(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题2.9 幂函数、指数函数与对数函数(讲)

1. 【2017山东改编，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 【答案】(][)0,13,+∞2. 【2017天津改编，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数， ()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为【答案】b a c <<【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<．3. 【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________. 【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭4. 【2017北京，理13】能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________．【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）5. 【2017山东，理15】若函数()x e f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+【答案】①④6. 【2017北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.【答案】1Q ；2.p【解析】7. 【2017浙江，17】已知αR ，函数a a xx x f +-+=|4|)(在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________． 【答案】9(,]2-∞ 【解析】8【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数的取值范围是 ▲ .【答案】1[1,]2-9. 【2017江苏，14】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ . 【答案】810.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， 0<x ≤10，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．【答案】(25,34)【解析】令－12x ＋6＝0，得x ＝12.因为a ，b ，c 互不相等，令a<b<c ，作出f(x)的图像，如图所示．令f(a)＝f(b)＝f(c)＝t ，则根据图像可得1<a<10，b ＋c ＝2×12＝24，故a ＋b ＋c∈(25,34)．11.偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在x ∈[0,4]上解的个数是________． 【答案】4【解析】由f(x －1)＝f(x ＋1)可知T ＝2.∵x∈[0,1]时，f(x)＝x ，又∵f(x)是偶函数，∴可得图像如图．∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在x ∈[0,4]上解的个数是4个．12.已知函数f (x )＝2x(x ∈R )，且f (x )＝g (x )＋h (x )，其中g (x )为奇函数，h (x )为偶函数．若不等式2ag (x )＋h (2x )≥0对任意x ∈[1,2]恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1712，＋∞13.如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x 的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.14.已知函数f (x )＝a log 2x －b log 3x ＋2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＝4，则f (2 014)的值为________．【答案】0【解析】令g (x )＝f (x )－2＝a log 2x －b log 3x ，可得g (x )满足g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－g (x )．所以由g ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014－2＝2，得g (2 014)＝－2，所以f (2 014)＝0.。

【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 若函数f (x )＝x 2－x ＋a 存在两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】Δ＝1－4a >0，解得a <14.2．[教材改编] 函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是________． 【解析】易知函数f (x )单调递增，且f (2)<0，f (3)>0，故存在唯一的零点． 3．[教材改编] 函数f (x )＝x 3－2x 2＋x 的零点是________．【解析】 解方程x 3－2x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝1，所以函数的零点是0和1.题组二 常错题4．(1)函数f (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上存在零点，则实数a 的取值范围是________； (2)函数f (x )＝x 2－1在区间(－2，2)上零点的个数为________．5．若二次函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在区间(0，4)上存在零点，则实数m 的取值范围是________． 【解析】二次函数图像的对称轴方程为x ＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f (1)≤0且f (4)>0即可，即－1＋m ≤0且8＋m >0，解得－8<m ≤1.6．若二次函数f (x )＝x 2＋kx ＋k 在R 上无零点，则实数k 的取值范围是________． 【解析】Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4.题组一 常考题7．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是________． ①y ＝e x 2；②y ＝x 2＋1；③y ＝sin x ；④y ＝cos x ； ⑤y ＝ln |x |.【解析】y ＝e x 2，y ＝x 2＋1是偶函数，但没有零点；y ＝sin x 是奇函数，有零点；y ＝cosx ，y ＝ln |x |是偶函数，且有零点．8．函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2－x 2的零点个数为________.【知识清单】1．函数零点所在区间的判定1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2 判断函数零点个数函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：(1)令f(x)＝0；(2)构造y1＝f1(x)，y2＝f2(x)；(3)作出y1，y2图像；(4)由图像交点个数得出结论．3 函数零点的应用函数零点与函数交点关系【考点深度剖析】1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，易误认为函数图像与x轴的交点．2．由函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0，所以f (a )·f (b )<0是y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要条件．【重点难点突破】考点1 函数零点所在区间的判定【1-1】函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为_________． 