(试题2)22.2降次—解一元二次方程
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专题训练1 一元二次方程的解法
1．按指定的方法解下列方程．
（1）12（2x-1）2-32=0（直接开平方法）； （2）3x2+4x+1=0（配方法）；
（3）6x2-5x-2=0（公式法）； （4）x2-1=3x-3（因式分解法）．
2．用适当的方法解下列方程．
（1）14x2+52x-6=0； （2）49（x-3）2=16（x+6）2；
（3）（x-2）（x+3）=66； （4）（x+1）2=3x+2．
3．用三种不同的方法解方程3x2-5x=2．
4．若方程3x2-5x+k=0的一个根是-1，求k的值及另一个根．
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5．如果方程x2-6x-k-1=0与x2-kx-7=0仅有一个相同的实数根，试求k的值和相同的根．
6．若α是方程x2+x-1=0的根，求代数式2000α3+4000α2的值．
7．如果m是介于12与60之间的整数，并且关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0的两个根也
是整数，求m的值及这两个整数根．
8．已知：关于x的方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有一个相同的实数根，且a·b·c≠0，
求a+b+c的值．
9．已知x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的一个因式，求a、b的值．
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答案:
1．解：（1）12（2x-1）2-32=0，整理，得
（2x-1）2=64，开平方，得2x-1=±8，2x=1±8，x=182．
所以x1=18922，x2=18722．
（2）3x2+4x+1=0，移项，得3x2+4x=-1．
方程两边同时除以3，得x2+43x=-13．
配方，得x2+43x+（23）2=-13+（23）
2
即（x+23）2=19±，x+23=±13， x=-23±13
所以x1=-23+13=-13，x2=-23-13=-1．
（3）6x2-5x-2=0，因为a=6，b=-5，c=-2．
b2-4ac=（-5）2-4×6×（-2）=25+48=73．
所以x=(5)7312=57312．
即x1=57312，x2=57312．
（4）原方程可化为：x2-1-3x+3=0
（x+1）（x-1）-3（x-1）=0，（x-1）（x+1-3）=0，
即x-1=0或x-2=0，所以x1=1，x2=2．
点拨：注意每一种解法的步骤和格式，必要的文字叙述绝不能少．
2．解：（1）方程两边同时乘以4，得x2+10x-24=0，
即（x+12）（x-2）=0，
x+12=0或x-2=0，所以x1=-12，x2=2．
（2）原方程可化为[7（x-3）]2=[4（x+6）]2，所以
7（x-3）=±4（x+6），
即7（x-3）=4（x+6）或7（x-3）=-4（x+6），
所以x1=15，x2=-311．
（3）原方程可化为：x2+x-72=0，（x+9）（x-8）=0，
即x+9=0或x-8=0，所以x1=-9，x2=8．
（4）原方程可化为：x2-x-1=0，
因为a=1，b=-1，c=-1，
b2-4ac=（-1）2-4×1×（-1）=5，
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所以x=(1)51522，所以x1=152，x2=152．
点拨：对于方程（1），出现了分数系数，分解因式的话不容易观察，•套用公式计算量
太大，因此，先把分数系数化为整数，即在方程两边同时乘以4后，•用因式分解法就比较
方便．方程（2）可采用直接开平方法，也可采用因式分解法．方程（3）•是十分容易出错
的一个方程，一定要先整理成一般形式再求解，方程（4）与方程（3）相同，•也要先化成
一般形式后，再选择方法．
3．解法一：配方法：方程两边同时除以3，得x2-53x=23，
配方，得x2-53x+（56）2=23+（56）2，
即（x-56）2=4936，x-56=±76，x=56±76．
所以x1=56+76=2，x2=56-76=-13．
解法二：公式法：移项，得3x2-5x-2=0
因为a=3，b=-5，c=-2，
b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=25+24=49，
所以x=(5)4957236，即x1=2，x2=-13．
解法三：因式分解法：移项，得3x2-5x-2=0．
（x-2）（3x+1）=0，即x-2=0或3x+1=0，
所以x1=2，x2=-13．
点拨：通过对同一道题的不同解法的比较，我们发现因式分解法是比较简便的方法，一
个方程若能用因式分解法求解，就不要再选择其他解法了．•公式法是解一元二次方程的最
后一法．在其他方法失效的情况下，可选用此法．•配方法是一种重要的数学方法，但是用
这种方法解方程，过程太复杂，一般情况下不采用．
4．解：依题意：3×（-1）2-5×（-1）+k=0，k=-8．
当k=-8时，3x2-5x-8=0，（x+1）（3x-8）=0，
x+1=0或3x-8=0，所以x1=-1，x2=83．
所以k的值是-8，方程的另一个根是83．
点拨：利用方程根的定义，把-1代入方程求出k的值，然后把k的值代入方程，求出方
程的另一个根．
拓展：此题也可应用本章第三节探究到的知识求解．
设方程的另一个根是x，则-1+x1=53，所以x1=83．
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又因为-1·x1=3k，所以-1×83=3k，k=-8．
所以方程的另一个根是83，k的值是-8．
5．解：设相同的根为x，则有：
x2-6x-k-1=0 ①，x2-kx-7=0 ②．
①-②得（k-6）x-k+6=0．
（k-6）（x-1）=0，所以k=6或x=1．
当k=6时，原来的两个方程是同解方程，它们的解完全相同．不合题意，故k=6舍去；
当x=1时，代入①，得k=-6，所以k的值为-6，相同的根为1．
点拨：设出相同的根，代入后解方程即可．
6．解：依题意：α2+α-1=0，所以α2+α=1，α2=1-α．
所以2000α
3+4000α2=2000α（α2+2α）=2000α（α2
+α+α）
=2000α（1+α）=2000（α+α
2
）=2000．
点拨：把条件等式适当变形，整体代入求值．
7．解：x=222(1)4(1)42mmm=m+1±21m，
因为x1，x2都是整数，所以（2m+1）必是完全平方数，由于12
解之得m1=24，m2=40．当m=24时，x1=32，x2=18；当m=40时，x1=50，x2=32．
点拨：先用公式法求出方程的根，再利用整数的性质及m的取值范围进行讨论．
8．解：设相同的根为x，则：ax2+bx+c=0 ①，bx2+cx+a=0 ②，cx2+ax+b=0 ③，
①+②+•③，得（a+b+c）（x2+x+1）=0．
又因为x2+x+1=（x+12）2+34>0，所以a+b+c=0．
点拨：类似于第5题，请作比较，找到解这一类题的规律．
9．解：依题意：当x2+x-6=0时多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1=0．
即：当x1=-3，x2=2时，上述多项式的值为0．
把x1=-3，x2=2代入，可得关于a、b的方程组467,13.abab 解得a=16，b=3．
点拨：欲求a、b的值，关键在于列出关于a、b的方程组．因此，根据因式分解的意义
可使问题得以解决．
