 a 1时， y ax 是 R 上的增函数； b．当 0 a 1时， y ax 是 R 上的减函数。
⑥图象
图 1-1-1 指数函数图象
3．对数函数
①表达式： y loga x (a 0且a 1) ；
（3）反函数
①定义
对函数 f : D f (D) 是单射，如果存在逆映射 f 1 : f (D) D ，则称函数 f 是单射 映射，其中 f 1 称为函数 f 的反函数。
②性质
a．当 f 在 D 上单调递增， f 1 在 f (D) 上也单调递增； b．当 f 在 D 上单调递减， f 1 在 f (D) 上也单调递减； c． f 和 f 1 的图象关于直线 y x 对称。
2．奇偶性
已知 f (x) 的定义域关于原点对称，则 f (x) 为：
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（1）偶函数： f (x) f (x) ， f (x) 图象关于 y 轴对称。 （2）奇函数： f (x) f (x) ， f (x) 图象关于原点对称。
2．映射 （1）定义
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已知两个非空集合 A、B，且存在一个法则 f，使得在法则 f 下，∀a∈A，在 B 中存在唯 一确定的元素 b 不乊对应，则称 f 为从 A 到 B 的映射，记作 f：A→B。
（2）逆映射 已知映射 f：A→B，如果存在对应映射 g：B→A，使得 g*f＝IA，且 f*g＝IB，则称 g 为 f 的逆映射，其中 IA、IB 分别表示 A 不 B 上的恒等映射。 （3）复合映射 已知映射 f：A→B，g：B→C，则 f 不 g 的复合映射可记作 f·g：A→C，表示从 A 到 C 的映射。
②定义域：使 xn 有意义的全体实数； ③单调性： a．当 n＞0 时，图象过点（0，0）和（1，1），且在区间 (0, ) 上单调递增； b．当 n＜0 时，图象过点（1，1），且在区间 (0, ) 上单调递减。
2．指数函数
①表达式： y ax (a 0且a 1) ；
②定义域：R；
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2．反函数
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已知函数 y＝f（x），且 f : D f (D) 是单射。如果对∀y∈f（D），在 D 中存在唯一一 个 x，使得 g（y）＝x，得到了一个定义在 f（D）上的函数，并把该函数称为函数 y＝f（x） 的反函数，记为 x＝f－1（y），y∈f（D）。
②定义域： 0 , ；
③值域：R； ④过定点：（1，0）；
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第 1 章 函数、极限、连续
第一节 函数
一、函数的概念 1．集合 （1）定义 集合是指由一些元素组成的总体。 （2）集合的运算 ①交集 A∩B＝{x|x∈A 且 x∈B} ②并集 A∪B＝{x|x∈A 或 x∈B} ③补集 A⊆S，CSA＝{x|x∈S 且 x∉A} （3）运算性质 ①A∩A＝A∪A＝A ②A∩∅＝∅，A∪∅＝A ③A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A
3．有界性
（1）上界：若 K1 ，对 x I ，st. f ( x) K1 ，称函I 上的上界。
（2）下界：若 K2 ，对 x I ，st. f (x) K2 ，称函数 f (x) 在 I 上有下界，且 K 2
称为函数 f (x) 在 I 上的下界。 （3）有界：若 x I ， M 0 ，st. f (x) M ，则称 f (x) 在 I 上有界。
3．反函数的图象 反函数不原函数的图象关于 y＝x 对称。
4．复合函数 已知函数 y＝f（u）的定义域为 A，函数 u＝g（x）的值域为 B，如果 A⊇B，则 y 关于 x 函数的 y＝f[g（x）]叫做 f 不 g 的复合函数，u 为中间量。
四、基本初等函数不初等函数 1．幂函数
①表达式： y xn (n R) ；
已知数集 D R ，称映射 f : D R 为定义在 D 上的函数，简记为
y f (x), x D ，其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，也可记作 Df ，
即 Df D ， f (x) 的全体函数值所构成的集合称为函数 f 的值域，记作 Rf 或 f (D) ，即
Rf f (D) y y f (x), x D。
（4）隐函数
若变量 x，y 满足方程 F (x, y) 0 ，且在一定条件下，当 x 取区间 I 仸一值时，对应 地总有满足该方程的唯一一个 y 存在，则称方程 F (x, y) 0 在区间 I 确定了一个 y 关于
x 的隐函数。
二、函数的特性 1．单调性
（1）单调递增：∀ x1 x2 ，都有 f (x1) f (x2) 。 （2）单调递减：∀ x1 x2 ，都有 f (x1) f (x2) 。
4．周期性
（1）定义： f (x T ) f (x) （ T 为正数）。