【答案】(1,2)．【1-2】函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(0,3)【解析】由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3. 【思想方法】函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【温馨提醒】函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，不要误为函数上的点． 考点2 判断函数零点个数【2-1】函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为______个．【答案】2【解析】令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．【2-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是_____【答案】4【思想方法】(1)等价转化思想． (2)数形结合思想【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质考点3 函数零点的应用【3-1】若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0【解析】令g (x )＝x ln x ，h (x )＝a ，则问题可转化成函数g (x )与h (x )的图像有两个交点．g ′(x )＝ln x ＋1，令g ′(x )<0，即ln x <－1，可解得0<x <1e；令g ′(x )>0，即ln x >－1，可解得x >1e ，所以，当0<x <1e 时，函数g (x )单调递减；当x >1e时，函数g (x )单调递增，由此可知当x＝1e 时，g (x )min ＝－1e .在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的简图如图所示，据图可得－1e <a <0.【3-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤49，1【思想方法】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质【易错试题常警惕】函数在区间上有零点求参数问题，一定要注意变量或参数的取值范围．A B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．【分析】A B ≠∅，∴方程组212y x y x mx =+⎧⎨=++⎩，[]0,2x ∈，即函数()()211f x x m x =+-+在[]0,2有零点．()010f =>，当()20f ≤，显然AB ≠∅成立．∴实数m 的取值范围是【易错点】忽略变量或参数的取值范围，导致条件不是等价变换．【练一练】函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.【答案】 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞。

【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 若函数f (x )＝x 2－x ＋a 存在两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】Δ＝1－4a >0，解得a <14.2．[教材改编] 函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是________． 【解析】易知函数f (x )单调递增，且f (2)<0，f (3)>0，故存在唯一的零点． 3．[教材改编] 函数f (x )＝x 3－2x 2＋x 的零点是________．【解析】 解方程x 3－2x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝1，所以函数的零点是0和1.题组二 常错题4．(1)函数f (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上存在零点，则实数a 的取值范围是________； (2)函数f (x )＝x 2－1在区间(－2，2)上零点的个数为________．5．若二次函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在区间(0，4)上存在零点，则实数m 的取值范围是________．【解析】二次函数图像的对称轴方程为x ＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f (1)≤0且f (4)>0即可，即－1＋m ≤0且8＋m >0，解得－8<m ≤1.6．若二次函数f (x )＝x 2＋kx ＋k 在R 上无零点，则实数k 的取值范围是________． 【解析】Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4.题组一 常考题7．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是________． ①y ＝e x 2；②y ＝x 2＋1；③y ＝sin x ；④y ＝cos x ； ⑤y ＝ln |x |.【解析】y ＝e x 2，y ＝x 2＋1是偶函数，但没有零点；y ＝sin x 是奇函数，有零点；y ＝cosx ，y ＝ln |x |是偶函数，且有零点．8．函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2－x 2的零点个数为________.【知识清单】1．函数零点所在区间的判定1．函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．2．二分法对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2 判断函数零点个数函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是： (1)令f (x )＝0；(2)构造y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )；(3)作出y 1，y 2图像；(4)由图像交点个数得出结论． 3 函数零点的应用函数零点与函数交点关系【考点深度剖析】1．函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，易误认为函数图像与x 轴的交点． 2．由函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0，所以f (a )·f (b )<0是y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要条件．【重点难点突破】考点1 函数零点所在区间的判定【1-1】函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为_________． 【答案】(1,2)．【1-2】函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(0,3)【解析】由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3. 【思想方法】函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【温馨提醒】函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，不要误为函数上的点． 考点2 判断函数零点个数【2-1】函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为______个． 【答案】2【解析】令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．【2-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是_____【答案】4【思想方法】(1)等价转化思想． (2)数形结合思想【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质 考点3 函数零点的应用【3-1】若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0【解析】令g (x )＝x ln x ，h (x )＝a ，则问题可转化成函数g (x )与h (x )的图像有两个交点．