大型稀疏矩阵的LU分解及特征值求解

矩阵特征值分解算法的数值改进特征值分解是一种常见的线性代数问题求解方法，广泛应用于信号处理、图像处理、机器学习等领域。

传统的特征值分解算法在求解过程中存在数值稳定性、精度和计算效率等方面的问题。

为了解决这些问题，数学家们提出了许多数值改进的方法。

本文将介绍几种常用的矩阵特征值分解算法的数值改进方法。

一、康普顿方法康普顿方法是一种针对对称矩阵的特征值分解算法。

该算法通过将对称矩阵转化为三对角矩阵，进而简化了计算过程。

然而，在康普顿方法中，当特征值的数量较大时，计算精度下降的问题仍然存在。

为了解决这一问题，数学家们提出了修正康普顿方法。

修正康普顿方法通过加入平移参数来提高计算的精度，进而改善了数值稳定性和计算效率。

二、隐式QR方法隐式QR方法是一种针对一般矩阵的特征值分解算法。

该算法通过将矩阵转化为上Hessenberg矩阵，进而简化了计算过程。

然而，在隐式QR方法中，计算复杂度随着矩阵维度的增加而增加，导致计算效率低下。

为了提高计算效率，数学家们提出了隐式双步QR方法。

隐式双步QR方法通过对矩阵进行分块处理，减少了计算量，改善了算法的效率。

三、Krylov子空间方法Krylov子空间方法是一种针对大规模稀疏矩阵的特征值分解算法。

该算法通过构造Krylov子空间来逼近矩阵的特征值。

然而，在Krylov 子空间方法中，计算精度与Krylov子空间的维度相关，维度较大时，计算复杂度较高。

为了提高计算精度和效率，数学家们提出了改进的Krylov子空间方法。

改进的Krylov子空间方法通过加速技术和预处理技术，提高了算法的计算精度和效率。

总结起来，矩阵特征值分解算法的数值改进是为了解决传统算法在数值稳定性、计算精度和计算效率等方面存在的问题。

康普顿方法、隐式QR方法和Krylov子空间方法是常用的特征值分解算法的数值改进方法。

通过这些改进，可以提高算法的数值稳定性、计算精度和计算效率，从而更好地应用在实际问题中。

矩阵LU分解求逆（学习笔记）矩阵的一种有效而广泛应用的分解方法是矩阵的LU三角分解，将一个n阶矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。

所以首先对矩阵进行三角分解，这里采用Doolittle分解，即分解为一个下三角矩阵（对角元素为1），和一个上三角矩阵的乘积。

再进行相应的处理。

所以，矩阵求逆的算法流程可表述如下：1)进行LU分解；2)对分解后的L阵（下三角矩阵）和U阵（上三角矩阵）进行求逆;3)L阵的逆矩阵和U阵的逆矩阵相乘，即可求得原来矩阵的逆。