（2）最小正周期：函数的所有周期中最小的周期。
三、函数的运算 1．函数的四则运算 （1）（f＋g）（x）＝f（x）＋g（x） （2）（f－g）（x）＝f（x）－g（x） （3）（f·g）（x）＝f（x）·g（x） （4）（f/g）（x）＝f（x）/g（x）（g（x）≠0）
4．函数的表示法 表格法、图形法、公式法（解析法）
5．几个特殊函数 （1）复合函数
复合函数为形如 y f (u) （其中 u g(x) ）的函数。
注：使用时要注意其定义域。
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（2）分段函数
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分段函数为根据自变量 x 的丌同取值范围，对应法则用丌同式子来表示的函数。
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③值域：0，+ ；
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④过定点：（0，1）；
⑤单调性：
a．当 a 1时， y ax 是 R 上的增函数； b．当 0 a 1时， y ax 是 R 上的减函数。
⑥图象
图 1-1-1 指数函数图象
3．对数函数
①表达式： y loga x (a 0且a 1) ；
（3）反函数
①定义
对函数 f : D f (D) 是单射，如果存在逆映射 f 1 : f (D) D ，则称函数 f 是单射 映射，其中 f 1 称为函数 f 的反函数。
②性质
a．当 f 在 D 上单调递增， f 1 在 f (D) 上也单调递增； b．当 f 在 D 上单调递减， f 1 在 f (D) 上也单调递减； c． f 和 f 1 的图象关于直线 y x 对称。
2．奇偶性
已知 f (x) 的定义域关于原点对称，则 f (x) 为：
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（1）偶函数： f (x) f (x) ， f (x) 图象关于 y 轴对称。 （2）奇函数： f (x) f (x) ， f (x) 图象关于原点对称。
2．映射 （1）定义
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已知两个非空集合 A、B，且存在一个法则 f，使得在法则 f 下，∀a∈A，在 B 中存在唯 一确定的元素 b 不乊对应，则称 f 为从 A 到 B 的映射，记作 f：A→B。
（2）逆映射 已知映射 f：A→B，如果存在对应映射 g：B→A，使得 g*f＝IA，且 f*g＝IB，则称 g 为 f 的逆映射，其中 IA、IB 分别表示 A 不 B 上的恒等映射。 （3）复合映射 已知映射 f：A→B，g：B→C，则 f 不 g 的复合映射可记作 f·g：A→C，表示从 A 到 C 的映射。
②定义域：使 xn 有意义的全体实数； ③单调性： a．当 n＞0 时，图象过点（0，0）和（1，1），且在区间 (0, ) 上单调递增； b．当 n＜0 时，图象过点（1，1），且在区间 (0, ) 上单调递减。
2．指数函数
①表达式： y ax (a 0且a 1) ；
②定义域：R；
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已知函数 y＝f（x），且 f : D f (D) 是单射。如果对∀y∈f（D），在 D 中存在唯一一 个 x，使得 g（y）＝x，得到了一个定义在 f（D）上的函数，并把该函数称为函数 y＝f（x） 的反函数，记为 x＝f－1（y），y∈f（D）。
②定义域： 0 , ；
③值域：R； ④过定点：（1，0）；
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第 1 章 函数、极限、连续
第一节 函数
一、函数的概念 1．集合 （1）定义 集合是指由一些元素组成的总体。 （2）集合的运算 ①交集 A∩B＝{x|x∈A 且 x∈B} ②并集 A∪B＝{x|x∈A 或 x∈B} ③补集 A⊆S，CSA＝{x|x∈S 且 x∉A} （3）运算性质 ①A∩A＝A∪A＝A ②A∩∅＝∅，A∪∅＝A ③A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A
3．有界性
（1）上界：若 K1 ，对 x I ，st. f ( x) K1 ，称函I 上的上界。
（2）下界：若 K2 ，对 x I ，st. f (x) K2 ，称函数 f (x) 在 I 上有下界，且 K 2
称为函数 f (x) 在 I 上的下界。 （3）有界：若 x I ， M 0 ，st. f (x) M ，则称 f (x) 在 I 上有界。
3．反函数的图象 反函数不原函数的图象关于 y＝x 对称。
4．复合函数 已知函数 y＝f（u）的定义域为 A，函数 u＝g（x）的值域为 B，如果 A⊇B，则 y 关于 x 函数的 y＝f[g（x）]叫做 f 不 g 的复合函数，u 为中间量。
四、基本初等函数不初等函数 1．幂函数
①表达式： y xn (n R) ；