g ′(x )＝ln x ＋1，令g ′(x )<0，即ln x <－1，可解得0<x <1e；令g ′(x )>0，即ln x >－1，可解得x >1e ，所以，当0<x <1e 时，函数g (x )单调递减；当x >1e时，函数g (x )单调递增，由此可知当x＝1e 时，g (x )min ＝－1e .在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的简图如图所示，据图可得－1e <a <0.【3-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤49，1【思想方法】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质【易错试题常警惕】函数在区间上有零点求参数问题，一定要注意变量或参数的取值范围．如：已知集合(){}2,20x y xmx y A =+-+=和(){},10,02x y x y x B =-+=≤≤，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．【分析】A B ≠∅，∴方程组212y x y x mx =+⎧⎨=++⎩，[]0,2x ∈，即函数 ()()211f x x m x =+-+在[]0,2有零点．()010f =>，当()20f ≤，即32m ≤-时，显然AB ≠∅成立．∴实数m 的取值范围是3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【易错点】忽略变量或参数的取值范围，导致条件不是等价变换．【练一练】函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.【答案】 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞。

第二章函数概念与基本初等函数I 2.5 指数与指数函数教师用书理苏教版1.分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1).正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna ＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理数指数幂的运算性质：a s a t＝a s＋t，(a s)t＝a st，(ab)t＝a t b t，其中s，t∈Q，a>0，b>0.2.指数函数的图象与性质y＝a x a>10<a<1图象定义域(1)R 值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0，1)(4)当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数1.指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，(－1，1a).2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)na n＝(na )n＝a .( × )(2)分数指数幂m na 可以理解为m n个a 相乘.( × ) (3)24(1)-＝12(1)-＝－1.( × ) (4)函数y ＝a －x是R 上的增函数.( × ) (5)函数y ＝21x a +(a >1)的值域是(0，＋∞).( × )(6)函数y ＝2x －1是指数函数.( × )1.(教材改编)若函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的图象经过点P (2，12)，则f (－1)＝________.答案2解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝(22)x ，所以f (－1)＝(22)－1＝ 2. 2.(2016·苏州模拟)已知函数f (x )＝a x －2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为________.答案 (2，3)解析 由a 0＝1知，当x －2＝0，即x ＝2时，f (2)＝3，即图象必过定点(2，3).3.已知113344333(),(),()552a b c ---===，则a ，b ，c 的大小关系是______________.答案 c <b <a解析 ∵y ＝(35)x是减函数，11034333()()(),555--∴＞＞即a >b >1，又c ＝343()2-<(32)0＝1，∴c <b <a .4.计算：133()2-×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋148×42________.答案 2解析 原式＝132()3×1＋131344222()3⨯-＝2.5.若函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________. 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.题型一 指数幂的运算 例1 化简下列各式：(1)122.553[(0.064)]-－3338－π0；(2)41233322338(4a a b ab a--÷-+.解 (1)原式＝121553326427{[()]}()110008---1521()33523343[()][()]1102⨯-⨯=--＝52－32－1＝0. (2)原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()a a b a b a a aa ab b a a --⋅÷⨯+⋅+⋅ 51116333111336(2)2a a a a b a ba=-⨯⨯-12233.a a a a =⨯⨯=思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.化简132113321()4(0.1)()a b ---⋅⋅⋅＝________. 答案 85解析 原式＝2×333223322210a b a b--⋅⋅⋅⋅＝21＋3×10－1＝85.题型二 指数函数的图象及应用 例2 已知f (x )＝|2x－1|. (1)求f (x )的单调区间； (2)比较f (x ＋1)与f (x )的大小；(3)试确定函数g (x )＝f (x )－x 2的零点的个数.解 (1)由f (x )＝|2x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，1－2x，x <0可作出函数的图象如图所示.因此函数f (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增.(2)在同一坐标系中，分别作出函数f (x )、f (x ＋1)的图象如图所示.由图象知，当0012112x x +-=-，即x 0＝log 223时，两图象相交，由图象可知，当x <log 223时，f (x )>f (x ＋1)；当x ＝log 223时，f (x )＝f (x ＋1)；当x >log 223时，f (x )<f (x ＋1).(3)将g (x )＝f (x )－x 2的零点个数问题转化为函数f (x )与y ＝x 2的图象的交点个数问题，在同一坐标系中，分别作出函数f (x )＝|2x－1|和y ＝x 2的图象(图略)，有四个交点，故g (x )有四个零点.思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10≤x <1，2x －12x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是______. 答案 [34，2)解析 函数的图象如图所示.因为a >b ≥0，f (a )＝f (b )，所以0.5≤b <1且1.5≤f (a )<2.所以0.75≤bf (a )<2.题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 指数函数单调性的应用例3 (1)(2016·徐州模拟)下列各式比较大小正确的是________. ①1.72.5>1.73;②0.6－1>0.62； ③0.8－0.1>1.250.2;④1.70.3<0.93.1.