即：程序实现如下：#include<stdio.h>#include <string.h>#define N 4void main(){float a[N][N];float L[N][N],U[N][N],out[N][N], out1[N][N];float r[N][N],u[N][N];memset( a , 0 , sizeof(a)); //初始化memset( L , 0 , sizeof(L));memset( U , 0 , sizeof(U));memset( r , 0 , sizeof(r));memset( u , 0 , sizeof(u));int n=N;int k,i,j;int flag=1;float s,t;////////////////////input a matrix////printf("input A=\n");for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)scanf("%f",&a[i][j]);//////////////////figure the input matrix//////////////////////////printf("输入矩阵:\n");for(i=0;i<n;i++){for (j = 0; j < n; j++){printf("%lf ", a[i][j]);}printf("\n");}for(j=0;j<n;j++)a[0][j]=a[0][j]; //计算U矩阵的第一行for(i=1;i<n;i++)a[i][0]=a[i][0]/a[0][0]; //计算L矩阵的第1列for(k=1;k<n;k++){for(j=k;j<n;j++){s=0;for (i=0;i<k;i++)s=s+a[k][i]*a[i][j]; //累加a[k][j]=a[k][j]-s; //计算U矩阵的其他元素}for(i=k+1;i<n;i++){t=0;for(j=0;j<k;j++)t=t+a[i][j]*a[j][k]; //累加a[i][k]=(a[i][k]-t)/a[k][k]; //计算L矩阵的其他元素}}for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){if(i>j){L[i][j]=a[i][j];U[i][j]=0;}//如果i>j，说明行大于列，计算矩阵的下三角部分，得出L的值，U的//为0else{U[i][j]=a[i][j];if(i==j)L[i][j]=1; //否则如果i<j，说明行小于列，计算矩阵的上三角部分，得出U的//值，L的为0elseL[i][j]=0;}}if(U[1][1]*U[2][2]*U[3][3]*U[4][4]==0){flag=0;printf("\n逆矩阵不存在");}if(flag==1){/////////////////////求L和U矩阵的逆for (i=0;i<n;i++) /*求矩阵U的逆 */{u[i][i]=1/U[i][i];//对角元素的值，直接取倒数for (k=i-1;k>=0;k--){s=0;for (j=k+1;j<=i;j++)s=s+U[k][j]*u[j][i];u[k][i]=-s/U[k][k];//迭代计算，按列倒序依次得到每一个值，}}for (i=0;i<n;i++) //求矩阵L的逆{r[i][i]=1; //对角元素的值，直接取倒数，这里为1for (k=i+1;k<n;k++){for (j=i;j<=k-1;j++)r[k][i]=r[k][i]-L[k][j]*r[j][i]; //迭代计算，按列顺序依次得到每一个值}}/////////////////绘制矩阵LU分解后的L和U矩阵///////////////////////printf("\nLU分解后L矩阵:");for(i=0;i<n;i++){printf("\n");for(j=0;j<n;j++)printf(" %lf",L[i][j]);}printf("\nLU分解后U矩阵:");for(i=0;i<n;i++){printf("\n");for(j=0;j<n;j++)printf(" %lf",U[i][j]);}printf("\n");////////绘制L和U矩阵的逆矩阵printf("\nL矩阵的逆矩阵:");for(i=0;i<n;i++){printf("\n");for(j=0;j<n;j++)printf(" %lf",r[i][j]);}printf("\nU矩阵的逆矩阵:");for(i=0;i<n;i++){printf("\n");for(j=0;j<n;j++)printf(" %lf",u[i][j]);}printf("\n");//验证将L和U相乘，得到原矩阵printf("\nL矩阵和U矩阵乘积\n"); for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){out[i][j]=0;}}for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){for(k=0;k<n;k++){out[i][j]+=L[i][k]*U[k][j];}}}for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){printf("%lf\t",out[i][j]);}printf("\r\n");}//////////将r和u相乘，得到逆矩阵printf("\n原矩阵的逆矩阵:\n");for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){out1[i][j]=0;}}for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){for(k=0;k<n;k++){out1[i][j]+=u[i][k]*r[k][j];}}}for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){printf("%lf\t",out1[i][j]); }printf("\r\n");}}}。

§ 3 LU 分解法――GaUSS 消去法的变形知识预备：1矩阵的初等行变换、初等矩阵及其逆、乘积 2 矩阵的乘法3 上三角矩阵的乘积、单位下三角矩阵的乘积 4单位下三角矩阵的逆、可逆的上三角矩阵的逆一、GauSS 消去法的矩阵解释GaUSS 消去法实质上是将矩阵 A 分解为两个三角矩阵相乘。

我们知道，矩阵的初等行变换实质就是左乘初等矩阵。

A (I)左乘矩阵L 1A ⑴=A ⑺其中第二轮消元：对应于L 2A ⑵=A (3)般地L k A (K ^A (K I)k =1,2, ,n -1其中L 1,即第一轮消元：相当于对-1I -l 21NI )A (2)J1) …a 12 J 1Ta1n IΛ(2)… a 22 a ⑵a2na (I) I 一ai1+¥ ・∙. B -…，li1 一 ⑴a11a(2) •…an2a ⑵a从而二、矩阵的三角分解1、若将A 分解成L?J,即A=L7U,其中L 为单位下三角矩阵，U 为非奇 异上三角矩阵，则称之为对 A 的Doolittle 分解。

当A 的顺序主子式都不为零时，消元运算可进行，从而 A 存在唯一的Doolittle 分解。

证明：若有两种分解，A=L I Lll ， A=L 2U 2，则必有L 1=L 2，U 1=U>0 因为L I Ul = L 2U2,而且L 1，L 2都是单位下三角矩阵， U,U 2都是可逆上三 角矩阵，所以有4-4L 21L^U 2U 1整个消元过程为 ^ l k 1k1lika (k)4⅛,^k 1,k2,akk,nU 11U mL nl L n ^- L 2L 1A =A (n)记 U - U 22U 2n U nnA=(L n 」L nj L 2L 1) UL n I l U =LU其中L 是单位下三角矩阵，即一1l 21l31l32 1J 【注】消元过程等价于A 分解成回代过程是解上三角方程组的过程。

矩阵的LU分解
舒阿秀
【期刊名称】《知识文库》
【年(卷),期】2017(000)022
【摘要】<正>矩阵的分解是研究复杂矩阵性质的一种方法,是实现大规模数据分析和处理的一种有效工具,在工程计算中具有重要的实际意义.本文主要对矩阵的LU 分解进行探讨,介绍了具体的分解定理与分解方法,并举例加以说明。

定义1如果存在一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U,使得A=LU,则称A可以做三角分解或者LU分解,并称A=LU为A的三角分解或者LU分解。

【总页数】2页(P195-196)
【作者】舒阿秀
【作者单位】安庆师范大学数学与计算科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
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