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.答案 (1)② (2)(－3，1)解析 (1)②中，∵y ＝0.6x是减函数， ∴0.6－1>0.62.(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为(12)a－7<1，即(12)a <8，即(12)a <(12)－3， 所以a >－3.又a <0，∴－3<a <0. 当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1. 所以0≤a <1，综上，a 的取值范围为(－3，1). 命题点2 复合函数的单调性 例4 (1)已知函数f (x )＝|2|2x m －(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________. (2)函数2211()()2xx f x -++=的单调减区间为________________________________________________________________________. 答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减.而y ＝2t为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4].(2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上为减函数，∴函数f (x )＝2211()2x x -++的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间.又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]. 引申探究 函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________.答案 [0，＋∞)解析 设t ＝2x，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x ≥0， ∴函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞).命题点3 函数的值域(或最值)例5 (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3，2]上的值域是________.(2)如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 (2)13或3 解析 (1)因为x ∈[－3，2]，所以若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.(2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1 ＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[1a，a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去). 当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[a ，1a]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a]上单调递增，则y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上，a ＝3或a ＝13.思维升华 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解.(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8，1]，则实数a 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥0，f －x ，x <0，则函数g (x )的最小值是________.答案 (1)[－3，0) (2)0解析 (1)当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8，1]， 当a ≤x ＜0时，f (x )∈[－(12)a，－1)，所以[－12a ，－1)[－8，1]，即－8≤－12a ＜－1，即－3≤a ＜0，所以实数a 的取值范围是[－3，0).(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x－12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x－12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.2.指数函数底数的讨论典例 (2016·南京模拟)已知函数22xxy b a +=+(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52， 则a ，b 的值分别为________.错解展示解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵－32≤x ≤0，∴－1≤t ≤0.∵1a ≤a t ≤1，∴b ＋1a ≤b ＋a t ≤b ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2.答案 2，2现场纠错解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵x ∈[－32，0]，∴t ∈[－1，0].①若a >1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为增函数，∴a t ∈[1a ，1]，22x x b a ++∈[b ＋1a ，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2.②若0<a <1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为减函数，∴a t ∈[1，1a ]，则22x x b a ++∈[b ＋1，b ＋1a ]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝32.综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.答案 2，2或23，32纠错心得 与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论.1.(2016·苏州模拟)设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为________.答案 27解析 ∵2x ＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y ＝3x －9＝32y ，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.2.函数f (x )＝2|x －1|的图象是________.答案 ②解析 ∵|x －1|≥0，∴f (x )≥1，排除③、④.又x ＝1时，|f (x )|min ＝1，排除①.3.已知a ＝40.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.8，则a ，b ，c 的大小关系为__________.答案 a >b >c解析 由0.2<0.8，底数0.4<1知，y ＝0.4x 在R 上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b >c . 又a ＝40.2>40＝1，b ＝0.40.2<1，所以a >b ，综上，a >b >c .4.已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为__________. 答案 [1，9]解析 由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2，4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.5.(2015·山东改编)若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为__________.答案 (0，1)解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x＋12x －a，整理得(a －1)(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3， 当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解.∴x 的取值范围为(0，1).6.(2016·浙江改编)已知函数f (x )满足f (x )≥2x ，x ∈R .若f (a )≤2b，则a ，b 的大小关系为________.答案 a ≤b解析 依题意得f (a )≥2a ，若f (a )≤2b ，则2a ≤f (a )≤2b ，∴2a ≤2b ，又y ＝2x 是R 上的增函数，∴a ≤b . 7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1，x <1，13x ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________. 答案 (－∞，8]解析 当x <1时，由ex －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1时恒成立； 当x ≥1时，由13x ≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.8.若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________.答案 (0，12) 解析 (数形结合法)由图象可知0<2a <1，∴0<a <12.9.(2016·镇江模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________.答案 [－14，14]解析 设t ＝12x ，当x ≥0时，2x≥1，∴0<t ≤1，f (t )＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14.∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈[0，14].∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈[－14，0].故函数的值域为[－14，14].10.已知函数f (x )＝2ax ＋2(a 为常数)，(1)求函数f (x )的定义域；(2)若a >0，试证明函数f (x )在R 上是增函数；(3)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )，x ∈(－1，3]的值域.(1)解 函数f (x )＝2ax ＋2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R .(2)证明 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，由a >0，得ax 1＋2<ax 2＋2.因为y ＝2x 在R 上是增函数，所以有122222ax ax ++，即f (x 1)<f (x 2).所以函数f (x )在R 上是增函数.(3)解 由(2)知，当a ＝1时，f (x )＝2x ＋2在(－1，3]上是增函数.所以f (－1)<f (x )≤f (3)，即2<f (x )≤32.所以函数f (x )的值域为(2，32].11.已知函数f (x )＝(23)|x |－a.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值.解 (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t 是单调递减的， 因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞).(2)由于f (x )的最大值是94且94＝(23)－2， 所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，即g (0)＝－2，从而a ＝2.12.已知函数f (x )＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝2431()3xx --+，令t ＝－x 2－4x ＋3， 由于函数t ＝－x 2－4x ＋3在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )， 由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.*13.已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2). (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值.解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3＝(12)2x －2λ·(12)x＋3(－1≤x ≤2).设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2).当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2).所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34.所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34，故函数f (x )的值域为[34，3716].(2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)，①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916，令－λ2＋4916＝1，得λ＝338>14，不符合舍去；②当14<λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2<14，不符合舍去)；③当λ>2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32<2，不符合舍去.综上所述，实数λ的值为 2.14.(2017·江苏淮阴中学月考)已知f (x )＝23x ＋1＋m ，m 是实常数.(1)当m ＝1时，写出函数f (x )的值域；(2)当m ＝0时，判断函数f (x )的奇偶性，并给出证明；(3)若f (x )是奇函数，不等式f (f (x ))＋f (a )<0有解，求a 的取值范围.解 (1)当m ＝1时，f (x )＝23x ＋1＋1，定义域为R ，3x ＋1∈(1，＋∞)，则23x ＋1∈(0，2)， 所以f (x )＝23x ＋1＋1∈(1，3)， 即当m ＝1时，函数f (x )的值域为(1，3).(2)当m ＝0时，f (x )为非奇非偶函数.证明如下 ：当m ＝0时，f (x )＝23x ＋1，f (1)＝24＝12， f (－1)＝213＋1＝32， 因为f (－1)≠f (1)，所以f (x )不是偶函数；又因为f (－1)≠－f (1)，所以f (x )不是奇函数.故f (x )为非奇非偶函数.(3)因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )恒成立，即23－x＋1＋m ＝－23x ＋1－m 对x ∈R 恒成立， 化简整理得－2m ＝2×3x1＋3x ＋23x ＋1，即－2m ＝2，所以m ＝－1. 下面用定义法研究f (x )＝23x ＋1－1的单调性. 任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝1222113131x x --+++ 21212(33)0(31)(31)x x x x -=++＞， 所以f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上单调递减.所以f (f (x ))＋f (a )<0有解，且函数f (x )为奇函数，所以f (f (x ))<－f (a )＝f (－a )，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (x )>－a 有解，又易求函数f (x )＝23x ＋1－1的值域为(－1，1)，所以－a <1，即a >－1.。